固體物理第二章答案

第2章晶體的結合習題有一晶體,平衡時體積為，原子間相互作用勢為.如果相距為r的兩原子互作用勢為證明體積彈性模量為K=求出體心立方結構惰性分子的體積彈性模量.[解答]設晶體共含有N個原子,那么總能量為U(r)=.由于晶體外表層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多,因此可忽略它們之間的基異,于是上式簡化為U=設最近鄰原子間的距離為R那么有R再令AA得到U=平衡時R=R,那么由條件U(R)=得由平衡條件得.由(1),(2)兩式可解得利用體積彈性模量公式[參見?固體物理教程?(2.14)式]K=得K===由于因此于是K=由?固體物理教程?(2.18)式可知,一對惰性氣體分子的互作用能為假設令,那么N個惰性氣體分子的互作用勢能可表示為.由平衡條件可得R進一步得代入K=并取m=6，n=12，V得K=.對體心立方晶體有A于是一維原子鏈,正負離子間距為,試證:馬德隆常數(shù)為1n2.[解答]相距的兩個離子間的互作用勢能可表示成設最近鄰原子間的距離為R那么有,那么總的離子間的互作用勢能U=.基中為離子晶格的馬德隆常數(shù),式中+;-號分別對應于與參考離子相異和相同的離子.任選一正離子作為參考離子,在求和中對負離子到正號,對正離子取負號,考慮到對一維離子兩邊的離子是正負對稱分布的,那么有利用正面的展開式1n(1+)并令得=1n(1+1)=1n2.于是,一維離子鏈的馬德常數(shù)為1n2計算面心立方面簡單格子的和只計最近鄰;計算到次近鄰;計算到次近鄰.[解答]圖2.26示出了面心立方簡單格子的一個晶胞.角頂O原子周圍有8個這樣的晶胞,標號為1的原子是原子O的最近鄰標號為2的原子是O原子的最近鄰,標號為3的原子是O原子的次次近鄰.由此得到,面心立方簡單格子任一原子有12個最近鄰,6個次近鄰及24個次次近鄰.以最近鄰距離度量,其距離分別為:由圖2.6面心立方晶胞得只計最近鄰時，.計算到次近鄰時計算到次次近鄰時由以上可以看出,由于中的冪指數(shù)較大,收斂得很快,而中的冪指數(shù)較小,因此收斂得較慢,通常所采用的面心立方簡單格子的和的數(shù)值分別是14.45與12.13.用埃夫琴方法計算二維正方離子(正負兩種)格子的馬德隆常數(shù).[解答]馬德隆常數(shù)的定義式為,式中+、-號分別對應于與參考離子相異和相同的離子,二維正方離子(正負兩種)格子,實際是一個面心正方格子,圖2.7示出了一個埃夫琴晶胞.設參考離子O為正離子,位于邊棱中點的離子為負離子,它們對晶胞的奉獻為4*(1/2).對參考離子庫侖能的奉獻為圖2.7二維正方離子晶格頂角上的離子為正離子,它們對晶胞的奉獻為4*(1/4),對參考離子庫侖能的奉獻為因此通過一個埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為再選取個埃夫琴晶胞作為考慮對象,這時離子O的最的鄰,次近鄰均在所考慮的范圍內(nèi),它們對庫侖能的奉獻為而邊棱上的離子對庫侖能的奉獻為頂角上的離子對為庫侖能的奉獻為這時算出的馬德隆常數(shù)為圖2.84個埃夫琴晶胞同理對個埃夫琴晶胞進行計算,所得結果為對個埃夫琴晶胞進行計算,所得結果為中選取n個埃夫琴晶胞來計算二維正方離子(正負兩種)格子的馬德隆常數(shù),其計算公式(參見劉策軍,二維NaC1晶體馬德隆常數(shù)計算,?大學物理?，Vo1.14,No.12,1995.)為其中用埃夫琴方法計算CsCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)只計最近鄰取八個晶胞[解答]圖2.29是CsCl晶胸結構,即只計及最近鄰的最小埃夫琴晶胞,圖2.29是將Cs雙在體心位置的結構,圖2.9(a)是將Cl取在體心位置的結構,容易求得在只計及最近鄰情況下,馬德隆常數(shù)為1.圖2.29〔a〕Cs取為體心的CsC1晶胞,(b)C1取為體心的CsC1晶胞(2)圖2.10是由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞,8個最近鄰在埃夫琴晶胞內(nèi),每個離子對晶胞的奉獻為1,它們與參考離子異號,所以這8個離子對馬德隆常數(shù)的奉獻為8埃夫琴晶胞6個面上的離子與參考離子同號,它們對埃夫琴晶胞的奉獻是,它們與參考離子的距離為它們對馬德隆常數(shù)的奉獻為-圖2.108個CsCl晶胞構成的一個埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12個離子,與參考離子同號,它們對埃夫琴晶胞的奉獻是它們與參考離子的距離為它們對馬德隆常數(shù)的奉獻為-埃夫琴晶胞角頂上的8個離子,與參考離子同號,它們對埃夫琴晶胞的奉獻是它們與參考離子的距離為2R它們對馬德隆常數(shù)的奉獻為-,由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的馬德隆常數(shù)為了進一步找到馬德常數(shù)的規(guī)律,我們以計算了由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù),結果發(fā)現(xiàn),由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)是0.439665.馬德隆常數(shù)的不收斂,說明CsCl晶胞的結構的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計算.為了找出合理的計算方法,必須首先找出采用單個埃夫琴晶胞時馬德隆常數(shù)不收斂的原因.為了便于計算,通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs作參考離子,由于埃夫琴晶胞是電中性的要求,那么邊長為(p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞是由(2p)個CsCl晶胞所構成,埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同號,而邊長為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)個CsCl晶胞所構成,但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號,如果以C1作參考離子也有同樣的規(guī)律,設參考離子處于坐標原點O,沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示出了z軸)看去,與參考郭同號的離子都分布在距O點的層面上,其中是大于等于1的整數(shù),與O點離子異號的離子都分布在距O點(-0.5)的層面上,圖2.11(a)示出了同號離子層,圖2.11(b)示出了異號離子層.圖2.11離子層示意圖(a)表示同號離子層,O離子所在層與O離子所在層相距(b)表示異號離子層,O離子所在層和O離子所在層相距(-0.5)當CsCl埃夫琴晶胞邊長很大時,晶胞最外層的任一個離子對參考離子的庫侖能都變得很小,但它們對參考離子總的庫侖能不能忽略.對于由(2p)個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說,最外層有6*(2p)個與參考離子同號的離子,它們與參考離子的距離為(1/2)~(),它們與參考離子的庫侖能為量級,這是一個相對大的正值.對于由(2p+1)個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說,離外層有6*(2p+1)個與參考離子異號的離子,它們與參考離子的庫侖能為量級,這是一個絕對值相對大的負值,因此,由(2p)個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能,與由(2p+1)個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能會有較大的差異.即每一情況計算的庫侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.因此這兩種情況所計算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異,由1個CsCl晶胞、8個CsCl晶胞和27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的計算可知,CsCl埃夫琴晶胞體積不大時,這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計算馬德隆常數(shù)時的局限性,可采取以下方法,令由(2p)個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的庫侖能為，由(2p+1)個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能為，那么CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能可近似取作(1)因子1/2的引入是考慮除了(2p+1)個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞最外層離子外,其他離子間的庫侖能都累計了兩偏,計算和時要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞,此時埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞內(nèi)的離子數(shù)相比是個很小的數(shù),相應的馬德隆常數(shù)應為(2)其中：是由(2p)個CsC1晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的值;由(2p+1)個CsC1晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算本錢的值.為簡化計算,特選取晶胞邊長為計算單位,由于所以(3)其中是某一離子到參點的距離與的比值.考慮到對稱性,對選定的埃夫琴晶胞,把晶胞的離子看成分布在一個個以參考離子為對滿意的正六面體的六個面上,體積不同的正六面六個面上的離子分別計算.由(2p)個CsC1晶胞構成埃夫琴晶胞時,由分析整理可得(4)由(2p+1)個CsC1晶胸構成埃夫琴晶胞時,(5)其中：(6)表示與O點距離為的6個面上所有的離子對馬德隆常數(shù)的面奉獻,因為這些離子與參考離子同號,故到負號.、是離子在平面上的坐標,代表6個面上等價離子的個數(shù),其取值規(guī)那么為:在角上(如E點),即=i且=i.時,=8；在棱與坐標軸的交點(如F點)，=i且=0或=0且=0時,=6在棱上的其他點(如H、I點)即不滿足上述條件,且=i或=i.時,=12在點,即=0且=0時,=6在除點外的面上的點(如J點),即不滿足上述條件時，=24.(7)代表距O點距離為(-0.5)的6個面上的離子對馬德隆常數(shù)的奉獻,因為這種些離子與參考離子異號,故取正號.,是離子在平面上的坐標,代表這6個面上等價離子的個數(shù),其取值規(guī)那么為:在角上(如K點),即=i且=i.時,=8;在棱下(如L、M點),即不滿足不述條件,且=i或=i時，=12；在面上(如N點)好不滿足上述條件時,=24.表示在邊長為2的晶胞最外層,即與參考離子相距的6個面上的離子對馬德隆常數(shù)的奉獻,應取負號,與的不同在于的取值:在角上,=/8;在棱上,=/4;在面上,=/2.表示在邊長為2的晶胞最外層,即與參考離子相距(p+0.5)的離子層對馬德隆常數(shù)的奉獻,應取正號,與的不同在于的取值:在角上,=/8;在棱上,=/4;在面上,=/2.表2.1給出了計算結果,給出的是由分別對應2p和2p+1的和求得的,實際上,和只需對應邊長相近的埃夫琴晶胞即可,如取對應2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一樣的收斂結果,由以上數(shù)據(jù)可見,馬德隆常數(shù)隨晶胞邊長的增大而迅速收斂.該方法適用于NaC1結構以外離子晶體馬德隆常數(shù)的計算.表2.21CsC1晶體結構馬德隆常數(shù)2p2p+123.06480630.4396651.752235543.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.76267503003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.76267508003.1230248010.4023261.7626750只計及最近鄰間的排斥作用時,一離子晶體離子間的互作用勢為(1)最近鄰(2)最近鄰以外式中是常數(shù),R是最近鄰距離,求晶體平衡時,原子間總的互作用勢.[解答]設離子數(shù)目為2N,以R表示第j個離子到參考離子i的距離,忽略外表效應,那么總的相互作用能可表示為U=N(表示最近鄰)=N其中為馬德隆常數(shù),+號對應于異號離子,-號對應于同號離子;Z為任一離子的最近鄰數(shù)目,設平衡時R=R,由平衡條件得平衡時的總相互作用為設離子晶體中,離子間的互作用勢為求晶體平衡時,離子間總的相互作用勢能證明:其中是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)[解答](1)設離子數(shù)目為2N,以R表示第j個離子到參考離子i的距離,忽略外表效應,那么總的相互作用能可表示U=N(表示最近鄰)=N其中,為馬德隆常數(shù),+號對應于異號離子,-號對應于同號離子.Z為任一離子的最近鄰數(shù)目,設平衡時R=R由平衡條件得=即.于是,晶體平衡時離子間總的相互作用勢能=(2)晶體平衡時離子間的相互作用勢能可進一步化為=由上式可知8.一維離子鏈,其上等間距載有正負2N個離子,設離子間的泡利排斥只出現(xiàn)在最近鄰離子之間,且為b/R,b,n是常R是兩最近鄰離子的間距,設離子電荷為q,試證明平衡間距下=令晶體被壓縮,使,試證明在晶體被壓縮單位長度的過程中外力作功的主項為c其中c=求原子鏈被壓縮了2時的外力[解答]因為離子間是等間距的,且都等于R,所以認定離子與第j個離子的距離總可表示成為是一整數(shù),于是離子間總的互作用勢能,其中+、-分別對應相異離子和相同離子的相互作用.一維離子晶格的馬德隆常數(shù)(參見本章習題2)為21n2.利用平衡條件得到b=,=.在平衡間距下.將互作用勢能在平衡間距附近展成級數(shù)由外力作的功等于晶體內(nèi)能的增量，可得外力作功的主項為W=,其中利用平衡條件，將R=R，代入上式，得到W=.晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項=令c=(CGS)得到在晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項為.〔3〕設時外力為F,由于在彈性范圍內(nèi)，外力與晶格的形變成正比，所以F=,F=,其中為比例系數(shù)離子鏈被壓縮過程中外力作的功W==.由于W=,所以離子鏈被壓縮了時的外力為F=.9．設泡利排斥項的形式不變，討論電荷加倍對NaC1晶格常數(shù)，體積彈性模量以及結合能的影響。[解答]NaC1離子間的互作用勢為.如果晶體共含有N個原子，令=,R是最近鄰離子間的距離，那么總的互作用勢能U=,式中.假設平衡時R=R,由平衡條件得.利用體積彈性模量公式K=得K=.平衡時的結合能為.由于晶格常數(shù)與成線形關系,于是,當電荷加倍時,晶格常數(shù),體積彈性模量以及結合能與原來值的比值為10．兩原子間互作用勢為當兩原子構成一穩(wěn)定分子時，核間距為3,解離能為4eV,求和.[解答]當兩原子構成一穩(wěn)定分子即平衡時，其相互作用勢能取極小值，于是有.由此是平衡時兩原子間的距離為,(1)而平衡時的勢能為.(2)根據(jù)定義，解離能為物體全部離解成單個原子時所需用的能量，其值等于解離能為4eV因此得=4eV.(3)再將=3,1eV=1.602*10erg代入(1)(3)兩式,得7.69*10erg?cm=1.40*10erg?cm.11．NaC1晶體的體積彈性模量為2.4*10帕，在2萬個大氣城壓作用下，原子相互作用勢能增加多少？晶格常數(shù)將縮小百分之幾？〔1帕=10個大氣壓〕[解答]假定在外力作用下,晶體的形變?yōu)閺椥孕巫?，此時可將K視為常量，由?固體物理教程?〔2.6〕式K=,得P.式中=1個大氣壓,P=2*10個大氣壓,為晶體在壓強為時的體積,由此得V=V及=V-V在彈性形變情況下,體積的相對變化率.因此,由?固體物理教程?(2.10)式P=,可知體積彈性械量K甚大于壓強P,于是再根據(jù),得相互作用勢能增加量為=單位體積熱能增加量為==1.67*10.設晶格常數(shù)為,那么有,是一常數(shù),于是.得晶格常數(shù)縮小的百分比為==2.8%.12.雷納德一瓊斯為,證明:r=1.12時勢能最小,且;當r=時,說明和的物理意義.[解答]當時取最小值,由極值條件得于是有再代入u的表示式得,當r=時那么有,由于是兩分子間的結合能,所以即是兩分子處于平衡時的結合能,具有長度的量綱,它的物理意義是,是互作用勢能為0時兩分子間的間距.\13.如果離子晶體中離子總的相互作用勢能為,求晶體的壓縮系數(shù),其中為常數(shù),Z為配位數(shù).[解答]壓縮系數(shù)k等于體積彈性模量K的倒數(shù),即.又.式中為平衡時相鄰原子間的距離,由平衡條件,得,即.由以諸式得k=.14.取一立方體積元,以相對兩面中點連線為轉軸,列出轉動方程,證明應