一元函數(shù)微分學(xué)總結(jié)

二、典型例題分析與解答第二、三章機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一元函數(shù)微分學(xué)總結(jié)一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)2021/5/91機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)(一)導(dǎo)數(shù)與微分①若令②③1.導(dǎo)數(shù)定義:則2.左右導(dǎo)數(shù):左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):2021/5/92機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù),且有函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:處的導(dǎo)數(shù)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線斜率.即有曲線的切線方程為3.導(dǎo)函數(shù)的定義:曲線的法線方程為2021/5/93

是

x→0時(shí)比

x高階的無窮小量,并稱Ax為f(x)在其中A是與

x無關(guān)的量,若函數(shù)的增量可表示為

y=Ax+

,則稱y=f(x)在點(diǎn)x處可微

,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記為dy,即dy=Ax.5.微分的定義:由于

x=dx,所以6.微分的幾何意義:點(diǎn)x處的微分,當(dāng)

y是曲線y=f(x)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy表示曲線的切線縱坐標(biāo)的增量.2021/5/947.基本定理定理1(導(dǎo)數(shù)存在的判定定理)定理2(函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù),但連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo).可導(dǎo)定理4.(函數(shù)與其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)可微反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).定理3.(函數(shù)一階可導(dǎo)與可微的關(guān)系)2021/5/95機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(5)(6)(7)設(shè)

及(4)

均為可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

可導(dǎo),

且或

(微分形式不變性)8.運(yùn)算法則(1)(3)(2)2021/5/969.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式(3)(1)(2)(4)(8)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(5)(6)(7)(9)2021/5/97機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)2021/5/9810.高階導(dǎo)數(shù)2021/5/99例1.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又2021/5/910機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束11.方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程確定,求解法1:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得:解得方程兩邊微分得:解法2:解得:2021/5/911

12.參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.設(shè)求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:13.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:求“冪指函數(shù)”及多個(gè)因子相乘除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.2021/5/912解法1:取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù):則有:例4.設(shè)解法2:作指數(shù)對(duì)數(shù)恒等變形:2021/5/913機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)則有解取對(duì)數(shù)等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù):2021/5/914(二)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.羅爾定理(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(3)且f(a)=f(b);成立.(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);若函數(shù)f(x)

滿足條件:則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使2.拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)

滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使等式2021/5/9153.柯西中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束成立.若函數(shù)f(x),F(x)滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使等式(三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理1設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),1.函數(shù)的單調(diào)性若對(duì)都有則稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增(減).2021/5/9162.函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,x為該鄰域內(nèi)異于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的任意一點(diǎn),若恒有(或則稱為f(x)在該鄰域的極大(小)值.極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,方程使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定理2.(函數(shù)取得極值的必要條件)的根稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).則有設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo),(可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn))且在該點(diǎn)處取得極值,2021/5/917定理3.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(函數(shù)取得極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)可導(dǎo),(或f(x)在點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)).(1)若當(dāng)x由左至右經(jīng)過時(shí)由“+”變“–”,則為函數(shù)的極大值.(2)若當(dāng)x由左至右經(jīng)過時(shí)由“-”變“+”,(3)若當(dāng)x由左至右經(jīng)過為函數(shù)的極小值.則則不變號(hào),不是時(shí)函數(shù)的極值.2021/5/918定理4機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(函數(shù)取得極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在處(1)若則為函數(shù)f(x)的極大值.(2)若則為函數(shù)f(x)的極小值.3.函數(shù)的最值求連續(xù)函數(shù)

f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1).求f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(2).求出這些點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值;(3).比較上述函數(shù)值,其中最大者為最大值,最小者為最大值.2021/5/919機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束恒有(弧在弦的下方)(或則稱曲線f(x)在(a,b)內(nèi)為凹(凸)弧.曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)4.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),若對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)(弧在弦的上方))稱為曲線的拐點(diǎn).2021/5/920定理1.(曲線凹凸性的判定定理)若在(a,b)上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則曲線y=f(x)在當(dāng)x自左至右經(jīng)過定理2.(曲線拐點(diǎn)的判定定理)若在處時(shí)變號(hào),則是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(a,b)上為凹(凸)弧.2021/5/921二﹑典型例題分析與解答應(yīng)填?1.已知?jiǎng)t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:注釋:本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.例6.2021/5/922設(shè)例7.在處可導(dǎo),求解:

在處連續(xù)且可導(dǎo),即由由再代入(1)得2021/5/923例8.設(shè)f(x)可導(dǎo),則是F(x)在x=0可導(dǎo)的().(A)充分必要條件;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(B)充分條件但非必要條件;(C)必要條件但非充分條件;解:直接計(jì)算解此題.由于A(D)既非充分條件又非必要條件.而f(x)可導(dǎo),所以F(x)的可導(dǎo)性與的可導(dǎo)性相同.2021/5/924故選項(xiàng)(A)正確.

(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:即f(0)=0.本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件.令由導(dǎo)數(shù)的定義知解題過程中化簡題目的解題技巧應(yīng)注意掌握.2021/5/925例9曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是___________.曲線在點(diǎn)(0,1)的切線方程為解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:①

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得:即為將x=0,y=1

代入①式得:本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2021/5/926例10設(shè)函數(shù)由方程確定,求解由由原方程得代入(1)得再將代入(2)得注釋本題考查求隱函數(shù)在一點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)數(shù).注意求導(dǎo)數(shù)時(shí),不必寫出導(dǎo)函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/927例11

證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根[分析]如令則的符號(hào)不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來證證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實(shí)根2021/5/928例12.處().設(shè)y=f(x)是方程則函數(shù)f(x)在點(diǎn)且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(B)取得極小值;的一個(gè)解,(A)取得極大值;解:(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.由于y=f(x)是方程的一個(gè)解,所以有即有將代入上式得所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)處取得極大值.A選項(xiàng)(A)正確.2021/5/929機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.且設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則().(A)f(0)是f(x)的極大值;(B)f(0)是f(x)的極小值;(C)(0,f(0))是曲線y=

f(x)的拐點(diǎn);(D)f(0)不是f(x)的極值點(diǎn),(0,f(0))也不是曲線y=

f(x)的拐點(diǎn).解:由于由極限的保號(hào)性知存在x=0的某去心鄰域,在此鄰域內(nèi)有即有B2021/5/930即有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由于當(dāng)x<0時(shí),

函數(shù)f(x)單調(diào)減.當(dāng)x>0時(shí),

由極值的第一充分條件知

f(x)在x=0處取得極小值.即有

又由極限的保號(hào)性有注釋:本題考查極限的保號(hào)性和極值的判定法則.函數(shù)f(x)單調(diào)增.故選項(xiàng)(B)正確.2021/5/931例14.由于x=1

是

(x)在(0,+∞)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則

(x)在x=1處取得極小值.又

(1)=0,即則當(dāng)x>0時(shí),則

(x)在x=1處取得區(qū)間(0,+∞)試證:當(dāng)x>0時(shí),證:

令易知

(1)=0.內(nèi)的唯一的極小值點(diǎn),上的最小值.證畢.2021/5/932例15.求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回