第二十一章 一元二次方程（壓軸題專練）（解析版）

第二十一章一元二次方程（壓軸題專練）一、填空題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項是6，則一次項是（）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得結(jié)果．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項是6，∴，，解得：，把代入原方程可得，∴一次項是，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次項，是一次項，是常數(shù)項．2．（2023春·福建南平·九年級專題練習(xí)）兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）根據(jù)絕對值的定義可知，下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①化簡一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時，；④若關(guān)于的方程有2個不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】由、、的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種，可判斷①；根據(jù)的取值，化簡運算即可判斷②；根據(jù)【詳解】解：、、的結(jié)果分別有2種，的結(jié)果共有種，故①正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故②錯誤；是正整數(shù)，，，，，當(dāng)時，，故③正確；，當(dāng)或時，，，方程有2個不同的解，，解得：，當(dāng)時，，，方程有2個不同的解，，解得：，故④錯誤；綜上，正確的有①③，故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級期末）已知兩個多項式，，x為實數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運算：①若A+B=10，則；②，則x需要滿足的條件是；③，則關(guān)于x的方程無實數(shù)根；④若x為正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．上面說法正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用可求出，故①錯誤；對分情況討論可知②正確；若，則或，利用根的判別式可知，時，方程無解，故③正確；由為整數(shù)，可得是整數(shù)，可求出，2，4，5，故④正確．【詳解】解：∵，，∴①當(dāng)時，則，解得：，故①錯誤；②當(dāng)，則，當(dāng)時，，解得：；當(dāng)，，解得：；當(dāng)，，解得：（舍去）；綜上所述：，故②正確；③若，則或，當(dāng)時，，，無解；當(dāng)時，，，無解；∴，關(guān)于x的方程無實數(shù)根；故③正確；④∵，若為整數(shù)，則是整數(shù)，∵x為正整數(shù)()，解得：，2，4，5，故④正確；∴正確的有②③④故選：C【點睛】本題考查分式的化簡，含絕對值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個相等的實數(shù)根，則下列選項成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，則 B．若，則0＜a＜1C．若0＜a＜1，則 D．若，則-1＜a＜0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求k的值，然后結(jié)合a的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個相等的實數(shù)根k，∴，，又∵，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，當(dāng)時，即，即，∴a（a-1）<0，即或解得0<a<1當(dāng)時，即，即，∴a（a-1）>0，即或解得：a>1或a<0．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023春·安徽·八年級期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識逐個分析即可．【詳解】由，表明方程有實數(shù)根﹣1，表明一元二次方程有實數(shù)解，則，故①正確；∵方程有兩個不相等的實根，∴方程有兩個不相等的實根，即a與c異號．∴-ac>0，∴，∴方程必有兩個不相等的實根；故②正確；∵是方程的一個根，∴，即當(dāng)時，一定有成立；當(dāng)c=0時，則不一定成立，例如：方程，則；故③錯誤；∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識，熟練掌握這些知識是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．【詳解】①當(dāng)x=1時，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時b2-4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有兩個不相等的實根，進(jìn)而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c=0的一個根，得ac2+bc+c=0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1=0；當(dāng)c=0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則ax02+bx0+c＝0成立，那么④正確．綜上：正確的有①②④，共3個．故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個相等的實數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┛盏厣嫌幸欢伍L為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法【答案】A【分析】分兩種情況討論：，圖2圍法，設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗x的范圍，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗不符合題意，綜上：若，，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗符合題意，綜上：若，則有兩種圍法，故B不符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗都符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗都不符合題意，若，則有兩種圍法，C不符合題意，設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗都不符合題意，綜上所述，若，則有一種圍法，D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且．則的值為．【答案】【分析】先將變形為，再利用“降次法”將轉(zhuǎn)化為，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．【詳解】解：，∴．∴，，，，，，．∵，，∴∴，∵，；∴原式．故答案為：．【點睛】本題考查代數(shù)式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是．【答案】6/【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計算即可．（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，∵，邊減少，得到的矩形面積不變，∴，解得，故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，∴，，∴，∴，∴，∵有且只有一個的值，∴，∴，解得（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個相鄰邊長為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長為；（2）請用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)圖可得矩形A的長個小矩形寬，即可得到矩形A的水平邊長；（2）根據(jù)圖可得矩形A的寬個小矩形寬，進(jìn)而得到矩形A的豎直邊長，即可得到答案；（3）分別表示出矩形A，B的面積，根據(jù)矩形A，B的面積相等即可得到答案．【詳解】解：設(shè)矩形A的水平邊長為，矩形A的豎直邊長，（1）由圖可知，；（2）由（1）可知，由圖可知矩形A的周長；（3）由題知，矩形A的面積；由圖知，矩形B的面積矩形A，B的面積相等,①小矩形紙片長，矩形A的水平邊長為由圖可知小矩形紙片長矩形A的水平邊長②聯(lián)立①②解得，（舍去）．故答案為：；；．【點睛】本題主要考查列多項式，多項式的值，一元二次方程，掌握解題的方法以及解方程的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為和的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為．【答案】/8平方厘米【分析】設(shè)矩形的長為，寬為，根據(jù)圖①和圖②的陰影面積列出方程組，求出的值，再求圖③的面積求解即可．【詳解】解：設(shè)矩形的長為，寬為，由題意，得：，整理，得：，把②代入①得：③，把③代入①得：，整理，得：，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，（不合題意，舍去）；∴長方形的長為cm，寬為cm，∴圖③中的陰影面積為：；故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．正確的識圖，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·七年級期末）已知在長方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時，則；若再在邊長為大正方形的左上角擺放一個邊長為的小正方形（如圖3），當(dāng)時，則圖3中陰影部分的面積．【答案】36.5/【分析】先將，，用用a，b表示，再分別根據(jù)與，計算即可．【詳解】解：在圖1中，根據(jù)題意得：，∴，同理在圖2中，，∴∴，又∵，∴．又∵，即，將代入方程中得：解得：（舍去），∴．在圖3中，∴故答案為：3；．【點睛】本題考查列代數(shù)式，整式的混合運算，解一元二次方程，掌握相關(guān)知識和技巧是解題的關(guān)鍵．本題難度較大，所列式子較復(fù)雜，需要較強的閱讀理解能力和對數(shù)學(xué)思想的運用能力．三、解答題15．（2023春·福建福州·八年級福州日升中學(xué)?？计谀╅喿x材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個根，據(jù)此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計算可得．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）∵，，且，∴，可看作方程的兩個根，∴，，∴，∴的值為；（3）∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運算順序和運算法則．16．（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求方程的根為，則，將代入已知方程，化簡即可得到答案；（2）設(shè)所求方程的根為，則，將其代入已知方程，然后化為一般形式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，化簡得，，這個一元二次方程為：；（2）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，去分母得，，若，則，于是方程有一根為0，不符合題意，，所求方程為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．17．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程．求證：不論為何實數(shù)時，方程有固定的自然數(shù)解，并求這自然數(shù)；設(shè)方程另外的兩個根為、，求、的關(guān)系式；若方程的三個根均為自然數(shù)，求的值．【答案】證明見解析，所求自然數(shù)為；；．【分析】把方程整理，使含的項“系數(shù)”為，求的值，再代入不含的項檢驗，可求這個自然數(shù)；由所求自然數(shù)值可知方程的一個因式，代入方程，再將方程分解因式，由兩根關(guān)系解題；在(2)的條件下，根據(jù)解為自然數(shù)，求的值．【詳解】原方程整理得：，解方程，得，，當(dāng)時，，故所求自然數(shù)為；∵是方程的固定解，∴是方程的一個因式，原方程分解為:，∴、是方程的兩根，∴，，∴；由可知，，，設(shè)，則，由題意可知，，，，均為自然數(shù)，則的個位數(shù)字必須為，∴當(dāng)時，即時，方程三個根均為自然數(shù)．【點睛】本題考查了求高次方程固定根的方法，方程的根與系數(shù)關(guān)系，自然數(shù)解的問題，解題的關(guān)鍵是對高次方程進(jìn)行降次及熟練掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系．18．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和一次項配方：；②選取二次項和常數(shù)項配方：，或③選取一次項和常數(shù)項配方：請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)見解析(2)(3)當(dāng)，時，取得最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)配方的定義，分別選取二次項、一次項、常數(shù)項中的兩項，進(jìn)行配方即可得出三種形式；（2）首先根據(jù)配方法把變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，，解出、的值，然后將、的值代入代數(shù)式，計算即可得出結(jié)果；（3）首先根據(jù)配方法把代數(shù)式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，進(jìn)而得出當(dāng)，時，取得最小值，再進(jìn)行計算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：第一種形式：選取二次項和一次項配方，；第二種形式：選取二次項和常數(shù)項配方，；或；第三種形式：選取一次項和常數(shù)項配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，當(dāng)，時，取得最小值，即當(dāng)，時，取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進(jìn)行配方是解本題的關(guān)鍵．19．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：．因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為2．材料二：對于實數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實數(shù)m，n滿足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．【詳解】解：（1），因為，所以，所以，當(dāng)時，原式的最小值為-5．（2），當(dāng)取最小值時，原式最大，由（1）可知，最小值為2，此時的最大值為；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值為；或=，最大值是，的最大值為；綜上，的最大值為【點睛】本題考查了配方法求最值，解題關(guān)鍵是熟練運用配方法求代數(shù)式的最值．20．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）對任意一個三位數(shù)，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個數(shù)為“快樂數(shù)”．例如：，因為，所以是“快樂數(shù)”．(1)請通過計算判斷是不是“快樂數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂數(shù)”；(2)已知一個“快樂數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．【答案】(1)不是“快樂數(shù)”；最大的“快樂數(shù)”為(2)【分析】（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義解答即可；（2）根據(jù)“快樂數(shù)”可得出，根據(jù)一元二次方程根的情況可得，再結(jié)合及、、，、、為自然數(shù)可得出、、的值，最后結(jié)合“快樂數(shù)”的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴不是“快樂數(shù)”，∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字最大為，又∵，∴最大的“快樂數(shù)”為．（2）∵為“快樂數(shù)”，∴，∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，∴，解得：，，，∴，綜上所述，滿足條件的所有的值為．∴滿足條件的所有的值為．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，不等式組應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解“快樂數(shù)”的定義．21．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數(shù)；∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個相等的實數(shù)根，∴m＝，即mn＝1；故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．22．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實數(shù)．(1)若時，方程有兩個不同的實數(shù)根，，且，求實數(shù)p的值．(2)若方程有三個不同的實數(shù)根，，，且，求實數(shù)p和q的值．(3)是否同時存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時，；當(dāng)時，【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，代入可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個不同的實數(shù)根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，．，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個不同的實數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，可得，進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個不同的實數(shù)、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因為，所以．（2）顯然．方程可寫成．因該方程有三個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，可得：，，即，因為、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個不同的實數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因為，所以，因為是質(zhì)數(shù)，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．23．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為，解關(guān)于的方程得到，，則或，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程得，則；當(dāng)時，把、看作方程的兩不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實數(shù)，滿足：，且，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程，得：，∴；當(dāng)時，則、是方程的兩不相等的實數(shù)根，∴，，∴；∴的值為或或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數(shù)式的值，運用了恒等變換的思想．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)《完全平方公式》時，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：已知，，可以在不求、的值的情況下，求出的值．具體做法如下：．(1)若，則______；(2)若滿足，求的值，同樣可以應(yīng)用上述方法解決問題．具體操作如下：解：設(shè)，，則，，所以．請參照上述方法解決下列問題：若，求的值；(3)如圖，某?！皥@藝”社團(tuán)在三面靠墻的空地上，用長12米的籬笆（不含墻）圍成一個長方形花圃ABCD，花圃ABCD的面積為20平方米，其中墻AD足夠長，墻墻AD，墻墻AD，米．隨著學(xué)?！皥@藝”社團(tuán)成員的增加，學(xué)校在花圃旁分別以邊向外各擴(kuò)建兩個正方形花圃，以邊向外擴(kuò)建一個正方形花圃（如圖所示虛線區(qū)域部分），請問新擴(kuò)建花圃的總面積為______平方米．

【答案】(1)37(2)52(3)116【分析】（1）根據(jù)材料介紹方法解答即可；（2）仿照操作方法解答即可；（3）先說明，設(shè)米，則米，然后根據(jù)“花圃ABCD的面積為20平方米”列方程求得x，然后再列式求得擴(kuò)建花圃的面積即可．【詳解】（1）解：．（2）解：設(shè)，，則，，所以．（3）解：∵四邊形長方形，∴，∵，∴，設(shè)米，則米由題意知，解得或，經(jīng)檢驗，均符合題意①當(dāng)時，∴新擴(kuò)建花圃的總面積為:(平方米)；②當(dāng)時，，新擴(kuò)建花圃的總面積為:(平方米)．綜上，新擴(kuò)建花圃的總面積為116平方米．故答案為116．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，審清題意、靈活利用完全平方公式成為解答本題的關(guān)鍵．25．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┠晨蒲袉挝粶?zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的矩形空地，建成一個矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；(2)現(xiàn)將矩形花園的四個角建成休閑活動區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．【答案】(1)1米；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可；（2）①先用a表示出四個直角三角形的面積，從而表示出剩余花草區(qū)域的面積；②由①和題目意思列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，依題意得．整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），；答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米；（2）解：①剩余的種植花草區(qū)域的面積為：②由，得：，解得：（舍去）．故．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，面積的表示，解題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系并列出方程，注意根據(jù)實際意義舍根．26．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場地建成草坪．(1)如圖，在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路．請寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場地的長與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．【答案】(1)①②長為米，寬為米(2)或【分析】（1）①②根據(jù)兩條小路的面積之和兩個長方形的面積重疊的正方形的面積表示即可；②根據(jù)草坪的總面積為，列一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)草坪的總面積為平方米，列方程求解，再進(jìn)一步求出符合條件的和的值，即可求出的值．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，兩條小路的面積之和平方米，故答案為：平方米；②根據(jù)題意，得，又∵，，原方程化為，解得（不符合題意，舍去），，（米），答：原來矩形場地的長為米，寬為米；（2）解：根據(jù)題意，得，整理得，，為正整數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，，綜上所述，或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·廣東佛山·九年級?？奸_學(xué)考試）已知矩形中，，P是邊上一點，連接，將沿著直線折疊得到．(1)若；①如圖1，若點E在邊上，的長為；②P、E、C三點在同一直線上時，求的長；(2)如圖3，當(dāng)點P是的中點時，此時點E落在矩形內(nèi)部，延長交于點F，若點F是的三等分點，求的長．【答案】(1)①6；②2(2)【分析】（1）①點E在邊上，由折疊得，則，所以；②由平分，得，則，得，再由勾股定理求得，則；（2）連接，先證明，再設(shè)，則，，即可根據(jù)勾股定理列方程得，因為x是正數(shù)，所以，則．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，①如圖1，點E在邊上，由折疊得，∴，∴，故答案為：6．②如圖2，由折疊得，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為2．（2）如圖3，連接，∵點P是的中點，∴，由折疊得，∴，在和中，，∴，設(shè)，∵點F是的三等分點，∴，∵，∴，解得，（不符合題意，舍去），∴，∴的長為．【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長度、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．28．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，直線經(jīng)過點B，與x軸相交于點C，點D是線段AB上的一個動點．(1)b的值是______；(2)如圖1，過點D作BC的平行線與直線相交于點P，直線與直線AB相交于點Q．當(dāng)時，求點D坐標(biāo)；(3)如圖2，點D在移動過程中，是否存在點E，使得以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)－3(2)點D的坐標(biāo)為(3)存在點E，以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標(biāo)為；或【分析】（1）根據(jù)題意，先求出點B坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出b的值；（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，?m?3），根據(jù)兩直線平行可設(shè)直線DP的解析式為y＝3x＋n，將點D坐標(biāo)代入求出直線DP的解析式，然后分情況表示出PQ的長，根據(jù)，列方程求出m，即可求出點D坐標(biāo)；（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，?m?3），表示出，，，由以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，分三種情況討論：當(dāng)BD＝BC時，當(dāng)CD＝CB時，當(dāng)DC＝DB時，分別列方程求出點D坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：∵直線y＝?x?3與y軸相交于點B，∴B（0，?3），∵直線y＝3x＋b經(jīng)過點B，∴b＝?3，故答案為：?3；（2）解：當(dāng)時，解得：，∴，設(shè)點D的坐標(biāo)為，由（1）知，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線DP的解析式為，∵點D的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，，∴，，當(dāng)點D在線段AQ上時，，∵，∴，解得：或（舍去），∴點D的坐標(biāo)為，當(dāng)點D在線段BQ上時，，∵，∴，整理得：，解得：（舍去）或（舍去），綜上，點D的坐標(biāo)為；（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為，當(dāng)時，解得，，∴，∵，∴，，，∵以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，故分三種情況：如圖2，當(dāng)時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點D的坐標(biāo)為，∵，，∴點D向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度得到點E，∴點E的坐標(biāo)為；如圖3，當(dāng)時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點D的坐標(biāo)為，∵，，∴點D向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度得到點E，∴點E的坐標(biāo)為；如圖4，當(dāng)時，∴，∴，解得：，∴點D的坐標(biāo)為，∵點，∴點C向右移動2.5個單位長度，向下移動2.5個單位長度得到點E，∴點E的坐標(biāo)為；綜上，存在點E，以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，兩直線平行的位置關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解一元二次方程，勾股定理和平移的性質(zhì)等知識，本題綜合性較強，難度較大，熟練掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點P、Q分別以，的速度從點A，C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點之間的距離是？(2)若點P沿著移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間的面積為？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）過點P作于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根據(jù)點P的三個位置進(jìn)行分類討論，表示出的底和高，代入面積公式即可求得；【詳解】（1）解：過點P作于E，設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是．，∴，；∴經(jīng)過或，P、Q兩點之間的距離是；（2）解：連接．設(shè)經(jīng)過后△PBQ的面積為．①當(dāng)時，，∴，即，解得；②當(dāng)時，，則，解得（舍去）；③時，，則，解得（舍去）．綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒，的面積為．【點睛】本題考查了動點問題，相關(guān)知識點有：勾股定理求長度，解一元二次方程等知識點，分類討論是本題的解題關(guān)鍵．30．（2023秋·貴州安順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當(dāng)其中一點達(dá)到終點時，另一點也隨之停止．設(shè)P，Q兩點移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)當(dāng)時，是等腰三角形(2)x為1或5時，的面積為(3)x為或時，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)為等腰三角形時，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當(dāng)為等腰三角形時，，∴，解得：，即當(dāng)時，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)x為1或5時，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，如圖1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時，如圖2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或時，是等腰三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．31．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知正方形，為上動點，，于，延長交于點．(1)如圖1，當(dāng)時，；(2)如圖2，，求；(3)如圖3，若，直線寫出的值______．【答案】(1)4(2)(3)【分析】（1）設(shè)AM=a，則AD=AB=2a，利用勾股定理求出BM的長，利用三角形面積法求出AE的長，再利用勾股定理求出ME的長，即可求出BE的長，由此即可得到答案；（2）如圖所示，連接BD，設(shè)AD=5b，則AM=2b，同（1）求出，，得到，設(shè)，則，求出，證明即可得到答案；（3）同（2）求解即可．【詳解】（1）解：由題意得AD=2AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，設(shè)AM=a，則AD=AB=2a，∴，∵AE⊥BM，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接BD，由題意得，∴，∴設(shè)AD=5b，則AM=2b，∴，同理可得：，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，設(shè)AM=c，則，，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，同（2）可得，∴，∴，解得（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗是原方程的解，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，解一元二次方程等等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運動到C點返回，動點Q從點A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設(shè)運動的時間t（秒）．(1)求、的代數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形是平行四邊形；(3)當(dāng)時，是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，或(2)當(dāng)或秒時，四邊形是平行四邊形(3)存在這樣的P,使是等腰三角形,當(dāng)秒或秒時，是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)題意，寫出代數(shù)表達(dá)式即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，分當(dāng)P從B運動到C時，當(dāng)P從C運動到B時，兩種情況進(jìn)行求解即可；（3）分、、三種情況討論求出t值即可；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，當(dāng)點P未到點C時，；當(dāng)點P由點C返回時，；（2）∵四邊形是平行四邊形，，當(dāng)P從B運動到C時，，，，解得：，當(dāng)P從C運動到B時，，，，解得：，∴當(dāng)或秒時，四邊形是平行四邊形；（3）當(dāng)時，作于H，則，，，，（秒）；當(dāng)時，，，，，解得（秒）；當(dāng)時，，，，即，，∴方程無實根，綜上可知，當(dāng)秒或秒時，是等腰三角形．【點睛】本題主要考查平行四邊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及動點問題，一元二次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．33．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點P從A點出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向B點運動（運動到B點即停止）；點Q從C點出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD?DA向A點運動（當(dāng)點P停止運動時，點Q也即停止），設(shè)P、Q同時出發(fā)并運動了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度數(shù)；(2)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時，求t的值；(3)試問是否存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)梯形ABCD的高為cm，∠A=60°(2)(3)存在為時，使四邊形的面積是梯形面積的一半【分析】（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，證Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再證∠ADE=30°，則∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；（2）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分兩種情況：①若點Q在CD上，即0≤t≤2；②若點Q在AD上，即2＜t≤4；分別由面積關(guān)系得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1所示：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AB∥CD，∴DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE=CF，DC=EF=2cm，在Rt△ADE和Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF，∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），∵AD=6cm，∴AE=AD，∴∠ADE=30°，∴∠A=60°，DE=（cm），∴梯形ABCD的高為cm；（2）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖2所示：同（1）得：四邊形CDEF是矩形，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，∵CQ=t，∴DQ=EP=2-t，∵AP=AE+EP，∴2t=3+2-t，解得：t=；（3）解：存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，理由如下：∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），當(dāng)S四邊形PBCQ=S梯形ABCD時，①若點Q在CD上，即0≤t≤2，如圖3所示：則CQ=t，BP=8-2t，S四邊形PBCQ=（t+8-2t）×3=，解得：t=3（不合題意舍去）；②若點Q在AD上，即2＜t≤4，過點Q作HG⊥AB于G，交CD的延長線于H，如圖4所示：則AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，在Rt△AGQ中，∠A=60°，∴∠AQG=90°-60°=30°，∴AG=AQ，∴QG=，同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），∵S四邊形PBCQ=S梯形ABCD，∴S△APQ+S△CDQ=S四邊形PBCQ，∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，整理得：t2-9t+17=0，解得：t1=（不合題意舍去），t2=，綜上所述，存在t為s時，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理，證明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．34．（2023春·浙江·八年級期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，當(dāng)剛好10天全部賣完時，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為∴依題意得，解得∵要促銷∴即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．35．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4月20舉行，熱情的當(dāng)?shù)鼐用駷橛慰蜏?zhǔn)備了桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚膏等等，在當(dāng)?shù)嘏e行的“桑葚會”上，游客不僅可以品嘗純正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚音，而且還能體驗制作它們的過程．各類桑葚產(chǎn)品均對外銷售，游客們可以買一些送給親朋好友．已知桑葚酒是桑葚醬單價的，預(yù)計桑葚節(jié)期間全鎮(zhèn)銷售桑葚酒和桑葚醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000元．(1)求本次桑葚節(jié)預(yù)計銷售桑葚酒和桑葚醬的單價；(2)今年因受“新冠”疫情的影響，前來參加桑葚節(jié)的游客量比預(yù)計有所減少，當(dāng)?shù)劓?zhèn)府為了刺激經(jīng)濟(jì)，減少庫存，將桑葚酒和桑葚醬降價促銷．桑葚醬在預(yù)計單價的基礎(chǔ)上降低銷售，桑葚酒比預(yù)計單價降低元銷售，這樣桑葚醬的銷量跟預(yù)計一樣，桑葚酒的銷量比預(yù)計減少了a%，桑葚酒和桑葚醬的銷售總額比預(yù)計減少了3500a元．求a的值【答案】(1)預(yù)計銷售桑葚醬的單價為50元/千克，銷售桑葚酒的單價為40元/千克(2)20【分析】（1）設(shè)預(yù)計銷售桑葚醬的單價為x元/千克，則銷售桑葚酒的單價為元/千克，根據(jù)銷售桑菩酒和桑菩醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000元，列分式方程，解此分式方程即可解答；（2）根據(jù)題意分別計算出降價后，桑葚醬的銷售單價、銷售量，桑葚酒的銷售單價、銷售量，再由銷售總額比預(yù)計減少了3500a元列方程，解此方程即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)桑葚節(jié)預(yù)計銷售桑葚醬的單價為x元/千克，則銷售桑葚酒的單價為元/千克，根據(jù)題意得：，解得：經(jīng)檢驗，是方程的解，答：預(yù)計銷售桑葚醬的單價為50元/千克，則銷售桑葚酒的單價為40元/千克．（2）桑葚醬降價后的單價為，桑葚酒降價后的單價為元，桑葚醬的銷量為千克，桑葚酒的銷量為千克，∴解得：a=20或a=0（舍去），∴a=20【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．36．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）葡萄不僅味美可口，營養(yǎng)價值很高，而且用途廣泛，堪稱“果中珍品”，它既可鮮食又可加工成各種產(chǎn)品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．當(dāng)下正值食用葡萄的好時節(jié)，經(jīng)過市場調(diào)研顧客最喜歡“黑珍珠”、“仙粉黛”兩個品種，某商店老板看準(zhǔn)商機(jī)，決定購進(jìn)這兩種葡萄銷售，商店原計劃在6月購進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的質(zhì)量至少是“黑珍珠”質(zhì)量的3倍．（1）那么原計劃今年6月至少購進(jìn)“仙粉黛”多少千克？（2）今年6月商店按照原計劃購進(jìn)并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄，且“仙粉黛”的質(zhì)量恰好是原計劃的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”與“仙粉黛”的質(zhì)量比為1∶3購進(jìn)兩種葡萄一共160千克，按照單價4∶3售出，共得銷售額1040元．通過7月對市場的觀察，商店老板決定增加兩種葡萄的進(jìn)貨量，同時降價促銷；8月商店購進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”的質(zhì)量在6月的基礎(chǔ)上分別增加了，同時為了盡快全部售出，每千克售價在今年7月份的基礎(chǔ)上分別降價（降價幅度不超過50%），最終8月的銷售額比7月的銷售額增加了535元．求的值．【答案】（1）150千克；（2）30【分析】（1）設(shè)原計劃今年6月購進(jìn)“仙粉黛”x千克，則：x≥3（200-x）．（2）由題可得：6月購進(jìn)“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月購進(jìn)“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．設(shè)7月“黑珍珠”單價為4m，“仙粉黛”單價為3m，則有：40×4m+120×3m=1040，易得7月“黑珍珠”單價為8元/千克，“仙粉黛”單價為6元/千克．根據(jù)題意列出方程并利用換元法解方程．【詳解】解：（1）設(shè)原計劃今年6月購進(jìn)“仙粉黛”x千克，則：x≥3（200-x）．解得：x≥150，答：原計劃今年6月至少購進(jìn)“仙粉黛”150千克；（2）由題可得：6月購進(jìn)“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月購進(jìn)“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．設(shè)7月“黑珍珠”單價為4m，“仙粉黛”單價為3m，則有：40×4m+120×3m=1040，∴m=2．則7月“黑珍珠”單價為8元/千克，“仙粉黛”單價為6元/千克．列方程為：50(1+2a%)×8(1?a%)+150(1+a%)×6(1?a%)=1040+535．令a%=t，則：80t2-134t+33=0，∴t1=，t2=．又∵當(dāng)t=時，a%=＞，舍去．∴t=．∴a=30．答：a的值是30．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列出方程或不等式，再求解．37．（2023秋·重慶北碚·九年級重慶市朝陽中學(xué)?？计谀┠撤康禺a(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進(jìn)價比B種地磚每塊的進(jìn)價高40元，購進(jìn)A、B兩種地磚共花費350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進(jìn)價分別是多少元？（2）實際施工時，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結(jié)果實際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了，由于地磚的購進(jìn)量增加．B種地磚每塊進(jìn)價在（1）問的基礎(chǔ)上降低了，但A種地磚每塊進(jìn)價保持不變，最后購進(jìn)A、B兩種地磚的總花費比原計劃增加了，求a的值．【答案】（1）A、B兩種地磚每塊的進(jìn)價分別是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地磚的數(shù)量=公寓的面積÷每塊地磚的面積，可分別求出每套公寓需要A種地磚的數(shù)量及每套公寓需要B種地磚的數(shù)量，設(shè)B種地磚每塊的進(jìn)價為x元，則A種地磚每塊的進(jìn)價為(x+40)元，根據(jù)等量關(guān)系：購進(jìn)A種地磚的錢數(shù)+購進(jìn)B種地磚的錢數(shù)=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系：購進(jìn)A種地磚的錢數(shù)+購進(jìn)B種地磚的錢數(shù)=總錢數(shù)，列出方程，即可得到關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值，當(dāng)然取正值即可．【詳解】（1）一套公寓用A種地磚需要：塊一套公寓用B種地磚需要：塊設(shè)B種地磚每塊的進(jìn)價為x元由題可得：解得：元故A、B兩種地磚每塊的進(jìn)價分別是60，20元．（2）由題可得：整理得：解得然：．∵，∴【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出方程，同時（2）問是的方程比較復(fù)雜，要善于化簡．38．（2023春·浙江寧波·八年級校考期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人們的生活必須品，某藥店銷售普通口罩和N95口罩，今年8月份的進(jìn)價如下表：普通口罩N95口罩進(jìn)價（元/包）820（1）計劃N95口罩每包售價比普通口罩貴16元，7包普通口罩和3包N95口罩總售價相同，求普通口罩和N95口罩每包售價；（2）按（1）中售價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)普通口罩的日均銷售量為120包，當(dāng)每包售價降價1元時，日均銷售量增加20包，該藥店秉承讓利于民的原則，對普通口罩進(jìn)行降價銷售，但要保證當(dāng)天的利潤為320元，求此時普通口罩每包售價；（3）疫情期間，該藥店進(jìn)貨2萬包N95口罩，進(jìn)價不變，店長向當(dāng)?shù)蒯t(yī)院捐贈了a包，該款口罩，剩余的N95口罩向市民銷售，若這2萬包口罩的利潤