新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題08 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題（含解析）

專題08利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題專項(xiàng)突破一利潤問題一、單選題1．在“全面脫貧”行動(dòng)中，某銀行向某貧困地區(qū)的貧困戶提供10萬元以內(nèi)的免息貸款，貧困戶小李準(zhǔn)備向銀行貸款x萬元全部用于農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)的加工與銷售，據(jù)測算每年利潤y（單位：萬元）與貸款x滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，要使年利潤最大，小李應(yīng)向銀行貸款（

）A．3萬元 B．4萬元 C．5萬元 D．6萬元【解析】依題意SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，函數(shù)遞增；在SKIPIF1<0，函數(shù)遞減.所以當(dāng)SKIPIF1<0萬元時(shí)，函數(shù)取得最大值.故選：B二、多選題2．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為SKIPIF1<0萬元，且SKIPIF1<0當(dāng)該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大時(shí)，則有（

）A．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤最大值為38萬元 D．年利潤最大值為38.6萬元【解析】設(shè)年利潤為W.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍負(fù)），且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，年利潤W取得最大值38.6；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍負(fù)），所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，年利潤W取得最大值38.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)年產(chǎn)量為9000件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中，所獲得的年利潤最大，且年利潤最大值為38.6萬元.故選：AD.三、填空題3．某一學(xué)習(xí)興趣小組對學(xué)校超市某種商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)研，通過大量的數(shù)據(jù)解析，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量SKIPIF1<0（百件）與銷售價(jià)格SKIPIF1<0（元/件）滿足SKIPIF1<0，現(xiàn)已知該商品的成本價(jià)為2元/件，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，超市每日銷售該商品所獲得的最大利潤為__________元.【解析】設(shè)超市每日銷售該商品所獲得的最大利潤為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增,在SKIPIF1<0單調(diào)遞減;故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故超市每日銷售該商品所獲得的最大利潤為500元.四、解答題4．某學(xué)校高二年級一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對某“著名品牌”SKIPIF1<0系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的SKIPIF1<0系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0系列每日的銷售量SKIPIF1<0（單位：千克）與銷售價(jià)格SKIPIF1<0（元/千克）近似滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出SKIPIF1<0系列15千克.（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式；（2）若SKIPIF1<0系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格SKIPIF1<0的值，使該商場每日銷售SKIPIF1<0系列所獲得的利潤最大.【解析】（1）有題意可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）設(shè)該商場每日銷售SKIPIF1<0系列所獲得的利潤為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為增函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為減函數(shù)，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即SKIPIF1<0時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.所以當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，SKIPIF1<0系列每日所獲得的利潤最大.5．為了提高某產(chǎn)品的銷量，公司計(jì)劃對該產(chǎn)品投入適當(dāng)?shù)男麄髻M(fèi)用．經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的銷售量y（單位：萬件）與宣傳費(fèi)用SKIPIF1<0（單位：萬元）滿足函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0，已知每件產(chǎn)品的利潤為SKIPIF1<0（單位：元）．(1)求該產(chǎn)品的總利z（單位：萬元）關(guān)于x的函數(shù)．(2)求投入宣傳費(fèi)用多少萬元時(shí)，該產(chǎn)品的總利潤最大？最大利潤是多少？【解析】(1)由題可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0．當(dāng)投入的宣傳費(fèi)用為3萬元時(shí)，該產(chǎn)品的總利潤最大，且最大利潤為11.5萬元．6．某工廠共有10臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的次品數(shù)SKIPIF1<0（萬件）與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量SKIPIF1<0（萬件）之間滿足關(guān)系：SKIPIF1<0，已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元.(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤SKIPIF1<0（萬元）表示為關(guān)于SKIPIF1<0（萬件）的函數(shù)（利潤SKIPIF1<0盈利SKIPIF1<0虧損）；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量SKIPIF1<0（萬件）為多少時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為多少?【解析】(1)由題意，所獲得的利潤為SKIPIF1<0(2)由（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；所以當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)取極大值，即最大值，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)利潤最大，為SKIPIF1<0（萬元），當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6（萬件）時(shí)所獲得的利潤最大，最大利潤為SKIPIF1<0萬元．7．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植SKIPIF1<0萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：(1)種植SKIPIF1<0萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為SKIPIF1<0的解析式；(2)要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.【解析】(1)種植SKIPIF1<0萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0時(shí)，利潤最大為SKIPIF1<0萬元.8．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納5元的管理費(fèi)，根據(jù)多年的管理經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為SKIPIF1<0元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷售量為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)）萬件.已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷售量為500萬件，經(jīng)物價(jià)部門核定每件產(chǎn)品的售價(jià)SKIPIF1<0最低不低于35元，最高不超過41元.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤SKIPIF1<0（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)SKIPIF1<0（元）的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤SKIPIF1<0最大，并求出SKIPIF1<0的最大值.【解析】(1)由題意可知，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷售量為500萬件即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上為增函數(shù)，SKIPIF1<0為減函數(shù)即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0∴當(dāng)每年產(chǎn)品的售價(jià)為36元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值為SKIPIF1<09．石寶寨位于重慶市忠縣境內(nèi)長江北岸邊，被稱為“江上明珠”，國家AAAA級旅游景區(qū)，全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，長江三峽最佳旅游景觀之一，美國探索頻道中國七大奇觀之一，世界八大奇異建筑之一.近期石寶寨景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，擬投入資金對景區(qū)經(jīng)行改造升級，經(jīng)過市場調(diào)查可知，景區(qū)門票增收y（單位：萬元）與投入資金SKIPIF1<040）（單位：萬元）之間的關(guān)系式為：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，當(dāng)投入資金SKIPIF1<0為10萬元時(shí)，門票增收SKIPIF1<0為SKIPIF1<0萬元；當(dāng)投入資金SKIPIF1<0為30萬元時(shí)，門票增收SKIPIF1<0為37萬元.（參考數(shù)據(jù)，SKIPIF1<0）(1)求SKIPIF1<0的解析式：(2)石寶寨景區(qū)投入資金為多少時(shí)，改造升級后的旅游利潤SKIPIF1<0最大，最大值為多少？【解析】(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，且當(dāng)投入資金SKIPIF1<0為10萬元時(shí)，門票增收SKIPIF1<0為SKIPIF1<0萬元；當(dāng)投入資金SKIPIF1<0為30萬元時(shí)，門票增收SKIPIF1<0為37萬元，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0萬元時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值10萬元.10．某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）萬元時(shí)，在經(jīng)銷SKIPIF1<0、SKIPIF1<0商品中所獲得的收益分別為SKIPIF1<0萬元與SKIPIF1<0萬元、其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）已知投資額為零時(shí)，收益為零.（1）試求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）.【解析】(1)根據(jù)問題的實(shí)際意義，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)由(1)的結(jié)果可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依題意，可設(shè)投入SKIPIF1<0商品的資金為SKIPIF1<0萬元（SKIPIF1<0），則投入SKIPIF1<0商品的資金為SKIPIF1<0萬元，若所獲得的收入為SKIPIF1<0萬元，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）∴

SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的唯一極大值點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0取得最大值：SKIPIF1<0（萬元），SKIPIF1<0（萬元）答：該個(gè)體戶可對SKIPIF1<0商品投入3萬元，對SKIPIF1<0商品投入2萬元，這樣可以獲得12.6萬元的最大收益.專項(xiàng)突破二面積、體積問題一、單選題1．某箱子的體積V與底面邊長x的關(guān)系為SKIPIF1<0，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子的底面邊長為（

）A．30 B．40 C．50 D．55【解析】由題意得：由題意得SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大值，即當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子的底面邊長為SKIPIF1<0.故選：B二、多選題2．若將一邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋的方盒，則下列說法正確的是(

)A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方盒的容積最大 B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方盒的容積最小C．方盒容積的最大值為SKIPIF1<0 D．方盒容積的最小值為SKIPIF1<0【解析】方盒的容積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，故AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題3．圓柱內(nèi)接于半徑為3的球，當(dāng)圓柱體積最大時(shí)其底面半徑為______．【解析】設(shè)圓柱底面半徑為SKIPIF1<0，圓柱高為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓柱的體積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，圓柱體積最大.4．已知在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為_______．【解析】設(shè)底面邊長為a，則高h(yuǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以體積VSKIPIF1<0a2hSKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0＝9a4SKIPIF1<0a6，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減，∴當(dāng)a＝SKIPIF1<0時(shí)，該四棱錐的體積最大，此時(shí)hSKIPIF1<0SKIPIF1<05．已知四面體SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為其內(nèi)部一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)四面體SKIPIF1<0體積最大時(shí)，四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為__________．【解析】由SKIPIF1<0得，點(diǎn)SKIPIF1<0位于過SKIPIF1<0的外心且垂直于面SKIPIF1<0的直線上，若要四面體的體積最大，則SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的同側(cè)，且點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖所示，設(shè)外接球的球心SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，外接球的半徑SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的三點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最大值，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球的表面積SKIPIF1<0.四、解答題6．某市一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為SKIPIF1<0，且分上?下兩層，其中上層是半徑為SKIPIF1<0米的半球體，下層是底面半徑為r米，高為h米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測算，上層半球體部分每平方米的建造費(fèi)用為2千元，下層圓柱體的側(cè)面?隔層和地面三個(gè)部分每平方米的建造費(fèi)用均為3千元，設(shè)每座賬篷的建造費(fèi)用為y千元.(1)求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)半徑r為何值時(shí)，每座帳篷的建造費(fèi)用最小？并求出最小值.【解析】(1)由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增.所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得極小值，也是最小值，且SKIPIF1<0.所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.所以當(dāng)半徑r為3米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為162π千元.7．將一個(gè)面積為SKIPIF1<0的長方形鐵皮制作成一個(gè)無蓋的正四棱錐容器（圖為無蓋容器倒置圖），要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失，記正四棱錐的無蓋底面邊長為x，容器的容積為SKIPIF1<0.（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）當(dāng)該正四棱錐形容器的容積取得最大值時(shí)，求此時(shí)x的值.【解析】（1）設(shè)正四棱錐容器的高為h，則正四棱錐容器的側(cè)棱長為SKIPIF1<0正四棱錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0的表達(dá)式為SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0故當(dāng)該正四棱錐的容積取得最大值，此時(shí)x的值SKIPIF1<0.8．為優(yōu)先發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，豐富村民精神生活，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某村在SKIPIF1<0年新農(nóng)村建設(shè)規(guī)劃中，計(jì)劃在一半徑為SKIPIF1<0的半圓形區(qū)域(SKIPIF1<0為圓心)上，修建一個(gè)矩形名人文化廣場和一個(gè)矩形停車場(如圖)，剩余區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)要求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）設(shè)SKIPIF1<0為名人文化廣場和停車場用地總面積，求SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）依題得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(不合題意，舍去)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值.專項(xiàng)突破三成本問題一、單選題1．進(jìn)入4月份以來，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業(yè)的汽車運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫物資.已知A地距離上海500SKIPIF1<0，設(shè)車隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.已知車隊(duì)每小時(shí)運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度vSKIPIF1<0的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，為了使全程運(yùn)輸成本最低，車隊(duì)速度v應(yīng)為（

）A．80SKIPIF1<0 B．90SKIPIF1<0 C．100SKIPIF1<0 D．110SKIPIF1<0【解析】設(shè)運(yùn)輸成本為SKIPIF1<0元，依題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，即函數(shù)在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取得極小值即最小值，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)全程運(yùn)輸成本最低；故選：C2．欲制作一個(gè)容積為SKIPIF1<0的圓柱形蓄水罐（無蓋），為能使所用的材料最省，它的底面半徑應(yīng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，表面積為SKIPIF1<0，則由題意有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則水罐的表面積SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.檢驗(yàn)得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)表面積取得最小值，即所用的材料最省.故選：C.二、填空題3．一艘船的燃料費(fèi)y（單位：元/時(shí)）與船速x（單位：千米/時(shí)）的關(guān)系是SKIPIF1<0.若該船航行時(shí)其他費(fèi)用為540元/時(shí)，則在100千米的航程中，要使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為______千米/時(shí).【解析】依題意，航行的總費(fèi)用SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得極小值，也是最小值.所以要使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為30千米/時(shí).4．某企業(yè)擬建造一個(gè)容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，該容器的底部為圓柱形，高為l，底面半徑為r，上部為半徑為r的半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為SKIPIF1<0立方米，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為4萬元，則該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)，半徑r的值為___________.【解析】設(shè)容器的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，由題設(shè)可知：表面積最小時(shí)，建造費(fèi)用最小，所以SKIPIF1<0三、解答題5．某城鎮(zhèn)在規(guī)劃的一工業(yè)園區(qū)內(nèi)架設(shè)一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經(jīng)搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設(shè)電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費(fèi)用等為SKIPIF1<0萬元，所有高壓電線塔都視為“點(diǎn)”，且不考慮其他因素，記余下的工程費(fèi)用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)問：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費(fèi)y有最小值？最小值是多少？（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）【解析】(1)由題意知，需要新建的高壓線塔為SKIPIF1<0座．

所以SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0．(2)由（1），得SKIPIF1<0，

令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．

由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函數(shù)y在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)y取得最小值，且SKIPIF1<0，此時(shí)應(yīng)建高壓線塔為SKIPIF1<0（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬元．6．某輪船航行過程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10千米/時(shí)時(shí)，燃料費(fèi)為10元/時(shí)，其他與速度無關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)180元.（1）求輪船的速度為多少時(shí)，每千米航程成本最低？（2）若輪船限速不超過20千米/時(shí)，求每千米航程的最低成本.【解析】（1）設(shè)燃料費(fèi)為SKIPIF1<0元/時(shí)，速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)，則SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.每千米航程成本函數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以速度為SKIPIF1<0千米/時(shí)時(shí)，每千米航程的成本最低.（2）由（1）知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)限速不超過20千米/時(shí)時(shí)，SKIPIF1<0（元）所以輪船限速不超過20千米/時(shí)，每千米航程的最底成本為13元.7．已知SKIPIF1<0兩地的距離是SKIPIF1<0，按交通法規(guī)規(guī)定，SKIPIF1<0兩地之間的公路車速應(yīng)限制在SKIPIF1<0，假設(shè)汽油的價(jià)格是6元/升，以SKIPIF1<0速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為SKIPIF1<0，司機(jī)每小時(shí)的工資是36元，那么最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用是多少？【解析】設(shè)汽車以SKIPIF1<0行駛時(shí)，行車的總費(fèi)用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)車速為SKIPIF1<0時(shí)，行車總費(fèi)用最少，此時(shí)最少總費(fèi)用SKIPIF1<0（元）.答：最經(jīng)濟(jì)的車速約為SKIPIF1<0；如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用約為240元.8．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)即將在成都拉開帷幕.為了配合大運(yùn)會(huì)的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，組委會(huì)擬在成都東安湖體育公園修建一座具有成都文化特色的橋.兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距160米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為32萬元，距離為x米（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為SKIPIF1<0萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，設(shè)需要新建n個(gè)橋墩（顯然SKIPIF1<0），記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？【解析】(1)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)為增函數(shù).所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最小值，此時(shí)SKIPIF1<0.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.9．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：SKIPIF1<0，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)SKIPIF1<0為隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及SKIPIF1<0的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用SKIPIF1<0達(dá)到最小，并求最小值．【解析】(1)隔熱層厚度xcm，依題意，每年能源消耗費(fèi)用為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而建造費(fèi)用為SKIPIF1<0，則隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0．所以當(dāng)隔熱層修建SKIPIF1<0cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為SKIPIF1<0萬元．10．如圖，公園內(nèi)直線道路旁有一半徑為10米的半圓形荒地（圓心O在道路上，SKIPIF1<0為直徑），現(xiàn)要在荒地的基礎(chǔ)上改造出一處景觀.在半圓上取一點(diǎn)C，道路上B點(diǎn)的右邊取一點(diǎn)D，使SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的長不超過20米.在扇形區(qū)域SKIPIF1<0內(nèi)種植花卉，三角形區(qū)域SKIPIF1<0內(nèi)鋪設(shè)草皮.已知種植花卉的費(fèi)用每平方米為200元，鋪設(shè)草皮的費(fèi)用每平方米為100元.（1）設(shè)SKIPIF1<0（單位：弧度），將總費(fèi)用y表示為x的函數(shù)式，并指出x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.【解析】（1）因?yàn)樯刃蜸KIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的長不超過20米，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以扇形SKIPIF1<0的面積：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，SKIPIF1<0，所以y的最小值為SKIPIF1<0元.專項(xiàng)突破四用料問題一、單選題1．做一個(gè)容積為SKIPIF1<0立方米的圓柱形無蓋（有底）水箱，為使用材料最省，它的底面半徑r為（

）A．1米 B．SKIPIF1<0米 C．2米 D．SKIPIF1<0米【解析】由題，圓柱的高SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故所用材料面積有SKIPIF1<0，求導(dǎo)可得SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，故選：C2．一艘船從A地到B地，其燃料費(fèi)w與船速v的關(guān)系為SKIPIF1<0，要使燃料費(fèi)最低，則v=（

）A．18 B．20 C．25 D．30【解析】SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，故選：A.3．現(xiàn)需設(shè)計(jì)肇慶聯(lián)考聯(lián)盟2018-2019學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷，該試卷含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（可參考本試卷頁面排布），假設(shè)這兩欄的面積之和為SKIPIF1<0，四周空白的寬度為SKIPIF1<0，兩欄之間的中縫空白的寬度為SKIPIF1<0，設(shè)試卷的高和寬分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.試卷的面積最小時(shí)，該試卷的高為（

）A．8 B．10 C．32 D．40【解析】設(shè)試卷的高和寬分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則每欄的高和寬分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩欄面積之和為：SKIPIF1<0，由此得SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)試卷的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（負(fù)數(shù)舍去），∴函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.∴SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0取得最小值.∴當(dāng)試卷的高為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0時(shí)，可使試卷的面積最小.故選：C.二、填空題4．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為SKIPIF1<0，x∈(0，120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車以________千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最少．【解析】設(shè)速度為x千米/時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了SKIPIF1<0小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0x∈(0，120]有SKIPIF1<0．令y′＝0，得x＝80，當(dāng)x∈(0，80)時(shí)，y′<0，該函數(shù)遞減；當(dāng)x∈(80，120]時(shí)，y′>0，該函數(shù)遞增，所以當(dāng)x＝80時(shí)，y取得最小值．5．如圖，用鐵絲圍成一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為SKIPIF1<0．當(dāng)圓的半徑為_______m時(shí)，所用鐵絲最短．【解析】設(shè)矩形的底寬為SKIPIF1<0，則半圓的半徑為SKIPIF1<0，半圓的面積為SKIPIF1<0故矩形的面積為：SKIPIF1<0，故矩形的另一邊長為：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此鐵絲的長為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（舍負(fù)），當(dāng)SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增.因此當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0取得最小值即當(dāng)圓的半徑為SKIPIF1<0m時(shí)，所用鐵絲最短．三、解答題6．已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元．(1)求比例系數(shù)k(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？(3)當(dāng)SKIPIF1<0（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？【解析】(1)設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，代入得SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0．

設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值，故為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為8km/h．(3)由（2）得，若SKIPIF1<0時(shí)，則y在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)v＝x時(shí)，y取得最小值；

若SKIPIF1<0時(shí)，則y區(qū)間（8，16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值；綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為8km/h，全程燃料費(fèi)最?。划?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為（x－8）km/h，全程燃料費(fèi)最省7．如圖所示，某校把一塊邊長為SKIPIF1<0的等邊△SKIPIF1<0的邊角地辟為生物園，圖中SKIPIF1<0把生物園分成面積相等的兩部分，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0