第二十三章 旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）（解析版）-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（人教版）

第二十三章旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）一、填空題1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考期末）如圖，兩塊完全相同的含角的直角三角板和疊合在一起，將三角板繞直角頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，有以下四個結(jié)論：①當時，與的交點恰好為中點；②當時，恰好經(jīng)過；③在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻，使得④在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在；共中結(jié)論正確的有多少個（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】如圖1所示，設與交于H（不包括），根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，再證明是等邊三角形，得到，由此即可判斷①；同理可得，當時，如圖2所示，利用三角形內(nèi)角和定理分別求出，則，由此即可判斷②；如圖3所示，分別在上取一點E、F，使得，過點F作交于G，證明，得到，再證明四邊形是平行四邊形，得到，由此推出，即可判斷③；如圖4所示，設直線與直線交于M，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，同理可得，再利用四邊形內(nèi)角和定理可得，由此即可判斷④．【詳解】解：如圖1所示，設與交于H（不包括），∵在中，，∴，當時，則，∴，∴是等邊三角形，∴，即點H是的中點，∴當時，與的交點恰好為中點，故①正確；同理可得當時，如圖2所示，∴，∴，∴，∴三點共線，即恰好經(jīng)過，故②正確；如圖3所示，分別在上取一點E、F，使得，過點F作交于G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵，∴，故③錯誤；如圖4所示，設直線與直線交于M，∵，∴，同理可得，又∵，∴，∴在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在，故④正確；故選C．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判斷，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．2．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應點為；第二次變化后得到等腰三角形，點的對應點為；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應點為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，可得點，，在第二象限，，，，推出，可得結(jié)論．【詳解】解：在平面直角坐標系中，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應點為，∴；第二次變化后得列等腰三角形，點的對應點為，；∴；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應點為；∴；……由圖可知：繞點每次順時針旋轉(zhuǎn)，并且腰長增加1，∴旋轉(zhuǎn)三次完成一周，故點，，，……在第三象限，，，，……，，∴，∴點到軸距離為，到軸距離為，，故選：D．【點睛】本題考查坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，是正內(nèi)一點，，，，將線段以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到；點與的距離為；；；，其中正確的結(jié)論是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，又，所以可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故結(jié)論①正確；由是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在中，由三邊長為，，，得是直角三角形；進而求得，故結(jié)論③正確；，故結(jié)論④正確；將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點旋轉(zhuǎn)至，，故結(jié)論⑤正確．【詳解】解：如圖所示：∵為正三角形，，，∵線段以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，又，，，又，可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故結(jié)論①正確；連接，，，是等邊三角形，，故結(jié)論②正確；，，在中，，，，是直角三角形，，，故結(jié)論③正確；四邊形的面積，過點作，是等邊三角形，，，，，∴四邊形的面積，故結(jié)論④不正確；如圖所示：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點旋轉(zhuǎn)至，連接，

，，是等邊三角形，，，，是直角三角形，且，同結(jié)論④證明過程可求得：，，，故結(jié)論⑤正確；綜上所述：結(jié)論①②③⑤正確．故選A．【點睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形面積，面積的割補法，綜合掌握以上知識點并靈活運用是解題的關鍵．4．（2023春·江蘇揚州·八年級高郵市南海中學?？茧A段練習）如圖，在正方形中，，若點在對角線上運動，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．點在上，且．給出以下四個結(jié)論：

①，②，③線段的最小值是，④面積的最大是16．其中正確的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；①根據(jù)正方形的性質(zhì)，和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用“”證明，得出，，證明，根據(jù)勾股定理即可證明結(jié)論；③根據(jù)，得出點F總是在過點C與AC垂直的直線上運動，過點P作垂足為點H，此時最小值即為的長，求出的長即可；④根據(jù)，得出，表示出，即可求出最大值．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∴為等腰直角三角形，∴，故①正確，符合題意；∵四邊形為正方形，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，故②正確，符合題意；③∵，∴點F總是在過點C與垂直的直線上運動，過點P作垂足為點H，如圖所示：

∵，∴，∵，，，∴，∴為等腰直角三角形，i∴，即的最小值為，故③正確，符合題意；④∵，∴，，∵，∴，∴∴當時，的面積最大，且最大值為16，故④正確，符合題意；綜上分析可知，其中正確的是①②③④．故選：A．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)“”證明，是解題的關鍵．5．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知四邊形是邊長為1的正方形，點E、點F分別在邊、上，，連接，連接分別交、于點G、點H．下列結(jié)論：①；②；③；④的面積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是?（）?A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】C【分析】證，可得，，證明，可得，可得，故①正確；由勾股定理可求，可得，故③正確；先求出的最小值，可求的面積的最大值為，故④正確，即可求解．【詳解】解：①延長到點M，使，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAE∴，∴，∵，∴，故①正確；②將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故②錯誤；③∵，∴，∴，∴，故③正確；④將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，作的外接圓，連接，，，過點O作于點H，設，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴的最小值為，∴的面積的最大值為．故④正確，故選：C．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．二、填空題6．（2023春·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點，且是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】取的中點N，連接作交的延長線于H，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)可以得到，由三角形三邊關系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【詳解】解：如圖，取的中點N，連接，作交CD的延長線于H，

由題意可得：∵點N是的中點，∴∴∵∴是等邊三角形，∴∴∵∴∴∴∴點G的運動軌跡是射線，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值為；故答案為．【點睛】本題考查平行四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合應用，熟練作出輔助線并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形三邊關系及勾股定理的應用是解題關鍵．7．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．且是邊長為的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在射線上運動，如圖，作點關于的對稱點，連接，設交于點，

則，在中，，則，則當三點共線時，取得最小值，即，∵，，，∴，∴，在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，，，點P在內(nèi)，且，，，則的長為．

【答案】【分析】將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，，根據(jù)勾股定理的逆定理，，得到，繼而得到，結(jié)合，判定A，P，D三點共線，運用勾股定理計算即可．【詳解】如圖，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，∴，，∵，

∴，∴，∴，∴A，P，D三點共線，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇淮安·八年級校考期末）如圖，平面直角坐標系中，已知，，為軸正半軸上一個動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應點為，則線段的最小值是．

【答案】/【分析】作軸交軸于，作軸交軸于，可證，可得，，設，則有，，，，即可求解．【詳解】解：如圖，作軸交軸于，作軸交軸于，

四邊形是矩形，，，，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，，，，，在和中，（），，，，，，，設，則有，，，在中，當時，有最小值，故答案：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，勾股定理，配方法求代數(shù)式的最值等，掌握相關的判定定理及性質(zhì)，配方法求代數(shù)式最值的求法是解題的關鍵．10．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線和交于點O，，，在的延長線上有一動點E，連接，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為．

【答案】2【分析】過點F作于點G，證明，得出，，則點F在射線上，當時，取最小值，過點O作于點H，根據(jù)勾股定理可得和矩形的性質(zhì)求出，即可求解．【詳解】解：過點F作于點G，

∵繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵點E在的延長線上，∴點F在射線上，當時，取最小值，過點O作于點H，根據(jù)勾股定理可得：，∵四邊形為矩形，∴，∵，，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴，故答案為：2．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等是判定，垂線段最短，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形，推出點F的運動軌跡．11．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有．①與面積相同；②；③若，連接和，則；④若，，，則．【答案】①②③【分析】延長，并截取，連接，證明，得出，，根據(jù)，，得出，證明，得出，即可判斷①正確；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，判斷②正確；根據(jù)時，，得出，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，求出，判斷③正確；根據(jù)②可知，，根據(jù)勾股定理得出，求出，判斷④錯誤．【詳解】解：延長，并截取，連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即與面積相同，故①正確；∵，，∴是的中位線，∴，∵，∴，故②正確；當時，，∴，，，，∵，∴，即，故③正確；∵，∴根據(jù)②可知，，∵當時，，為中線，∴，∴，∴，∴，故④錯誤；綜上分析可知，正確的是①②③．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線性質(zhì)，勾股定理，四邊形內(nèi)角和，補角的性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．三、解答題12．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考階段練習）綜合與探究問題情境：在數(shù)學活動課上，老師提出了這樣一個問題：如圖，正方形的對角線和相交于點，點是正方形內(nèi)的一點，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應點分別為點，，直線經(jīng)過點．特例探究：（1）如圖2，當點與點重合時，判斷和的數(shù)量關系并證明；操作探究：（2）如圖1，當點與點不重合時，判斷，和之間的數(shù)量關系，并說明理由；類比探究：（3）如圖3，將“正方形”改為“菱形”，將“繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到”改為“繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到”，其余條件不變，請直接寫出，和之間的數(shù)量關系．

【答案】（1），證明見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得四邊形是正方形，即可得出結(jié)論；（2）由“”可證，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，即可求解；（3）由“”可證，可得，由四邊形內(nèi)角和定理可求，由“”可證，可得，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）．證明：四邊形是正方形，，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點重合，，，，四邊形是菱形，又，四邊形是正方形，；（2），理由如下：如圖，延長至，使，連接，

，，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，即：；（3），理由如下，如圖，過點作，交的延長線于點，連接，并延長交的延長線于點，于點，

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，都是等邊三角形，，，，，，又，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，又，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．13．（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）將一副直角三角板和如圖（1）放置，此時四點在同一條直線上，點A在邊上，其中，，．

(1)求的度數(shù)；(2)將圖（1）中的三角板繞點A以每秒的速度，按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，記為三角板，設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．①當旋轉(zhuǎn)至圖（2）時，此時，求a的值；②若在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，直接寫出t的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，由三角形外角定理即可求解；（2）①當時，分兩種情況，第一種當旋轉(zhuǎn)角度在之間時，根據(jù)三角形外角定理得，再根據(jù)即可求解；第二種情況當旋轉(zhuǎn)角度在時，此時再旋轉(zhuǎn)；②分三種情況討論：第一種當時，a為或a為，第二種當時，a為或a為，，a為，根據(jù)角度轉(zhuǎn)動速度分別求解t即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：①如圖，

，，由（1）知，，，，，，如圖，與延長線交于點，

由第一種情況知，這種情況是在第一種情況的基礎上再旋轉(zhuǎn)，三角板繞點A以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，，；解：②如圖，當時，

，，，，a為或a為，（秒），（秒）．如圖，當時，

，，a為或a為，（秒），（秒），．如圖，當時，此時a為∴，綜上所述，【點睛】本題考查角的運動和角的運算及平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定方法及性質(zhì)和角度的運算是解題的關鍵．14．（2023秋·山西大同·九年級大同一中校考期末）如圖①在正方形中，連接，點E是邊上的一點，交于點F，點P是的中點，連接．

(1)如圖①，探究與有何關系，并說明理由；(2)若將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖②，連接，取的中點P，連接，請問在該條件下，①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；(3)如果把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到圖③，同樣連接，取的中點P，連接，請你直接寫出與的關系．【答案】(1)，且；理由見詳解(2)，且；理由見詳解(3)，且；理由見詳解【分析】（1）過點作，通過條件證明，就可以得出結(jié)論，；（2）作于，根據(jù)平行線等分線段定理就可以得出，再根據(jù)中垂線的性質(zhì)就可以得出，（3）延長交延長線于，連，最后通過證明三角形全等就可以得出結(jié)論．【詳解】（1），且．證明：過于點，延長交于點，作于點．

則四邊形是正方形，四邊形是矩形，，，，，，是的中點，，，在和中，，，，，，，，；（2）成立．

證明：圖2中，作，則，又是的中點，，則是的中垂線，，，，是的中點，，則，，是等腰直角三角形，，且；（3）圖3中，延長交延長線于，連．

，，，四邊形是矩形．，，由圖（2）可知，平分，，，又，為等腰直角三角形，．．，．，，．，，即，又，，．在和中，，．，．，，，，，，即，．【點睛】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點，因此難度較大．15．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有一副直角三角板如圖放置（其中，），，與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．

(1)在圖1中，______；(2)①如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，轉(zhuǎn)動一周三角板就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有成立；②如圖，在圖基礎上，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，當轉(zhuǎn)到與位置重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？【答案】(1)(2)①當旋轉(zhuǎn)時間為或秒時，成立；②當，旋轉(zhuǎn)的時間是秒【分析】（1）根據(jù)三角板的角度進行計算即可得到結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論；如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，求得，于是得到結(jié)論；②設旋轉(zhuǎn)的時間為秒，由題知，，根據(jù)周角得到，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，故答案為：；（2）①如圖1，此時，成立，∵，∴，∵，∴，∴，∵轉(zhuǎn)速為秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為秒；如圖2，，∵，∴，∵，∴，∴，∵三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為，∵轉(zhuǎn)速為秒，∴旋轉(zhuǎn)時間為秒，綜上所述，當旋轉(zhuǎn)時間為或秒時，成立；②設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，，∴，∴，當，即，解得：，∴當，旋轉(zhuǎn)的時間是秒．【點睛】本題考查了三角板中角度的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，識別圖形是解題的關鍵．16．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學相關問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖，在中，，，，分別為，邊上一點，連接，且，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．

(1)觀察猜想若，將繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，則與的數(shù)量關系為______；(2)類比探究若，將繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，，相交于點，猜想，滿足的位置關系，并說明理由；(3)拓展應用如圖，在的條件下，連結(jié)，分別取，，的中點，，，連結(jié)，，，若，，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中面積的最大值．【答案】(1)(2)，見解析(3)的最大值為，面積的最大值為【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得，由外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）先證明是等腰直角三角形，可得的面積，則當點A，點D，點B三點共線時，有最大值，即面積有最大值．【詳解】（1）解：如圖，，，∵，，，，，旋轉(zhuǎn)，，又，，∴，，故答案為：；（2），理由如下：如圖，設與的交點為點，

繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，，，，在與中，，∴，，是的外角，也是的外角，，，；（3），，分別是，，的中點，∴，，，，∵，，，，，，，是等腰直角三角形，的面積，，，當點，點，點三點共線時，有最大值，即面積有最大值，的最大值為，面積的最大值為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．17．（2022秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在等邊中，點，在直線上，為邊上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關系是______，線段與直線所夾銳角的度數(shù)是______【類比探究】（2）如圖2，在等邊中，點，在直線上，若為延長線上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，上述兩個結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，在正方形中，點，在直線上，為直線上的任意一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若正方形的邊長為2，連接，當時，求線段的長．

【答案】（1）；60°（2）成立，理由見解析（3）1或3【分析】（1）過點作交于點．證明≌，可得結(jié)論；（2）連接，由旋轉(zhuǎn)可得為等邊三角形，可知，．由為等邊三角形，可知，，進而可得，可證得，可得，，進而可得，即可得結(jié)論；（3）分三種情況：①當點在線段上時，②當點在線段延長線上的右側(cè)時，③當點在線段延長線上的左側(cè)時，分別進行討論求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作交于點．

是等邊三角形，，∵，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，；60°．（2），線段與直線所夾銳角的度數(shù)為仍成立．理由：如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴為等邊三角形，∴，．∵為等邊三角形，∴，，則∴，

∴，∴，，∴，即線段與直線所夾銳角的度數(shù)為；（3）①當點在線段上時，如圖，連接，過點作交于點，作交于點．

設正方形的邊長為，則，∴．在中，，即，解得，（舍去），∴．∵點在線段上，∴，∴（不合題意，舍去）②如圖，當點在線段延長線上的右側(cè)時，同理可得，

∴在中，，解得，（舍去），∴．③如圖，當點在線段延長線上的左側(cè)時，同理可得，∴在中，，解得，（舍去），∴．綜上所述，線段的長為1或3．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．18．（2023春·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學?？计谀┮阎叫蔚倪呴L為4．

(1)如圖1，點P在直線上運動，連接，將線段繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．①若點P與A重合，則___________．②若，求的長．(2)如圖2，點P在邊上（P不與A，D重合）運動，且，連接、．將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，設，，求關于x的函數(shù)表達式．【答案】(1)①，②或(2)【分析】（1）①連接，證明，用勾股定理即可求出，從而求出答案；②（i）分情況討論：當點P在線段延長線上時，過點E作于點F，證明，在中，用勾股定理可求出，進而求出答案；（ii）當點P在線段上時，不符合題意；（iii）當點P在線段延長線上時，過點E作于點G，同理即可求出；（2）過點作于H，過點N作于I，作于J，可得四邊形INJH為矩形，證明，，表示出，在中，即可表示出函數(shù)表達式．【詳解】（1）解：①連接，如圖所示，

∵四邊形是正方形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，∴D為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，，∵正方形的邊長為4，∴，∴，∴；②（i）當點P在線段延長線上時，如圖所示，過點E作于點F

∵，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，，∴，∴，∴；（ii）當點P在線段上時，不符合題意（iii）當點P在線段延長線上時，如圖2所示，過點E作于點G

同理可得，∴，在中，，，∴，∴，∴，綜上，或；（2）解：如圖3，過點作于H，過點N作于I，作于J，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，∵，∴，同理可證，∵，∴，，，，∵，，，∴四邊形INJH為矩形，∴，，，在中，，∴關于x的函數(shù)表達式為：．【點睛】本題考查了正方形與旋轉(zhuǎn)問題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，正確作出輔助線是關鍵．19．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長分別為和的兩個等邊三角形紙片和，連接，．

(1)若點、、在同一直線上，如圖，請直接寫出線段與之間的數(shù)量關系．___________(2)操作：不動，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖，（1）中的結(jié)論是否還成立，若成立，僅就圖的情形證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．(3)根據(jù)（2）的操作過程，若，請你猜想當為多少度時，線段的長度最大，最大長度是多少？當為多少度時，線段的長度最小，最小長度是多少？【答案】(1)；(2)成立，見解析；(3)當時，最大長度為．當時，最小長度為．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，然后求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得；（2）同(1)可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）由題意可知，當在的延長線上時，線段的長度最大，當在線段上時，線段的長度最?。驹斀狻浚?）解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，∴，∴，故答案為:；（2）（1）中結(jié)論仍成立．

如圖∵與是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴．（3）如圖，當點，，三點共線時，

即當時，線段的長度最大，最大長度為，如圖，當點，，三點共線時，

即當時，線段的長度最小，最小長度為．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關系，證明是解題的關鍵．20．（2019秋·廣東廣州·九年級廣州市第七十五中學校考期中）如圖，已知，點是直線上的動點．

(1)請作出線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應線段；(2)①當恰好落在軸上，求出此時的坐標．②已知點的橫坐標為，請直接寫出點的坐標（用含的代數(shù)式表示）．③在②的基礎上，求出縱坐標與橫坐標的函數(shù)關系式．④求線段的最小值．【答案】(1)見解析(2)①；②；③；④1【分析】（1）過點A作的垂線，以點A為圓心，為半徑作弧，交的垂線于點；（2）①過點A作軸于點H，過點P作于點G，證明，得到，，設，則，列得，求出a即可；②分別作軸于點B，軸于點E，軸于點F，，由①得，得到，求出的長度，由此表示出的長度，即可得到點的坐標為；③由即可得到；④由，求出，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）如圖，線段即為所求；

（2）①過點A作軸于點H，過點P作于點G，

∵∴∵∴又∵∴∴，，設，則，∵，∴，解得∴；②分別作軸于點B，軸于點E，軸于點F，，

則，由①得，∴，∴，，∴∴點的坐標為；③∵，∴，∴縱坐標與橫坐標的函數(shù)關系式是．④∵，∴，∴當時，有最小值，值為1，故線段的最小值為1．【點睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合掌握以上知識是解題的關鍵．21．（2022秋·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考期中）將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，其中點與點，點與點分別是對應點，連接．

(1)如圖，若點，，第一次在同一直線上，與交于點，連接．①求證：平分．②取的中點，連接，求證：．③若，，求的長．(2)若點，，第二次在同一直線上，，，直接寫出點到的距離．【答案】(1)①見解析；②見解析；③(2)【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；②如圖1，過點作的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；③如圖2，過點作的垂線，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可得到結(jié)論．（2）如圖3，連接，，過作交的延長線于，交的延長線于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，解直角三角形得到，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①證明：矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，，，又，，，平分；②證明：如圖1，過點作的垂線，垂足為Q，

平分，，，，，，，，，，即點是中點，又點是中點，；③解：如圖2，過點作的垂線，過點作的垂線，

∴又，，，，，，，，則；（2）解：如圖3，連接，，過作交的延長線于，交的延長線于，則，∴四邊形是矩形，則，

將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，，，點，，第二次在同一直線上，，,，，，又，，，，又，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是正確地作出輔助線．22．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得（點A與點C對應，點B與點D對應），直線交直線于點G．

(1)求直線的解析式；(2)點P為y軸上一動點，若，求點P的坐標；(3)如圖2，直線，交x軸，y軸于F，E兩點，點N為平面直角坐標系內(nèi)一點．若以A，E，F(xiàn)、N為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)及全等三角形的性質(zhì)確定點C和點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立方程組求點G坐標，然后利用三角形面積公式列方程求解；（3）結(jié)合菱形的性質(zhì)分情況討論求解．【詳解】（1）解：在中，當時，，當時，，∴，∵將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得（點A與點C對應，點B與點D對應），∴，∴，，∴，設直線的解析式為，把，代入函數(shù)解析式可得，解得，∴直線的解析式為；（2）解：聯(lián)立方程組，解得，∴設，則，解得，∴或（3）解：由，設直線的函數(shù)解析式為，在中，當時，，當時，，∴，，當為對角線時，，，∴，解得：，（舍去），∴，∴．當為菱形的對角線時，此時，∴，解得，，當時，，，∴，∴，同理，當時，，當為菱形的對角線時，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，綜上，符合條件的N點坐標為或或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．23．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）已知線段是正方形的一條對角線，點E在射線上運動，連接，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

（1）如圖1，若點E在線段上，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關系與位置關系；【模型應用】（2）如圖2，若點E在線段的延長線上運動，請寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；【模型遷移】（3）如圖3，已知線段是矩形的一條對角線，，，點E在射線上運動，連接，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，在上截取線段，連接，若，直接寫出線段EF的長．【答案】【小問1】，；

【小問2】，理由見解析；

【小問3】線段EF的長為或．【分析】（1）利用正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及邊角邊關系證全等，即可得到結(jié)論；（2）利用全等的性質(zhì)得到，利用勾股定理求得，代入轉(zhuǎn)化即可；（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到是直角三角形，再根據(jù)轉(zhuǎn)化為求的長，通過作垂線構(gòu)造，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1），；∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∵將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，，∴，∴，∴，，則，即；（2）；理由：∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，，，∴，即，∴，∴，在中，，∵，∴；（3）過點C作于點H，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，若點E在線段上，

∵，∴，∴，∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∵，∴，若點E在的延長線上時，

同理，，∴，同理，，綜上，線段EF的長為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形．24．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學?？计谥校┖投际堑妊苯侨切危?，．(1)如圖①，若的頂點A在的斜邊上，求證：；(2)將繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，點B在線段上，連，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請給出正確結(jié)論并說明理由．(3)在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當A、E、B三點在同一條直線上時，若，，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)不成立，，理由見解析(3)的長為8或2【分析】（1）連接，利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明，推出，，得到，由，，即可推出；（2）證明，推出，得到，根據(jù)，，推出；（3）當點E在延長線上時，過點C作于F，得到，勾股定理求出，即可得到，利用面積公式計算即可；當點E在延長線上時，過點C作，得到，勾股定理求出，求出即可．【詳解】（1）解：連接，∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，（2）解：不成立，．理由：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：如圖：當點E在延長線上時，過點C作于F，∵，∴，∵，∴，∴，如圖：當點E在延長線上時，過點C作于H，∵，∴，∵，∴，∴，綜上，的長為8或2．【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，以及勾股定理的計算公式是解題的關鍵．25．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，以、為邊作，點為中點，連接、．

(1)分別求出線段和線段所在直線解析式；(2)點為線段上的一個動點，作點關于點的中心對稱點，設點橫坐標為，用含的代數(shù)式表示點的坐標（不用寫出的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，①當點移動到的邊上時，求點坐標；②為中點，為中點，連接、．請利用備用圖探究，直接寫出在點的運動過程中，周長的最小值和此時點的坐標．【答案】(1)所在直線的解析式為；所在直線解析式為(2)(3)①或，②周長最小值為；【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點和點的坐標，再用待定系數(shù)法求出線段和線段所在直線解析式即可；（2）根據(jù)所在直線的解析式為，點橫坐標為，得出點，再根據(jù)點和點關于點的中心對稱點，即可得出點的坐標；（3）①根據(jù)題意進行分類討論：當點在上時，當點在上時，即可得出結(jié)論；②過點作于點，過點作于點，通過證明，得出，延長，過點作于點，證明，進而得出，過點作，則，即可推出點在直線上運動，作點關于直線的對稱點，當點，，在同一條直線上時，周長取最小值，即可求出周長取最小值；根據(jù)中點坐標公式得出，，再證明點是中點，則，求出，根據(jù)點為中點，得出，最后根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵四邊形為平行四邊形，，∴，∵點為中點，∴，設所在直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴所在直線的解析式為；設所在直線解析式為，把點，代入的：，解得：，∴所在直線解析式為．（2）解：∵所在直線的解析式為，點橫坐標為，∴點，設點，∵點和點關于點的中心對稱點，∴，整理得：，∴；（3）解：①當點在上時，∵點在上，∴，解得，∴；

當點在上時，∵，且在上，∴，解得：，∴；

綜上：或；②∵，，∴，∵為中點，為中點，∴，過點作軸于點，∵，，∴，∴，則，

過點作于點，過點作于點，∵點是點關于點的中心對稱點，

∴，又∵，∴，∴，延長，過點作于點，∵點是中點，∴，∵，∴，∴，則，

∵，，∴，∵，，∴設，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，

∴，過點作，∵，，，∴，則點在直線上運動，作點關于直線的對稱點，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及平行線間的距離處處相等可得，當點，，在同一條直線上時，，此時周長取最小值，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴周長最小值為；

∵，，，為中點，為中點，∴，，∵，，∴是的中位線，則點是中點，∴，過點作于點，∵，，∴，∴∵，∴，即點為中點，∴，∵，∴，解得：，∴

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中心對稱，勾股定理，軸對稱，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法，中點坐標公式，正確作出輔助線，確定周長最小時各點的位置．26．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學校考期中）如圖1，在中，過點作于，過點作于，交于，．

(1)求證：：(2)如圖2，過點作射線，在射線上取一點，使，連接，若平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，將繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)時間為，當與重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當?shù)倪吪c的某一邊平行時，直接寫出此時的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或或或【分析】（1）由于，于，得到，，利用證得，從而得到；（2）通過證明得到，進一步證明，可得，從而得到；（3）分四種情況，一是當時則，可得，則，解得：；二是當時且點在直線的上方時，，則，解得：；三是當時，則，可得，，三點在同一直線上，則，解得：；四是當時，點在直線的下方，則，則，解得：．【詳解】（1）證明：于，于，，，在和中，，，；（2）證明：于，，平分，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，；（3）由（1）得，，，，由（2）得，，，，，，，當時，如圖，

則，由旋轉(zhuǎn)，，，，，，解得：；當時且點在直線的上方時，，，解得：；當時，如圖，設的延長線交于點，

則，，，與重合，，，三點在同一直線上，，，解得：；當時，點在直線的下方，如圖，設的延長線交于點，

則，，與點重合，，，三點在同一直線上，，，，解得：；綜上所述，的值為或或或．【點睛】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、列方程解應用題、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考查壓軸題．27．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點D是邊上一動點，連接．把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)求證：；(2)若，時，求的長；(3)在點D運動的過程中，線段上存在一點P，使的值最小，設的長為m，直接寫出的最小值（用含m的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)的長為1或3；(3)【分析】（1）把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到得到；（2）在中，求出，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求出，設，則，利用勾股定理得到，求解即可；（3）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，得是等邊三角形，，當點A，點P，點N，點M共線時，值最小，連接，得垂直平分，求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，進而求出，得到，，由此求出，得到值最?。驹斀狻浚?）證明：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴∵∴，∴（2）在中，，∴，∵，∴，∴設，則，∵∴解得，∴的長為1或3；（3）如圖3-1，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接

∴∴是等邊三角形，∴∴∴當點A，點P，點N，點M共線時，值最小，此時，如圖3-2，連接，

∵將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴是等邊三角形，是等邊三角形，∴∵∴垂直平分，∵∴∵∴，，∴∴∴，∴∴值最小為．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關鍵．28．（2023·全國·九年級專題練習）定義共弦、共弦角如下：共弦：將正多邊形繞某頂點順時針旋轉(zhuǎn)得到的新正多邊形與原正多邊形相交于一點，連接旋轉(zhuǎn)中心與交點，把這條線段叫做正多邊形的共弦；圖以正四邊形為例，圖以正五邊形為例，線段即為正四（五）邊形的共弦．共弦角：共弦與離原正多邊形最近的邊組成的角叫做共弦角；如圖1，是共弦角，因此

(1)如圖1，四邊形是正方形．求證：，并求出的值；(2)依照（1）的方法，有人求出了以下正多邊形的共弦角：正五邊形：正六邊形：正七邊形：請你根據(jù)以上結(jié)論，猜想任意正邊形的共弦角的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）？并寫出這樣猜想的理由．(3)請審視以上數(shù)學問題、問題解決以及猜想過程，提出至少兩個與之有關的、你認為需要進一步探究的的數(shù)學問題．【答案】(1)(2)任意正邊形的共弦角的度數(shù)或，見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，證明可得，進而即可求解；（2）猜想：任意正邊形的共弦角的度數(shù)或，根據(jù)正四邊形、正五邊形、正六邊形……得共弦角的度數(shù)，找到規(guī)律，即可求解；（3）答案不唯一，對以上問題的科學性，問題解決的嚴謹性及猜想的合理性等質(zhì)疑，提出問題即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知：四邊形是正方形，正方形是正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到

∴，在正方形中∴∴∴（2）猜想：任意正邊形的共弦角的度數(shù)或理由如下：正四邊形的共弦角的度數(shù)；正五邊形的共弦角的度數(shù)；正六邊形的共弦角的度數(shù)；正七邊形的共弦角的度數(shù)；因此有如上猜想；（3）答案不唯一，對以上問題的科學性，問題解決的嚴謹性及猜想的合理性等質(zhì)疑，可提出以下問題：1.“有人證明了正五邊形的共弦角是”，這一結(jié)論是否正確，請予證明？2.共弦角的取值范圍是，為什么？3.正三角形也是正多邊形，他是否有共弦角？4.題中的正多邊形是否包括正三角形？如果包括，對嗎？5.猜想不一定正確，請證明任意正邊形的共弦角的度數(shù)為其它與本題有關的質(zhì)疑性、批判性問題均可．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．29．（2023·全國·九年級專題練習）課題學習：三角形旋轉(zhuǎn)問題中的“轉(zhuǎn)化思想”【閱讀理解】由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，是三角形旋轉(zhuǎn)中的一個重要的“基本圖形”，這個模型稱為“手拉手模型”．當發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時，要通過適當?shù)妮o助線將其補完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”．【方法應用】

(1)如圖1，在等腰中，，，點D在內(nèi)部，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，，．請直接寫出和的數(shù)量關系：__________，位置關系：__________；(2)如圖2，在等腰中，，，，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，取中點M，連接．①當點D在內(nèi)部，猜想并證明與數(shù)量關系和位置關系；②當B，M，E三點共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)，(2)①，；②或【分析】（1）證明得，，再延長交于F，證明即可得．（2）①過點A作交延長線于N，連接，證明是的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)得，，再由（1）可得，，，即可得出結(jié)論．②分兩種情況：當點E在延長線上，B，M，E三點共線時，當點E在線段上，B，M，E三點共線時，分別求解即可．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可得，∴∵∴在和中，，∴∴，，延長交于F，如圖，

∵∴∴∴，∴．（2）解：①，過點A作交延長線于N，連接，如圖，

∵等腰中，，，∴∵∴∴∴∵∠ACB＝90°，∴∴∵點M是和中點，∴，，由（1）可得，，，∴，．②當點E在延長線上，B，M，E三點共線時，如圖，過點A作于F，

∵等腰中，，，∴由旋轉(zhuǎn)可得，∴，∵∴∴，∴，∴，由①知，∴；當點E在線段上，B，M，E三點共線時，如圖，過點A作于F，

同法可得，，，∴由①知，∴；綜上，當B，M，E三點共線時，的長度為或．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三位線定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)．本題屬旋轉(zhuǎn)綜合探究題目，熟練掌握相差性質(zhì)與判定是解題的關鍵．30．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點O是等邊內(nèi)一點．將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，使得，連接．已知，設．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)的大小不變?yōu)椋?2)分析問題：當時，分析判斷的形狀是三角形．(3)解決問題：請直接寫出當為度時，是等腰三角形．【答案】(1)(2)直角(3)或或【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊三角形的性質(zhì)推出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則是等邊三角形，得到，由此求出，則，即可得到是直角三角形；（3）分，，三種情況，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，即可利用周角的定義求出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∵將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，故答案為：

（2）解：∵將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故答案為：直角；（3）解：當時，則，∴，∴；當時，則，∴，∴，∴；當時，則，∴，∴；綜上所述，的度數(shù)為或或時，是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．31．（2023·全國·九年級專題練習）在中，，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．連接，延長交于點F．

(1)當時，如圖1，①求的度數(shù)；②求證：．(2)當時，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與是否仍然相等，若相等，請說明理由；若不相等，請求出它們的數(shù)量關系．【答案】(1)①30°；②見解析(2)相等，見解析【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)得出為等邊三角形，得出，再利用平角求出角度即可；②根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的判定證明即可；（2）在上取一點H，使得，連接，證明，再利用等腰三角形的判定證明即可．【詳解】（1）解：①證明：當時，點C在上，由旋轉(zhuǎn)可知：，∴為等邊三角形．∴．又∵，∴，∴．②證明：由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：．理由：在上取一點H，使得，連接．

由旋轉(zhuǎn)可知：，，，∴．∵，，∴，，∴，∴．∴，．∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定，解題關鍵是熟練運用相關知識進行推理證明．32．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學?？茧A段練習）【初步感知】（1）已知，在中，．如圖1，將邊，同時繞著點分別按逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)，得、，連接，，求證：；【類比探究】（2）如圖2，在，，若，，將邊繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，連接，求的長．【拓展應用】（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點A為第二象限內(nèi)一點，且，點B坐標為，若將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，點D恰好在y軸上．將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，求點C坐標．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）利用證明，即可證明；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，說明，利用勾股定理求出的長；（3）連接，，過A作軸于H，過C作軸于G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到和是等邊三角形，證明，可得，進一步求出，結(jié)合點B的坐標求出，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，得到，即可得到點C坐標．【詳解】解：（1）證明：將邊，同時繞著點分別按逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)，得、，，，，，在和中，，，；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，

，，，，，，，，在中，，；（3）如圖，連接，，過A作軸于H，過C作軸于G，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，∴和是等邊三角形，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點C的坐標為．

【點睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的根據(jù)．33．（2022秋·山西朔州·九年級校考階段練習）我們已經(jīng)認識了圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)．這是圖形的三種基本變換，圖形經(jīng)過這樣的變換，雖然位置發(fā)生了改變，但圖形的形狀與大小都不發(fā)生變化，反映了圖形之間的全等關系．這種運用動態(tài)變換研究圖形之間的關系的方法，是一種重要而且有效的方法，同學們學完了這些知識后，王老師在黑板上給大家出示了這樣一道題目：如圖，與為正三角形，點為射線上的動點，作射線與射線相交于點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，射線與射線相交于點．

(1)如圖1，點，O與點重合時，點分別在線段上，求證：；(2)當同學們把這道題領會感悟后，王老師又在上題基礎上追加了一問：如圖2，當點，在的延長線上時，分別在線段的延長線和線段的延長線上，請寫出三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）利用證明即可得出結(jié)論；（2）過點作，交于，可知是等邊三角形，再利用證明，從而解決問題．【詳解】（1）解：證明：與為正三角形，，，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，且，，在與中，，；（2），理由：如圖，過點作，交于，

，，是等邊三角形，，，，，，在與中，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關鍵．34．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐

(1)如圖，在中，，，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，是邊上的一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關系為___________，位置關系為____________；(2)若是延長線上的任意一點，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請用圖證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖在(2)的條件下，當點落在的邊上時，求的長．【答案】(1)，；(2)成立，證明見解析；(3)【分析】（1）由“”可證，可得，，由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可求，可得；（2）由“”可證，可得，，由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可求，可得；（3）等腰直角三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）延長交于點，如圖，

∵將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∵°，∴°，∴，故答案為：，．（2）成立，理由如下：延長交于點，如圖，

∵將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∵°，∴°，∴，（3）如圖，

由題意可知：，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用．35．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）綜合與探究問題情境：在數(shù)學活動課上，老師提出了這樣一個問題：如圖，正方形的對角線和相交于點O，點E是正方形內(nèi)的一點，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，E的對應點分別為點D，F(xiàn)，直線EF經(jīng)過點O．特例探究：（1）如圖2，當點O與點E重合時，判斷和的數(shù)量關系并證明；操作探究：（2）如圖1，當點O與點E不重合時，判斷，和之間的數(shù)量關系，并說明理由；類比探究：（3）如圖3，將“正方形”改為“菱形”，將“繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到”改為“繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到”，其余條件不變，請直接寫出，和之間的數(shù)量關系．

【答案】（1），證明見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得四邊形是正方形，即可得出結(jié)論；（2）由“”可證，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，即可求解；（3）作輔助線如解析圖，由“”可證，可得，由四邊形內(nèi)角和定理可求，由“”可證，可得，可得結(jié)論．【詳解】（1）．證明：∵四邊形是正方形，∴，，，，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點O與點E重合，∴，，∴，∴四邊形是菱形，又∵，∴四邊形是正方形，∴；（2），理由如下：如圖，延長至H，使，連接，

∵，，，∴，∴，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：；（3），理由如下，如圖，過點D作，交FE的延長線于點H，連接，并延長交的延長線于點G，于點P，

∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，都是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．36．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，為等邊三角形，點E是邊上任意一點（），將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，將三角板的30°角按如圖所示方式放置，與邊交于點D，E．連接．

請直接寫出結(jié)果：①＝°；②與的數(shù)量關系是；類比探究：（2）如圖2，在中，，，點E是邊上的任意一點（），將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到．將一個含45°角的三角板按如圖所示方式放置，與邊交于點D，E．①求的度數(shù)；②若，，試求的長．【答案】（1）①120°；②；（2）①90°；②【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，證明，再求得的度數(shù)為120°；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，證明，再求得；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)及全等三角形的判定和性質(zhì)，再求得的度數(shù)為90°；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)及勾股定理，再求得即可．【詳解】解：（1）①的度數(shù)為120°，理由如下：∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，∴．故答案為：120°；②結(jié)論：，理由如下：∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，∴，∴，，∵，∴．在與中，，∴，∴．故答案為：．（2）①∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴，∴；②連接．

∵，，∴，在與中，，∴，∴，在中，，∵，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形綜合題，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判斷及性質(zhì)，以及等邊三角形、等腰三角形等特殊三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．37．（2023春·河南信陽·八年級?？计谥校┩ㄟ^類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖，點、分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．

(1)梳理，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合．，，點、、共線．根據(jù)，易證，得．(2)引申如圖，四邊形中，，點、分別在邊、上，，若、都不是直角，則當與滿足等量關系時，仍有．(3)聯(lián)想拓展如圖，在中，，，點、均在邊上，且，猜想、、應滿足的等量關系，并寫出推理過程．【答案】(1)，(2)(3)，見解析【分析】把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，再證明≌進而