2023-2024學(xué)年遼寧省大連市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省大連市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題第Ⅰ卷（60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．5 B． C．10 D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A． B． C． D．44．函數(shù)f（x）=x2–xsinx的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,則“”是“單調(diào)遞增”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若函數(shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓：和直線：，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9．若，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．10．如圖，在方格中，向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．11．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的最小值為C．曲線關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)12．已知和為橢圓：的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不與和重合的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)位于直線異側(cè)，且滿足，，則（

）A．點(diǎn)在橢圓的外部 B．點(diǎn)的軌跡為橢圓C． D．面積的最大值為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）13．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為.14．在等比數(shù)列中，，，則.15．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則.16．已知函數(shù)在區(qū)間恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，．(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍．19．已知函數(shù)，.(1)直接寫出曲線與曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并求曲線在公共點(diǎn)處的切線方程；(2)已知直線分別交曲線和于點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，設(shè)的面積為，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值.20．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.21．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，在第一象限，在第四象限，且，求的值.22．已知函數(shù).(1)若對(duì)任意的恒成立，求t的取值范圍；(2)設(shè)且，證明.答案和解析1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D2．B【分析】先分別解一元二次不等式和指數(shù)不等式，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】，解得，所以.，解得，所以.所以.故選：B3．A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式求解.【詳解】，，即，，故選：A4．A分析函數(shù)的奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B項(xiàng)；，設(shè)，則恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，任取，則，所以，，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故排除C、D選項(xiàng).故選：A.本題考查利用函數(shù)解析式選擇圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法得出合適的選項(xiàng)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系，以及數(shù)列的單調(diào)性得，可得選項(xiàng)．【詳解】充分性：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為,且，則，所以不一定成立，即由不能推出數(shù)列單調(diào)遞增，所以充分性不成立；必要性：數(shù)列單調(diào)遞增，則對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，即可滿足，∴不能推出，所以必要性不成立.故選：D．本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和，數(shù)列的單調(diào)性，關(guān)鍵在于得出數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)的和關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。6．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞增時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此有，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，顯然無論取何實(shí)數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C7．A【分析】結(jié)合題意，利用等面積法表示出，通過分析轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離最小，再利用四點(diǎn)共圓的知識(shí)求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程就可以得到直線的方程.【詳解】由題意可得:,所以,要使得最小，只需直線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，其最小值是圓心到直線的距離，此時(shí)，且滿足.所以此時(shí)直線的方程為：，即，聯(lián)立，解得：，即，由于四點(diǎn)共圓，以為直徑的圓的方程：，即：，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，得到直線的方程為.故選：A.8．A【分析】求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)同構(gòu)變形，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，進(jìn)而得到的單調(diào)性，從而得到要想滿足有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，得到方程，求出答案.【詳解】定義域?yàn)镽，且，令，則恒成立，故在R上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故要想滿足有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，即，解得.故選：A9．BC【詳解】令，可判斷A、D兩項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷BC兩項(xiàng).【分析】當(dāng)，時(shí)，不滿足，所以A不成立；根據(jù)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增，所以，一定有，所以B成立；在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減，所以，一定有，所以C成立；當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，所以D不成立.故選：BC10．BCD【分析】A選項(xiàng)，由于兩向量方向不同，故；B選項(xiàng)，建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，從而對(duì)BCD進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，由于的方向不同，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，故，故，又，故，B正確；C選項(xiàng)，，故，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：BCD11．ACD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷A，由條件可得的一個(gè)周期為，分別計(jì)算函數(shù)在與的最小值，即可判斷B，由對(duì)稱性的定義即可判斷C，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，則是偶函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，所以的一個(gè)周期為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，的最小值為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，的最小值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋郧€關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，令可得，因?yàn)?，所以或，即或，?dāng)時(shí)，令可得，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ACD12．AC【分析】通過條件先分析出和為直角，求出點(diǎn)軌跡方程，再逐個(gè)判斷選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)，C選項(xiàng)中向量的數(shù)量積要注意向量的轉(zhuǎn)化即可.【詳解】如圖所示，因?yàn)榍?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上不與和重合的動(dòng)點(diǎn)，所以和存在，所以，由題知，不妨令，則，即①，所以，解得，又因?yàn)?，代入可得，?duì)于A：點(diǎn)的軌跡為，聯(lián)立，解得（舍），所以兩個(gè)曲線沒有交點(diǎn)且過橢圓Γ外的點(diǎn)，所以在橢圓的外部，A正確；對(duì)于B：點(diǎn)的軌跡為橢圓缺少左右頂點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，而，，所以，C正確；對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)取到時(shí)的面積取到最大值，D錯(cuò)誤，故選：AC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是由已知條件確定出C的軌跡，同時(shí)對(duì)于選項(xiàng)C，應(yīng)用極化恒等式也能快速得到答案.13．2【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出漸近線的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，雙曲線的漸近線方程為.所以，點(diǎn)到，即的距離.故2.14．8【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題，則，且，所以，故815．【分析】依題意設(shè)，，，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】由題意設(shè)：，，，所以得：，化簡(jiǎn)得：，，，化簡(jiǎn)得：，，所以得：所以得.故答案為.16．【分析】根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合條件可得，即可得到不等式.【詳解】因?yàn)?，令，記，因?yàn)?，且，所以，所以函?shù)在區(qū)間恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，三個(gè)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，則的取值范圍是.故17．(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，列方程求，寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，，解得，，所以．?），因?yàn)樗裕?18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)后可利用余弦定理求得結(jié)果；（2）由題意可得，然后根據(jù)正弦定理表示出，再求出角的范圍，從而可求出，進(jìn)而可求出△ABC面積的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)及正弦定理得，所以，故，因?yàn)?，所以．?）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．由于△ABC為銳角三角形，故，．由（1）知，所以，所以，所以，所以，所以，故，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．19．(1)，(2)【分析】（1）通過觀察求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再通過單調(diào)性證明唯一交點(diǎn)，再通過求導(dǎo)求出切線方程的斜率，從而得到切線方程；（2）先得到面積公式，然后通過求導(dǎo)分析出單調(diào)性，再由單調(diào)性得到最值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，所以與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以曲線與曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為；因?yàn)?，所以，所以曲線在公共點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)橹本€分別交曲線和于點(diǎn)A，B.所以A，B.，.因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，，，令，得，所以的情況如下：0極大值因此，的極大值，也是最大值為.20．(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式可推得，即.求出的值，即可證明得出等比數(shù)列.根據(jù)公式得出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合遞推公式可推得，進(jìn)而得出，并項(xiàng)求和然后分組，根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得出.作差構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出證明.【詳解】（1）由已知得，所以.因?yàn)?，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以的通項(xiàng)公式.（2）由知，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)，.令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，有，即，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線，，根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系得到，，再結(jié)合題目條件利用平面向量共線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化，可得到，從而解出.【詳解】（1）由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸可知，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線上，，兩點(diǎn)分別位于第二、四象限，這樣的拋物線不存在，所以拋物線只能過，，根據(jù)兩點(diǎn)位置可設(shè)，代入點(diǎn)，則，得，所以，拋物線過點(diǎn)，滿足題意．綜上，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線，，根據(jù)題意可知：，且，聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則，由得，即，所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，由，得，?lián)立，所以，故.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由得到平面向量表達(dá)式.22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)