專題09 二次函數(shù)的最值問題專訓【七大題型】 （解析版）

專題09二次函數(shù)的最值問題專訓【七大題型】【題型目錄】題型一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問題題型二二次函數(shù)的動軸定區(qū)間求最值問題題型三二次函數(shù)的定軸動區(qū)間求最值問題題型四二次函數(shù)的面積與最值問題題型五二次函數(shù)的兩個圖形面積最值問題題型六二次函數(shù)的線段最值問題題型七二次函數(shù)的最值綜合問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問題】【知識點1定軸定區(qū)間】對于二次函數(shù)在上的最值問題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在時，取到最小值，無最大值．（2）若，如圖②，當，；當，．（3）若，如圖③，當，；當，．（4）若，，如圖④，當，；當，．【例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的兩根為和5，則對于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當時，函數(shù)的最大值是9． B．當時，函數(shù)的最大值是9．C．當時，函數(shù)的最小值是． D．當時，函數(shù)的最小值是．【答案】C【分析】根據(jù)二次方程的兩根為和5，求出，的值，從而得出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】解：二次方程的兩根為和5，，解得，二次函數(shù)，，當時，有最小值，最小值為，故選：C．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．【變式訓練】1．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在范圍內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．有最大值4，有最小值 B．有最大值4，有最小值C．有最大值3，有最小值 D．有最大值3，有最小值【答案】A【分析】將解析式配方為頂點式，可以得到該函數(shù)的對稱軸和開口方向，然后根據(jù)，即可得到相應的最大值和最小值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴對稱軸為直線，開口向下，∴在的取值范圍內(nèi)，當時，函數(shù)取最大值，當時，函數(shù)取最小值，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在所給范圍內(nèi)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．（2023春·湖南長沙·八年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)，當時，函數(shù)y的最大值為．【答案】5【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)開口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對稱軸是：，∵，∴時，y隨x的增大而增大，時，y隨x的增大而減小，由圖象可知：在內(nèi)，時，y有最大值，，∴函數(shù)y的最大值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，結(jié)合圖象可得函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）二次函數(shù)的最小值是，最大值是．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，，當時，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當時，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)的動軸定區(qū)間求最值問題】【知識點2動軸或動區(qū)間】對于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。纠?】（2023·河南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）已知拋物線，若時，拋物線上一點滿足：當時，，則m的值是（

）A．0 B． C．0或 D．0或4【答案】A【分析】由拋物線圖像與性質(zhì)得到對稱軸為，根據(jù)，確定對稱軸，從而當時，對稱軸在這個范圍內(nèi)，到對稱軸距離，到對稱軸距離，由拋物線開口向上，當時，，得出拋物線在時有最小值為，即；在時有最大值為，即，聯(lián)立方程組求解即可得到（舍）或．【詳解】解：拋物線的對稱軸為，若時，對稱軸，當時，對稱軸在這個范圍內(nèi)，到對稱軸距離，到對稱軸距離，拋物線開口向上，當時，，拋物線在時有最小值為，即；在時有最大值為，即，聯(lián)立方程組，即，解得或，，舍去，即，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)最值列出方程組求解是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級專題練習）已知二次函數(shù)，當時，y的最大值為，則a的值為（

）A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6【答案】A【分析】根據(jù)題意易得二次函數(shù)的對稱軸為直線，分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可進行求解．【詳解】解:由二次函數(shù)可知對稱軸為直線，開口向下∴當時，y有最大值1；∵當時，y的最大值為∴當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，即當時，有最大值；則有，解得或（不符合題意，舍去)；當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大,即當時，有最大值；則有，解得:或（不符合題意，舍去)；綜上所述:a的值為或6；故選：A【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校?？既＃┮阎魏瘮?shù)，當時，函數(shù)的最大值為，則m的值是．【答案】或【分析】將二次函數(shù)配方成頂點式，分和兩種情況分析即可．【詳解】故該拋物線的對稱軸為直線當時，拋物線開口向上，且時，函數(shù)的最大值為即時，代入求得當時，拋物線開口向下，且時，函數(shù)的最大值為即時，代入求得∴的值為或故答案為：或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函數(shù)，（1）當時，二次函數(shù)的最大值為．（2）當時，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求得拋物線的對稱軸，再分情況討論：①當時，②當時，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當時，函數(shù)有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線開口向下，對稱軸為直線，①當時，即時，，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，當時，有最大值為6，，解得：；②當時，即時，當時，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當時，即時，，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，當時，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標，當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)的定軸動區(qū)間求最值問題】【例3】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，下列說法項正確的是（

）A．若，函數(shù)有最大值5 B．若，函數(shù)有最小值5C．若，函數(shù)有最小值1 D．若，函數(shù)無最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意可得該函數(shù)的對稱軸和開口方向，然后根據(jù)，尋找相應的最大值和最小值即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對稱軸是直線，函數(shù)圖像開口向上，∵∴當時，無法確定最大值，即A選項不符合題意；當時，函數(shù)有最小值1，即B選項不符合題意；當時，函數(shù)有最小值1，即C選項符合題意；當時，時，函數(shù)有最大值5，即D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，當時，取得最小值是，判定；，得到，確定，判定即可．【詳解】∵，，∴當時，取得最小值是，∴；∵，解得，，當時，取得最大值是8，∴，故選C．【點睛】本題考查了拋物線的最值，正確理解最值的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過．（1）該二次函數(shù)的對稱軸為直線．（2）當時，若y的最大值與最小值之差為8，則m的值為．【答案】3【分析】（1）將坐標代入二次函數(shù)，求得解析式，再通過二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對稱軸；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知，，故當時，y取最小值，當時，y取最大值，代入求解方程即可．【詳解】（1）解：把代入可得，解得，二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的對稱軸為，故答案為：．（2）解：當時，y取到最小值為，y的最大值與最小值之差為8，，故當時，y取最小值，當時，y取最大值，可得方程，解得或（舍）．故答案為：3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南通·九年級校考階段練習）二次函數(shù)，當，y的最小值是，最大值是，則．【答案】【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以求得m、n的值，然后即可求出的值．【詳解】解：∵，∴，∵二次函數(shù)，∴當時，取得最小值，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，當時，時取得最小值，時取得最大值，即，解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）；當時，時，取得最小值，時取得最大值或時，取得最小值，時取得最大值，即，或，，解得，或（不合題意，舍去）；，（不合題意，舍去），由上可得，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的增減性質(zhì)解答．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)的面積與最值問題】【例4】（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，點，，，均在函數(shù)l圖象上，P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一點，軸于點E，當?shù)拿娣e取最大值時，的長為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5【答案】B【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而可判定，均在直線上，設，則，，用p表示出的面積，即可得出答案．【詳解】解：設直線的解析式為：，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴在直線上，當時，，∴在直線上，設，則，，∴，∴當?shù)拿娣e取最大值時，的長為，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求出一次函數(shù)解析式，設出點P的坐標，表示出的面積．【變式訓練】1．（2022秋·江西宜春·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）經(jīng)過點C（0，3），點P（m，n）從點A出發(fā)，沿拋物線運動到頂點后，再沿對稱軸向下運動，給出下列說法：①a=﹣1；②拋物線的對稱軸為x=﹣1；③當點P，B，C構(gòu)成的三角形的周長取最小值時，n=1；④在點P從點A運動到頂點的過程中，當m=?時，△PAC的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④【答案】D【分析】把點C坐標代入解析式，確定a值；根據(jù)解析式確定對稱軸；利用軸對稱確定P的坐標，先確定直線AC的解析式，根據(jù)x=-1計算函數(shù)值n，對比判斷即可；過點P作x軸的垂線，交AC于點D，利用拋物線內(nèi)接三角形性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)判斷最值．【詳解】因為拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）經(jīng)過點C（0，3），所以-3a=3，解得a=-1，故①正確；所以拋物線的解析式為y=，所以拋物線的對稱軸為直線x=-1，故②正確；顯然當P在對稱軸上運動時，△PBC的周長有最小值，因為A、B是對稱點，連接AC交對稱軸于點P，此時的點P，使得△PBC的周長有最小值，設直線AC的解析式為y=kx+b，所以，解得，所以直線AC的解析式為y=x+3，當x=-1時，y=2即n=2，故③錯誤；過點P作x軸的垂線，交AC于點D，因為點P（m，n），拋物線解析式為，直線AC的解析式為y=x+3，所以P（m，），點D（m，m+3），所以PD=，所以△PAC的面積為=，故當m=?時，△PAC的面積最大．故④正確故選D．【點睛】本題考查了拋物線的解析式確定，拋物線的最值，拋物線的對稱性，線段和的最小值，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，靈活運用線段和最值的原理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考二模）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形的四條邊上，四邊形也是正方形，當正方形的面積最小時，的度數(shù)是．

【答案】【分析】首先證明，則；設正方形的邊長為a，，則，則有，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是正方形，四邊形也是正方形，∴，，∴，∵，∴，在與中，∴，∴；設正方形的邊長為a，，則，∴，∵，∴當時，正方形的面積有最小值，此時，∴，∴∴；故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知、為兩條定長的線段，，，，點A、C分別為線段，上的點（點C可與點P重合），、，若，則四邊形面積的最大值為．

【答案】【分析】過點C作于點D，易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，從而得到，由，可得，即，設，則四邊形的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，S隨x的增大而增大，再結(jié)合，可知當時，S取得最大值，．【詳解】解：過點C作于點D，如圖所示：

∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，設，則四邊形的面積為：，∵，對稱軸為直線，∴當時，S隨x的增大而增大，∵，∴當時，S取得最大值，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，矩形的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)的兩個圖形面積最值問題】【例5】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點．與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是拋物線第四象限上的一個動點，過點作交于點．①如圖1，記面積為面積為，求的面積最大值及此時點的坐標．②如圖2，若將沿直線翻折得到，且點落在線段上，求此時點的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）①連接，求出點C的坐標是，由得到，待定系數(shù)法求出直線為，過點作軸交于點，設點，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，并求出點P的坐標；②先證明四邊形是菱形，過點作軸交延長線于點，則，再證明，則，求出表達式為，與二次函數(shù)表達式聯(lián)立，進一步即可求出點P的坐標．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點和點，，解得：，該拋物線的函數(shù)表達式為，（2）①連接，當時，，∴點C的坐標是，，，設直線為，將點、代入得，解得，則直線為，

過點作軸交于點，設點，，∴，，當有最大值為，此時，∴，②∵將沿直線翻折得到，且點落在線段上，∴，，，∴，，四邊形是菱形，，，過點作軸交延長線于點，則，

∴，∴，∵，，，設表達式為，將點代入得，，∴表達式為，，，（舍），，當時，，【點睛】此二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、菱形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)和二次函數(shù)交點問題、全等三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·安徽合肥·校考三模）某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長，寬的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為花卉種植區(qū)，分別種植，，三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是．，，三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是百元、百元、百元．

(1)設育苗區(qū)的邊長為，用含的代數(shù)式表花卉的種植面積是__________(2)育苗區(qū)的邊長為多少時，，兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉與的種植面積之和不超過，求，，三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．【答案】(1)(2)(3)百元【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積計算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)，兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉與的種植面積之和不超過建立不等式，得到，再設，，三種花卉的總產(chǎn)值之和百元，得到關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖形性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長為，活動區(qū)的邊長為，∴花卉的面積為：，故答案為：；（2）由（1）知：花卉的面積為：，花卉的面積為：，∵，花卉每平方米的產(chǎn)值分別是百元、百元，∴，兩種花卉的總產(chǎn)值分別為百元和百元，∵，兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴解得：（舍去），，∴當育苗區(qū)的邊長為時，，兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）根據(jù)題意得：，解得：，設，，三種花卉的總產(chǎn)值之和百元，∴，整理，得：，∵，∴當時，隨的增加而減小，∴當時，最大，且（百元），∴，，三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值是百元．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，正方形和長方形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達式．2．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線（a、b為常數(shù)，）與x軸相交于另一點．在第一象限內(nèi)與直線交于點，拋物線的頂點為C點．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點D，使得？若存在，求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點E是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線OB下方的拋物線上的動點，EF與直線OB交于點G．設和的面積分別為和，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先求得點，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分點D在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可；（3）如圖，分別過點E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點M，N，則，，設，可表達，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點，∴，∴點，∵拋物線經(jīng)過點和點以及原點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵拋物線，∴頂點C的坐標為，設直線的解析式為：，則將，代入得，，解得，∴直線的解析式為：．①當點D在直線的下方時，過點B作軸，交x軸于點F，延長，交于G，設交x軸于點E，如圖，

∵，∴，即，，∵，∴，∴，∴．在中，當時，，得：，∴，則，∴，同理求得直線的解析式為：，聯(lián)立：，解得或（舍去），∴；②當點D在直線的上方時，

∵，∴，∵直線的解析式為：，∴直線的解析式為：，聯(lián)立：，解得：或（舍去），∴．綜上，當點D的坐標為或時，使得；（3）解：∵點與點E關(guān)于對稱軸直線對稱，∴，如圖，分別過點E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點M，N，

∴，，設，則，∴，∵，，∴，∴當時，的最大值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確表達兩個三角形面積的比．3（2023·湖南長沙·?？既＃┪覀兗s定：圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)．

(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的有________（填序號）；①；②；③；④．(2)已知二次函數(shù)（為常數(shù)）是偶函數(shù)，將此偶函數(shù)向下平移得到新的二次函數(shù)，新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（在的左側(cè)），與軸交于點，若以為直徑的圓恰好經(jīng)過點，求平移后新函數(shù)的解析式；(3)如圖，已知偶函數(shù)（）經(jīng)過，，過點的一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在的左側(cè)），過點分別作軸于點C，軸于點，取的中點，連接、，分別用，，表示，，的面積，若．①證明：；

②求直線的解析式．【答案】(1)②③(2)(3)①見解析；②或【分析】（1）根據(jù)題目中偶函數(shù)的定義即可求出答案．（2）根據(jù)偶函數(shù)的特性即可得出原二次函數(shù)，再利用平移性質(zhì)設新二次函數(shù)，根據(jù)已知條件“新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（在的左側(cè)），與軸交于點”即求得，，，結(jié)合“以為直徑的圓恰好經(jīng)過點，且和是對稱點”可發(fā)現(xiàn)圓心到點的距離等于圓心到點的距離，即求出值，從而求出新的二次函數(shù)的解析式．（3）①根據(jù)偶函數(shù)的特性以及經(jīng)過，即可得出原二次函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)交點，可設、、的坐標，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出最后將、、的坐標表示三個三角形面積即可求出答案；②利用即可求出，從而求出值，最后求出一次函數(shù)的解析式．【詳解】（1）解：圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，和關(guān)于軸對稱，和為偶函數(shù)，故答案為：②③．（2）解：二次函數(shù)（為常數(shù)）是偶函數(shù)，，解得：，二次函數(shù)解析式為：，拋物線向下平移，平移得到新的二次函數(shù)為，由題意知，新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（在的左側(cè)），與軸交于點，，，，以為直徑的圓恰好經(jīng)過點，且和是對稱點，軸經(jīng)過以為直徑的圓的圓心，圓心到點的距離等于圓心到點的距離，，即．平移后新函數(shù)的解析式為：．故答案為：．（3）解：①偶函數(shù)經(jīng)過，，，即，，解得：，，設過點的一次函數(shù)解析式為：，將代入，得：，即，設，，則，，，，用，，表示，，的面積，∴，，，，又，，即．②，，即，即，過點的一次函數(shù)解析式為：，或．故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，涉及到的知識點有二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)與軸交點問題，二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)，二次函數(shù)和面積問題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識點．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)的線段最值問題】【例6】（2023春·福建福州·八年級福建省福州楊橋中學?？计谀┮阎獟佄锞€和直線，且．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)試說明拋物線與直線有兩個交點；(3)已知點，且，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，與直線交于點，當時，求線段長的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)的最大值為6【分析】（1）化為頂點式即可求頂點坐標；（2）由拋物線和直線得：，整理得，，即可知拋物線與直線有兩個交點；（3）由（2）可得：拋物線與直線交于和兩點，點P的坐標為，點Q的坐標為．故分兩種情況進行討論：①如圖1，當時；②如圖2，當時，求出對應的最大值即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點坐標為．（2）解：由和可得：，，，∵，∴，，∴拋物線與直線有兩個交點．（3）解：由（2）可得：拋物線與直線交于和兩點，點P的坐標為，點Q的坐標為，①如圖1，

當時，，∵，當時，有最大值，且最大值為．∵，∴，即的最大值為；②如圖2，

當時，，∵，∴當時，有最大值，且最大值為，∵，∴，即的最大值為6．綜上所述，的最大值為6．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的相關(guān)知識，（1）（2）題相對簡單，（3）題要分情況進行討論并解答，因此做此類題型，在進行分類討論時，盡量通過大致圖象數(shù)型結(jié)合進行解答．【變式訓練】1．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第二中學?？茧A段練習）已知拋物線與x軸交于A、B兩點，頂點為C，連接，點P在線段下方的拋物線上運動．

(1)如圖1，連接，，若，求點P的坐標．(2)如圖2，過點P作軸交于點Q，交于點H，求周長的最大值．(3)如圖3，直線，分別與y軸交于點E，F(xiàn)，當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)或；(2)最大值為；(3)當點P運動時，為定值，定值為8．【分析】（1）如圖，作軸，交直線于點D，由，得，，待定系數(shù)法確定直線解析式為，設，則，，得，解得或3，于是或．（2）如圖，可證得是等腰直角三角形，，周長，同（1），設，周長，得當時，最大值為．（3）當點P運動時，為定值．如圖，過點P作，交于點I，同（1），令，則，可證，得，同理，，得，于是．【詳解】（1）解：如圖，作軸，交直線于點D，

由，時，，得，，則，解得或，得,設直線解析式為，則，解得∴設，則，∴，解得，或3，或∴或．（2）解：如圖，，∴∵軸∴∴∴∴周長同（1），設，則，∴周長∴當時，點P在線段下方的拋物線上，此時周長有最大值，最大值為．

（3）解：當點P運動時，為定值．如圖，過點P作，交于點I，同（1），令，則∵，∴∴∴同理，，得∴∴．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，相似三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與y軸交于點C．

(1)求的面積；(2)點P是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點P的坐標；(3)將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．【答案】(1)18(2)，此時(3)或或【分析】（1）分別令和解方程可得點、、的坐標，再用三角形面積公式求出面積即可；（2）過點作軸交于點，數(shù)形結(jié)合思想找到和的數(shù)量關(guān)系，求最大值轉(zhuǎn)化為求最大值問題，利用配方法求最值即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，得出新拋物線解析式，求出兩個拋物線的交點坐標，再設向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立關(guān)于的方程求解，即可解答．【詳解】（1）解：當時，，當時，，解得：，，，，，，，；（2）解：過點作軸交于點，

，，，，∵軸，，，，則當最大時，也最大，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設，，，當時，最大，則，線段的最大值為，此時點的坐標為；（3），將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，即原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，原拋物線，新拋物線，令，解得，，設向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，，，，，①當時，，（舍去）或，點的坐標為；②當時，，或，點的坐標為或；綜上所述：點的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）函數(shù)（為常數(shù)，）．

(1)求出此函數(shù)圖像的頂點坐標（用含的式子表示）；(2)當時，此函數(shù)圖像交軸于點（點在點的左側(cè)），交軸于點，點為軸下方圖像上一點，過點作軸交線段于點，求線段的最大值；(3)點，連接，當此函數(shù)圖像與線段恰有兩個公共點時，求出a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用一般式頂點坐標公式代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意，求出相應點的坐標，求出直線的表達式，利用兩點之間距離公式表示出線段，再結(jié)合二次函數(shù)最值求解即可得到答案；（3）根據(jù)題意，分兩種情況討論，數(shù)形結(jié)合列出不等式組，再根據(jù)函數(shù)圖像與線段恰有兩個公共點的意義即可得到取值范圍．【詳解】（1）解：（為常數(shù)，），函數(shù)圖像的頂點坐標；（2）解：當時，，當時，，即；當時，，即，解得或，點在點的左側(cè)，，設直線表達式為，則，解得，，點為軸下方圖像上一點，過點作軸交線段于點，設，則，，，二次函數(shù)圖像開口向下，當時，函數(shù)有最大值為；∴的最大值為．（3）解：點縱坐標相等，連接后，軸，根據(jù)題意，分兩種情況：①當時，拋物線開口向上，如圖所示：

，解得，函數(shù)圖像與線段恰有兩個公共點，有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，，，則，即，此種情況不存在；②當時，拋物線開口向下，如圖所示：

，解得，函數(shù)圖像與線段恰有兩個公共點，有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，，，則，即，；綜上所述，當此函數(shù)圖像與線段恰有兩個公共點時，a的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及求頂點坐標、二次函數(shù)最值及圖像與線段交點問題，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)常見題型的解法是解決問題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)的最值綜合問題】【例7】（2023春·湖南長沙·八年級長沙市實驗中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，拋物線（）經(jīng)過點，和．

(1)求拋物線的表達式；(2)若直線與x軸交于點N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點M，當有最大值時，求出拋物線上點M的坐標；(3)若點P為拋物線（））的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，Q為平移后拋物線上一動點，在（2）的條件下求得的點M，是否能與A，P，Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出Q點坐標；若不能構(gòu)成，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，或，或，【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的表達式；（2）由“直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點”，可得出點，的坐標，進而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出m，代入可得M點的坐標；（3）利用平移的性質(zhì)，可得出平移后拋物線的表達式為，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出點的坐標，假設存在以，，，為頂點的平行四邊形，設點的坐標為，點的坐標為，分為對角線、為對角線及為對角線三種情況考慮，由平行四邊形的對角線互相平分，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之可得出值，再將其代入點的坐標中，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將，，代入得：，解得：，拋物線的表達式為；（2）直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，點的坐標為，點的坐標為，，，，，且，當時，有最大值，此時；（3），拋物線向左平移1個單位長度后的表達式為．當時，，點的坐標為，．假設存在以，，，為頂點的平行四邊形，設點的坐標為，點的坐標為．①當為對角線時，對角線，互相平分，，解得：，點的坐標為，；②當為對角線時，對角線，互相平分，，解得：，點的坐標為，；③當為對角線時，對角線，互相平分，，解得：，點的坐標為，．綜上所述，存在以，，，為頂點的平行四邊形，點的坐標為，或，或，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最大值；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分），找出關(guān)于的一元一次方程．【變式訓練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，過點的直線交拋物線于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是直線下方拋物線的一個動點，當面積最大時，求點的坐標及面積最大值．(3)若點是拋物線上的動點，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接求出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，點坐標為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）過點作軸，垂足為，交于點，先求出點坐標，即可求出直線的解析式，設點坐標為，則點坐標為，點坐標為，，表示出，即可求出最大值；（3）設點坐標為，點坐標為，以、、、點的平行四邊形，，根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，可以分以為對角線時，以為對角線時，以為對角線時三種情況討論，分別計算出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，將，代入得，，解得：，拋物線的解析式為；（2）（2）如圖1：過點作軸，垂足為，交于點，

在拋物線上，，，直線經(jīng)過，，設直線的表達式為，，解得：，直線的表達式為，設點坐標為，則點坐標為，點坐標為，，，，當時，的面積有最大值，最大值為；（3）答：存在.解：設點坐標為，點坐標為，以、、、點的平行四邊形，，，根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，可以分三種情況來討論：①如圖：以為對角線時，，得，點坐標為，，得，點坐標為，②如圖：以為對角線時，，得，點坐標為，得，點坐標為，③如圖：以為對角線時，，得，點坐標為，，得，點坐標為，點坐標為，，．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和最值，二次函數(shù)和平行四邊形綜合題中存在性問題等知識，解題的關(guān)鍵是對二次函數(shù)和平行四邊形性質(zhì)的靈活運用．2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設（），，解得：，，，，，，，當時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設，，，，，，解得：，；設直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當時，，

；綜上所述：存在，的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，其中，連結(jié)．(1)求點C的坐標及此拋物線的表達式；(2)點D為y軸上一點，若直線和直線的夾角為，求線段的長度；(3)當時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)點；(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)題意，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，直線和直線的夾角為，推出或，進行分類討論即可解答；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象以及函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值得出結(jié)論；【詳解】（1）∵對稱軸為直線，∴，，∵拋物線與y軸交于C點，代入得：，∴拋物線的解析式為，由拋物線的表達式知，點；（2），是等腰直角三角形，則，∵直線和直線的夾角為，或，在中，，，當時，如圖1所示：∵，則，則；當時，如圖2所示：，，∴的長度為或；（3）當和在對稱軸兩側(cè)時，此時，拋物線在時，取得最小值，當和關(guān)于對稱時，最大值相等且為定值，即時，y的值為最大值，此時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，此時，即，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，方程組的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)以及分類討論；本題綜合性強，注意分類討論；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用．【培優(yōu)檢測】1．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，且時，取到最大值，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線的解析式求得拋物線開口向下，對稱軸為直線根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即，即可選出最后答案．【詳解】解：函數(shù)中，拋物線開口方向向下，對稱軸直線為，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，當時，，取到最大值，，即，故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，找到對稱軸確定二次函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，當時，取得最小值是，判定；，得到，確定，判定即可．【詳解】∵，，∴當時，取得最小值是，∴；∵，解得，，當時，取得最大值是8，∴，故選C．【點睛】本題考查了拋物線的最值，正確理解最值的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知拋物線，該拋物線經(jīng)過平移得到新拋物線，新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間，若點，在拋物線的圖象上，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設平移后解析式為，由新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間得，由點，在拋物線的圖象上可得，，最后表示出的長度求范圍即可．【詳解】∵拋物線，該拋物線經(jīng)過平移得到新拋物線，∴平移后解析式為，∵新拋物線與x軸正半軸交于兩點，且交點的橫坐標在1到2之間，∴，∵點，在拋物線的圖象上∴，，∴，∴當時，最小，當或時，最大，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的平移，表示出是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江麗水·九年級期末）已知，且，令，則函數(shù)S的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出與的關(guān)系式，然后將二次函數(shù)化成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可解答．【詳解】解：，，當時，有最小值，等于，，當時，有最大值，等于1，，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，求出與的關(guān)系式，并將二次函數(shù)化成頂點式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·九年級開學考試）若函數(shù)在x的一定取值范圍內(nèi)有最大值為0，最小值為，滿足條件的x的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，求出當時，y有最小值；進一步求出當時，，由此即可得到答案．【詳解】解：設，∴，∴當時，即時，y有最小值；當時，∴，解得（負值舍去），∴當時，，∵，∴當時，t隨x增大而減小，當時，t隨x增大而增大，∴若函數(shù)在x的一定取值范圍內(nèi)有最大值為0，最小值為，滿足條件的x的取值范圍是，∴當可以滿足題意，故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，正確求出當時，y有最小值；求出當時，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當時，y的最小值為，則a的值為（

）A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4【答案】B【分析】根據(jù)題意易得二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性可進行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)可知對稱軸為直線，開口向上；∵當時，∴當時，y有最小值1，即，所以；當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大，即當時，有最小值；則有，方程無解；當時，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，即當時，有最小值；則有，解得：（不符合題意，舍去）；綜上所述：a的值為0或4；故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)，（a，b是實數(shù)，）的最小值分別為m和n，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，【答案】B【分析】分別求出，，由題意可得，且，即可得，從而求出．【詳解】解：函數(shù)和函數(shù)的最小值分別為和，，，當，，，或，函數(shù)和函數(shù)都有最小值，，，，．同理判斷及其他選項，可知其他選項都不正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟練掌握二次函數(shù)對稱軸、最大（小）值的求法是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江紹興·九年級?？计谀┤鐖D，矩形中，已知，，點是邊上一點，以為直角邊在與點的同側(cè)作等腰直角，連接，當點在邊上運動時，線段長度的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖作交的延長線于，于，交于．則．設由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖作交的延長線于，于，交于．則．設，，，，，，，在中，時，有最大值，最大值為，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應用等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題．9．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，，當時，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當時，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期中）已知當時，二次函數(shù)的函數(shù)值y大于0，則的取值范圍為______．【答案】【分析】首先得到二次函數(shù)開口向上,對稱軸為，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和，分，和在區(qū)間三種情況討論，分別列出不等式求解即可．將代入函數(shù)的解析式，令即可求得的取值范圍．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，①當拋物線的對稱軸時，即，要使二次函數(shù)解析式的值時恒大于0，只要，，解得：，∴；②當拋物線的對稱軸時，即時，要使二次函數(shù)解析式的值時恒大于0，只要即可；③當拋物線的對稱軸在區(qū)間時，，，，綜上所述：的取值范圍是：．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級統(tǒng)考期中）如圖，利用的墻角修建一個四邊形的花壇，使得，，如果新建圍墻折線總長15米，那么當_______米時，花壇的面積會達到最大．【答案】5【分析】過點A作于E，則四邊形為矩形，再證明是等腰直角三角形，得出，則，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：如圖：過點A作于E，則四邊形為矩形，，則，設，在中，又∵，∴，∴，∴，∴梯形面積，，∵，拋物線開口向下，∴S有最大值，∴當時，．也就是當CD長為時，才能使儲料場的面積最大，故答案為：5．【點睛】此題考查二次函數(shù)的運用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．11．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）已知函數(shù)(為常數(shù))，當時，隨的增大而增大，是該函數(shù)圖象上的兩點，對任意的和，總滿足，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【分析】由時，隨的增大而增大，可得，即；又由二次函數(shù)的增減性可知，時，時，；根據(jù)，建立不等式，并求出的取值范圍，即可得出結(jié)論．【詳解】解：有題意可得，拋物線開口向上，∵當時，隨的增大而增大，∴對稱軸，即；∵，∴當時，時，；時，，∵，∴，解得，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及二次函數(shù)最值問題，弄清楚二次函數(shù)的增減性與二次函數(shù)的最值何時取到是解題基礎(chǔ)．12．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則代數(shù)式的最小值為______．【答案】1【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得，，再利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，則，∴，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，即，且，∴∵，，∴當時，有最小值，最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值是解答的關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、、三點，點是其頂點，若點是軸上一個動點，則的最小值為__________．【答案】【分析】先求出，，如圖所示，作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接，則，然后證明當D、P、E三點共線時最小，即最小，最小值為，利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：在中，當時，，∴；∵拋物線解析式為，∴；如圖所示，作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接，則，∴，∴，∴當D、P、E三點共線時最小，即最小，最小值為，∴的最小值，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，正確作出輔助線確定當D、P、E三點共線時最小，即最小，最小值為是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期末）已知拋物線，，是常數(shù)，經(jīng)過點，下列結(jié)論：①：②關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；③當時，隨的增大而減小；④為任意實數(shù)，若，則代數(shù)式的最小值是．其中正確的是________(填寫序號)．【答案】①②④【分析】將點代入解析式得出，即可判斷①，進而計算，即可判斷②，根據(jù)題意，得出對稱軸為，即可判斷③，根據(jù)題意求得對稱軸進而得出函數(shù)的最小值，即可判斷④【詳解】解：將點代入，得，∴，∵，∴，故①正確，∵，∵，∴，故②正確，∵，則，∴對稱軸為，即對稱軸為直線，故③不正確；∵，∴，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴的最小值為∴代數(shù)式的最小值是．故④正確，故正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川成都·?？既＃┒x：將函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于點P的相關(guān)函數(shù)．如果當時，函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，則m的值為______．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點坐標，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出其相關(guān)函數(shù)的表達式，最后根據(jù)對稱軸的不同位置，進行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點坐標為，設該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)頂點坐標為，∴，，解得：，，∴設該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)頂點坐標為，∴設該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)為；①當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：，（舍）；②當時，時，當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對函數(shù)的頂點坐標連線中點為，根據(jù)對稱軸的不同位置進行分類討論．16．（2023·安徽·模擬預測）已知點是拋物線上一動點．（1）當點M到y(tǒng)軸的距離不大于1時，b的取值范圍是______；（2）當點M到直線的距離不大于時，b的取值范圍是，則的值為______．【答案】/0或5/5或0【分析】（1）先求出拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)點M到y(tǒng)軸的距離不大于1，得出，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出b的取值范圍即可；（2）根據(jù)點到直線的距離不大于，得出，即，從而得出，然后根據(jù)，求出a的范圍，即可得出．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵點M到y(tǒng)軸的距離不大于1，∴，∴此時點M在對稱軸的左側(cè)，∵，∴在對稱軸的左側(cè)隨x的增大而減小，∴當時，b取最大值，且最大值為，當時，b取最小值，且最小值為，∴b的取值范圍是；故答案為：；（2）∵點到直線的距離不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴點M應為或上的動點，當時，，當時，，綜上分析可知，的值為0或5；故答案為：0或5．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)，當時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小．17．（2023·四川成都·模擬預測）已知平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，且．若點，均在該拋物線上，且，則最大值為________．【答案】11【分析】先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，找出對稱軸，再根據(jù)，關(guān)于對稱軸對稱得出，將其代入，得到關(guān)于的函數(shù)解析式，再化成頂點式，根據(jù)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出的最大值．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，且，∴，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為，∵點，均在該拋物線上，且，∴點，關(guān)于直線對稱，在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右側(cè)，∴，，，∴，其中，∴，其中，∵的圖象開口向上，對稱軸為直線，∴當時，的值隨x的增大而增大，∴當時，取得最大值，最大值為．故答案為：11．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，求對稱軸，求最值等知識點，解題的關(guān)鍵是利用點，對稱，得到．解得，18．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，已知點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求的最大值與最小值；(3)點是拋物線上一動點，且到軸的距離小于3，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)