平行導向柔性桿動力學建模方法

平行導向柔性桿動力學建模方法

0柔性機構動力學建模采用順附機構取代傳統(tǒng)機構的運動關節(jié)，依靠順附器官的大變形來傳遞力、運動和能量。柔順機構以結構簡單、容易制造、無摩擦磨損、容易裝配、高精度及高可靠性、輕質量及實現微型化等優(yōu)點在機械應用領域內有著廣泛的使用。目前對柔順機構的研究主要集中在運動學領域。HOWELL等提出了基于運動等效的偽剛體模型法。FRECKER等從結構學的角度對柔順機構的運動特性進行了分析。SAXCENA等基于結構拓撲優(yōu)化的均勻化方法對柔順機構進行運動優(yōu)化。但是對柔順機構動力學的研究還比較少。在研究柔順機構動力學問題時,文獻中把它等效偽剛體模型并看作動力學模型來分析?；趥蝿傮w模型,文獻中提出了柔順機構的動力學等效模型。在推導柔性桿動能時,兩者都沒有考慮柔性桿件變形對動能計算所造成的影響。本文充分考慮柔性桿的變形特性,結合偽剛體模型所得末端點邊界條件,通過數值擬合方法,建立柔性桿的變形曲線,進而推導出柔性桿的動能表達式。根據柔性桿變形能等于末端作用力所做的功,結合偽剛體模型,對剛性桿末端作用力進行路徑積分,推導出柔性桿勢能表達式。在此基礎上建立了平行導向柔順機構的動力學模型。最后,通過具體算例證明該模型是可行的。1柔性桿動能的澄清1.1大變形情況下柔性桿動能表達推導柔順機構動力學模型是研究機構動力學特性的前提和基礎,而建立柔順機構動力學模型的關鍵是確定系統(tǒng)中柔順元件的動能及勢能表達式。如何推導柔性桿的動能表達式是一個待解決的問題。文獻所建立的動力學模型并沒有考慮柔性桿大變形所產生的影響。針對上述問題,本文提出一種用于大變形情況下柔性桿動能表達推導的新方法?；舅枷胧?在大變形狀態(tài)下,由歐拉一伯努利方程建立柔性桿模型的變形方程。由文獻可知,基于運動等效所提出的偽剛體模型主要以柔性桿末端點為研究對象而且偽剛體模型的準確性已經得到驗證。根據柔性桿的偽剛體模型,確定末端點的位置坐標及轉角以及運動與末端作用力的關系。根據柔性桿模型所得變形方程并結合偽剛體模型確定的邊界條件,通過數值模擬方法,擬合出柔性桿變形曲線。變形曲線對時間求導,得到柔性桿上任意點的速度。然后,對整個柔性桿動能積分便可以推導出柔性桿動能表達式。結合柔性桿的不同受力模式,給出動能表達的詳細推導過程。1.2柔性桿動能積分圖1a所示為末端純力矩M作用下的柔性桿模型。l為柔性桿長,P為柔性桿上任意一點,位置坐標(x,y),柔性桿在該點處的轉角為θ,柔性段OP長度為s。對于柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任一點P的位姿為式中EI為柔性桿的剛度。對圖1中柔性桿上的點O、A,由式(1)可得由文獻知,柔性桿的等效偽剛體模型如圖1b所示。y為剛性桿長系數,Φ為剛性桿的等效轉角。根據偽剛體模型所示,易得末端點A的位姿為式中γ=0.7346,cθ=1.5164。聯(lián)立式(3)、(4),可得末端點A的位姿聯(lián)立式(1)、(2)、(5),推導柔性桿上任一點P的坐標(x,y)可表示為(用剛性桿轉角θ表示)柔性桿變形曲線對時間求導,得到桿上任一點P的速度為對柔性桿動能積分,則柔性桿的動能為式中p——柔性桿材料密度聯(lián)立式(7)、(8),可得柔性桿動能為式中m——柔性桿質量kΦ——動能當量系數由式(10)中可以看出,動能當量系數kΦ表示為剛性轉角Φ的函數。通過數值模擬方法,kΦ簡化為多項式形式圖2a、2b分別給出了簡化前后即式(10)、(11)所得動能當量系數的比較以及相對誤差分析。結果表明,當剛性轉角Φ=0～1.5rad時,計算相對誤差只有0.5%,這說明動能當量系數kΦ的簡化表達式是可行的。圖3a所示為末端豎直力F作用下的柔性桿模型。l為柔性桿長,P為柔性桿上任意一點,位置坐標(x,y),柔性桿在該點處的轉角為θ,柔性段OP長度為s。對于柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任一點P滿足方程易知柔性桿的邊界條件為由文獻可得此柔性桿的等效偽剛體模型,如圖3b所示。γ為剛性桿長系數,Φ為剛性桿的等效轉角。由偽剛體模型易得末端點A的位姿為式中γ=0.8517,cθ=1.2385。由于在大變形情況下,根據式(12)～(14)無法求出變形曲線的解析解。因而通過數值模擬及多項式擬合方法,導出柔性桿變形曲線及柔性桿上任一點P的位置坐標(x,y)為式中l(wèi)s=s/l圖4a是柔性桿末端在垂直力作用下,在不同等效轉角Φ時,變形曲線擬合多項式所得柔性桿變形情況與ANSYS仿真結果的比較。從圖4a中可以看出,兩者是比較吻合的。圖4b是兩者所得結果的相對誤差分析。圖4b分析表明,由于在固定段附近,柔性桿的變形量較小,在靠近固定端O處相對誤差稍大些,但是仍小于1%,而當柔性段相對長度x/l>0.2時,兩者相對誤差不足0.05%。上面的結果對比及誤差分析表明,柔性桿變形曲線的擬合多項式是可行的。對柔性桿任意點P的位置坐標(X,Y)如式(15)所示對時間求導,可得該點的速度為根據所求得任意點P的速度,對整桿進行動能積分,得柔性桿的動能為聯(lián)立式(16)、(17),解得柔性桿的動能為顯然,動能當量系數表達式(19)比較復雜。為簡化計算,通過數值模擬及多項式擬合方法,簡化為三次多項式形式圖5a、5b是簡化前后即式(19)、(20)的動能當量系數計算結果對比與誤差分析。從圖5中可以看出,兩者是比較吻合的,相對誤差保持在0.5%以內。這說明動能當量系數的簡化表達式是可行的。1.4柔性桿變形曲線圖6a所示為固定—導向模式下的柔性桿模型。根據柔性桿模型,由歐拉一伯努利方程,可得柔性桿上任意一點P滿足方程易知該柔性桿模型的邊界條件為由文獻可知,偽剛體模型如圖6b所示。γ為剛性桿長系數,Φ為剛性桿的等效轉角。對于偽剛體模型,易得末端點A的位置為式中γ=0.8157。由于在大變形情況下,根據式(21)～(24)無法求出變形曲線的解析解。因而本文通過數值模擬及多項式擬合方法,導出柔性桿變形曲線即柔性桿上任一點P的位置坐標(x,y)為式中l(wèi)s=s/l圖7a是柔性桿在固定—導向模式下,在不同等效轉角Φ時,變形曲線擬合多項式所得柔性桿變形情況與ANSYS仿真結果的比較。從圖7a中可以看出,兩者是比較吻合的。圖7b是兩者所得結果的相對誤差分析。圖7b分析結果表明,由于在固定端附近,柔性桿的變形量較小,因而在接近固定端O處相對誤差稍大些,但是仍然小于0.5%,而當柔性段相對長度x/l>0.2時,兩者相當誤差不足0.05%。從上面的結果對比及誤差分析表明,柔性桿變形的擬合多項式是可行的。對柔性桿任意一點P的位置坐標(x,y)如式(25)所示,對時間求導可得該點的速度為根據所求得任意一點P的速度,對整桿進行動能積分,得柔性桿的動能為聯(lián)立式(26)、(27),可得柔性桿的動能表達式式中m——柔性桿質量——動能當量系數顯然,動能當量系數表達式(29)比較復雜。為簡化計算,通過數值模擬及多項式擬合方法,簡化為三次多項式形式圖8a、8b是簡化前后即式(29)、(30)的動能當量系數計算結果對比。從圖8中可以看出,兩者是比較吻合的,相對誤差保持在0.01%以內。這說明動能當量系數的簡化表達式是可行的。2柔性桿彈性勢能的導出2.1柔性桿彈性勢能柔性桿彈性勢能表示式也是建立柔順機構的動力學模型的關鍵。根據功能轉化原理,作用在柔性桿末端的力(力矩)所做功的大小在數值上等于柔性桿彈性勢能的變化。那么,柔性桿的彈性勢能就等于柔性桿模型末端作用力對末端軌跡的路徑積分。由文獻可知,等效偽剛體模型在模擬柔性桿末端點的軌跡以及力與運動關系具有較高的精度。因此柔性桿彈性勢能就等于偽剛體模型中剛性桿末端作用力對末端點路徑的積分。結合偽剛體模型,下面具體推導不同受力情況下柔性桿的彈性勢能表示式。如圖3a所示為末端作用豎直力的柔性桿模型。在柔性桿末端作用豎直方向的力F。根據功能轉換原理,柔性懸臂梁的彈性勢能Ep在數值上等于柔性桿末端作用力所做功W圖3b為該柔性桿模型的等效偽剛體模型。對于偽剛體模型,末端作用力F所做功為式中Ft為沿路徑的切向力。由文獻可知,Ft的大小為聯(lián)立式(31)～(33)可得該模式下柔性桿的彈性勢能表達式2.3柔性懸臂梁如圖1a所示為末端作用豎直力矩的柔性桿模型。在柔性桿末端作用力矩M。根據功能轉換原理,柔性懸臂梁的彈性勢能Ep在數值上等于柔性桿末端作用力矩所做功W如圖1b為該柔性桿的偽剛體模型。由文獻可知,對于偽剛體模型,則有將式(36)、(37)代入式(35)中,可得柔性桿在末端作用純力矩情況下的彈性勢能為2.4柔性桿初始作用如圖6a所示為固定—導向模式下的柔性桿模型。由文獻可知,在該模式下,柔性桿中點處只受豎直方向的作用力。那么,從中點處把柔性桿分成兩個柔性段。對任一柔性段而言,均屬于末端作用豎直力的情況。根據前面的分析,易得每一個柔性段的彈性勢能為顯然,整個柔性桿變形能為3柔性桿ab、cd材料特性平行導向柔順四桿機構如圖9所示,AD為機架,柔性桿AB、CD具有相同的斷面參數、結構參數及材料性能參數,質量及長度分別為m及l(fā);剛性桿BC的質量及長度分別為m3及l(fā)3。3.1偽剛體模型的確定在平行導向柔順機構中,柔性桿AB及CD屬于固定一導向模式下的柔性桿。由式(28)可得柔性桿AB及CD的動能為由文獻可知,平行導向柔順機構的偽剛體模型如圖5b所示。根據偽剛體模型,確定柔性桿AB及CD的末端點B及C的運動,也就是確定了剛性桿BC的運動。因此剛性桿BC的動能可表示為由偽剛體模型可得r=γl,其中y=0.8517。由式(41)、(42)該機構的系統(tǒng)動能為3.2固定—系統(tǒng)勢能計算由于平行導向柔順機構屬于平面機構,重力勢能的影響可以忽略。機構的系統(tǒng)勢能主要為柔性桿AB及CD的彈性變形能。在固定—導向模式下,柔性桿的彈性勢能可通過式(40)計算。因此平行導向柔順機構的系統(tǒng)勢能為式中EI為柔性桿2的剛度。3.3機構動力學模型式由理論力學可知,系統(tǒng)拉格朗日第二類方程為將式(43)、(44)代入式(45),可得系統(tǒng)運動微分方程為與文獻所建動力學建模不同,本文所建立平行導向柔順機構動力學模型式(46)有如下特點:①運動微分方程中二階項d2Φ,/dt2的系數與等效轉角Φ相關。②運動微分方程中存在一階項dΦ/dt。由于文獻主要是在偽剛體模型的基礎上建立的動力學模型,沒有考慮由于柔性桿大變形所產生的影響。而本文則根據大變形情況下的柔性桿變形特性,并結合偽剛體模型所得的邊界條件,推導了柔性桿的動能表達式。顯然,本文在動力學建模過程中充分考慮了柔性桿大變形對動能表達式的影響,因此所建立的動力學模型更能反映柔順機構的動力學特性。4仿真結果和分析系統(tǒng)固有頻率(基頻)是反映柔順機構動力特性的一個重要指標。系統(tǒng)基頻分析是柔順機構動力學分析的基礎。上面建立了平行導向柔順機構的動力學模型,推導出系統(tǒng)的運動微分方程。根據文獻中所介紹的運動微分方程的計算機解法,可以求解出系統(tǒng)基頻。如圖9所示的平行導向柔順機構及偽剛體模型,結構參數及材料參數如下表所示。由運動微分方程式(46),利用文獻介紹的運動微分方程的計算機解法,可求得系統(tǒng)頻率fmod=20.412Hz;根據文獻所建動力學模型求解可得系統(tǒng)基頻fR4=22.342Hz;文獻所建動力學模型求解可得系統(tǒng)基頻fR5=20.586Hz;而利用有限元分析軟件ANSYS對該機構仿真的系統(tǒng)基頻FANSYS=20.135Hz。對幾種不同模型所計算的系統(tǒng)頻率進行比較,分析表明ANSYS軟件主要基于有限元方法進行結構的模態(tài)分析,但并不是真正意義上的機構動力學分析。文獻中則把柔順機構的偽剛體模型等同于動力學模型,但是這種等同是沒有根據的,因為偽剛體模型只是對柔順機構的運動學等效而不是動力學等效?；趥蝿傮w模型,文獻中提出了柔順機構的動力學等效模型,但是沒有考慮柔性桿大變形對動力學模型的影響。與以上動力學建模思想不同,本文以大變形情況下的柔性桿模型為研究