新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.4 幾何法求空間角（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.4幾何法求空間角（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一線線角1．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為（

）A．30° B．90° C．45° D．60°【答案】C【解析】如圖，在正方體中，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，易知SKIPIF1<0．故選C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，點E為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或其補(bǔ)角即為異面直線AE與BC所成角，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在四面體ABCD中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因P為AC的中點，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，所以直線BP與AD所成的角為SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·河南省）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】把三棱柱補(bǔ)成如圖所示長方體，連接SKIPIF1<0，CD，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角（或補(bǔ)角）．由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B．5．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于SKIPIF1<0且相等，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角就是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角，故SKIPIF1<0(或其補(bǔ)角)為所求，再由SKIPIF1<0是等邊三角形，可得SKIPIF1<0.故選：C.題組二題組二線面角1．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，M是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過B點作直線SKIPIF1<0于H，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角即為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．2．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，菱形ABCD中SKIPIF1<0，把△BDC沿BD折起，使得點C至P處.(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若SKIPIF1<0與平面ABD所成角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱錐P—ABD的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】(1)如圖所示，取AC與BD的交點為O，連接PO，∵四邊形ABCD為菱形，現(xiàn)把△BDC沿BD折起，使得點C至P處，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵ACSKIPIF1<0平面PAC，POSKIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0,∴BD⊥平面PAC，又BDSKIPIF1<0平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)作SKIPIF1<0于H點，∵SKIPIF1<0，∴△PAC為直角三角形，因為平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面SKIPIF1<0，所以PH⊥平面ABCD，所以SKIPIF1<0，∵PA與平面ABD所成角的余弦值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴△PAC為等腰直角三角形，∴H與O重合，∵SKIPIF1<0，菱形ABCD中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高一期末）四棱錐SKIPIF1<0，底面ABCD是平行四邊形，SKIPIF1<0，且平面SCDSKIPIF1<0平面ABCD，點E在棱SC上，直線SKIPIF1<0平面BDE.(1)求證：E為棱SC的中點；(2)設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求直線BE與平面ABCD所成的角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連AC交BD于F，連EF．∵ABCD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∵直線SKIPIF1<0平面BDE，SKIPIF1<0面PAC，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，∴E為棱SC的中點；（2）取DC中點O，OC中點G，連SO，OF，GE，BG∵側(cè)面SCD滿足SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面ABCD，又SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面ABCD∴SKIPIF1<0為直線EB與平面ABCD所成的角SKIPIF1<0，即直線EB與平面ABCD所成的角的正切值為SKIPIF1<04．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，三角形SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，因為三角形SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2022·河北保定）如圖，已知正方體SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連接SKIPIF1<0.在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可證得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）過點E作SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，設(shè)正方體的棱長為4，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如圖，在三棱錐A-BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E為AC的中點，H為BD的中點.(1)求證：AD⊥BC；(2)在直線CH上確定一點F，使得AF∥面BDE，求AF與面BCD所成角的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)45°【解析】（1）證明:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）在CH延長線上取點F，使FH＝HC，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則四邊形BCDF為平行四邊形，又EH∥AF，EH?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即為AF與面BCD所成的角，又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF與面BCD所成的角為45°7．（2022·浙江）如圖在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連接SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，又因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0.8．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心）如圖，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為基底，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0；同理可證SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)兩相交直線，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由已知四面體SKIPIF1<0是正四面體，如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正四面體的高，從而SKIPIF1<0與底面上的直線SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．題組三題組三二面角1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C--PB--A的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為AB是圓的直徑，C是圓上的點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面PAC⊥平面PBC.(2)過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，如圖：因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角C--PB--A的平面角，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0.所以二面角C--PB--A的正切值為SKIPIF1<0.2（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M是AB的中點．(1)證明：SKIPIF1<0平面BEF；(2)若SKIPIF1<0，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，在正三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：由題設(shè)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角就是二面角SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0；3．（2022·河北邯鄲）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為45°，求二面角SKIPIF1<0的正切值.【答案】(1)詳見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）由條件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足為點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.4．（2022·湖南）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0因SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影SKIPIF1<0SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.

5．（2022·湖南）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求二面角SKIPIF1<0的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0并連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直三棱柱SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<06．（2022·黑龍江·哈九中高一期末）如圖（1），平面四邊形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，將△ABC沿BC邊折起如圖（2），使______，點M，N分別為AC，AD中點．在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題．①SKIPIF1<0；②AC為四面體ABDC外接球的直徑；③平面ABC⊥平面BCD．(1)判斷直線MN與平面ABD是否垂直，并說明理由；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)垂直，理由見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）若選①：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．若選②：SKIPIF1<0為四面體SKIPIF1<0外接球的直徑，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．若選③：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以