2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)） 計 數(shù) 原 理 單元測試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）計數(shù)原理單元測試

1、用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法的種數(shù)為（）

A.3B.5C.9D.12

2、（x"y）6的展開式中，x4y2的系數(shù)為（）

A.15B.-15C.60D.-60

3、現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的

一個講座，不同選法的種數(shù)是（）

A.56B.C.A6D.A5

4、在'卜M子的二項(xiàng)展開式中，X2的系數(shù)為_________.

5、某次文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F這六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如果A、

B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有（）

A.196種B、、144種.C.192種D、72種

6、且〃<55,則乘積（55—“）（56—“）.?.（69—〃）等于（）

A.鉆B.也，C.4LD.服“

7、三對夫婦去上海世博會參觀，在中國館前拍照留念，6人排成一排，每對夫婦

必須相鄰，不同的排法種數(shù)為（）

A.6B.24C.48D.72

8、世博會期間，某班有四名學(xué)生參加了志愿工作.將這四名學(xué)生分配到A、B、C

三個不同的展館服務(wù)，每個展館至少分配一人.若甲要求不到4館，則不同的分配

方案有

（）

A.36種B.30種C.24種D.20種

9、二項(xiàng)式（x-V）6的展開式中，一項(xiàng)的系數(shù)為（）

X

A.15B.-15C.30D.60

10、從6名學(xué)生中選3名分別擔(dān)任數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)科代表，若甲、乙2人至少有

一人入選，則不同的選法有（）

A.40種B.60種C.96種D.120種

11、3個人坐在一排有8個坐位的3個位子上,若每個人的左右兩邊都有空坐位,則

不同的坐法有（）

A.18種B.20種C.24種D.56種

12、學(xué)校在高二年級開設(shè)選修課程，其中數(shù)學(xué)開設(shè)了三個不同的班，選課結(jié)束后，

有四名選修英語的同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)選修班每班至多可接收兩名同學(xué)，那么

安排好這四名同學(xué)的方案有（）

A.72種B.54種C.36種D.18種

13、若（3?-]=）"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

14、已知二項(xiàng)式(x+1)"=xn+???+ax'+hx2+???+1(〃EN*),且Q:b=3:1,則

n=.

15、在二項(xiàng)式(叱的展開式的所有項(xiàng)中，其中有

x

項(xiàng)是有理項(xiàng).

S

16、若(3x-l)8=4++.......<28X,則II+I4]I+I“2I+…I。81=_

17、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，

(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的

取法有多少種？

fa

18、在二項(xiàng)式I、x)的展開式中，求

(1)第5項(xiàng)；

(2)常數(shù)項(xiàng).

19、有4位同學(xué)在同一天的上午、下午參加“身高與體重”“立定跳遠(yuǎn)”“肺活

量”“握力”“臺階”5個項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上午、下午各測試1個項(xiàng)目，且

不重復(fù).若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上午、下午

都各測試1人，則不同的安排方式有多少種？

20、已知(五-加)"的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512.

(1)求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))；

(2)求(l—x)3+0一尤?+...+(1一*)”展開式中￡項(xiàng)的系數(shù).

21、(1)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字任取3個，問能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)

字的三位數(shù)？

(2)若(f+3)的展開式中含/。項(xiàng)的系數(shù)為43,求實(shí)數(shù)。的值.

22、已知集合“={°1，2},函數(shù)丁=/(幻的定義域?yàn)椤?{123,4},值域?yàn)锳.

(1)若4=用，求不同的函數(shù)丁=/(力的個數(shù)；

(2)若

(i)求不同的函數(shù)y=〃x)的個數(shù)；

(ii)若滿足/⑴+八2)+/⑶+/(4)=4,求不同的函數(shù)丁=/*)的個數(shù).

參考答案

1、答案C

由題意，根據(jù)幣值的種數(shù)，分為三類，利用分類計數(shù)原理，即可求解。

詳解

由題意，只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；

用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2

張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；

用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種.

由分類加法計數(shù)原理得，共有3+5+1=9（種），故選C。

名師點(diǎn)評

本題主要考查了分類計數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)幣值的張數(shù)合理分類，

再利用分類計數(shù)原理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

中檔試題。

2、答案C

「2%個”42

依題意有06X（-2y）=60xy,故系數(shù)為60

考查目的：二項(xiàng)式.

3、答案A

因各講座同時進(jìn)行，故每名同學(xué)有5種選擇方法，由分步計數(shù)原理可得不同的選法種數(shù).

詳解

第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法依次，第六名同學(xué)有5種

選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有種不同的選法，故選A.

名師點(diǎn)評

分步計數(shù)原理和分類計算原理是排列中重要的計數(shù)工具，在應(yīng)用這兩個原理時，要確定

給定的對象是分類計數(shù)還是分步計數(shù)，有時在計數(shù)的過程中還會有類中有步，步中有類.

4、答案90

寫出通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于2即可.

詳解

10-3r

由密得。叼卦⑸號;由等=2,得L系數(shù)為⑸2/0

故答案為90.

名師點(diǎn)評

本題考查了二項(xiàng)式定理中的特定項(xiàng)的系數(shù)，寫對通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5、答案C

B兩個節(jié)目要相鄰排法有其用=240種，相鄰且有一個在3號位置的排法有否=48

種，排法共有240-48=192種

6、答案C

根據(jù)排列數(shù)的定義可知，/N92X7中最大的數(shù)為69-n,最小的數(shù)為

55-n,那么可知下標(biāo)的值為69-n,共有69-n-（55-n）+1=15個數(shù)，因此選擇C

7、答案C

解：采用捆綁及內(nèi)部調(diào)整法，把三對夫婦看成三個整體，每對夫婦都有2種排列順序,

故不同的排法種數(shù)為A；X2X2X2=6X8=48,選C

8、答案C

9、答案D

10、答案C

從6名學(xué)生中選3名分別擔(dān)任數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)科代表，沒有限制條件是由￡=120種,

甲、乙都沒入選相當(dāng)于從4人中選3人，有禺=24,

故甲、乙2人至少有一人入選，則不同的方法有120-24=96.

故選：C.

思路點(diǎn)撥根據(jù)排列組合的方法分別求出種數(shù)，注意排列數(shù)的計算.

11、答案C

插入法.五個空坐位之間有4個空當(dāng),插入3個人,有A：=24種.故選C.

12、答案B

由于每班至多可接納兩名同學(xué)，所以問題可分為兩類：1、將四名學(xué)生分到兩個班中,

首先挑出兩個班，有C；=3種方法，其次四個學(xué)生分平均為兩組，有=3種方

法，所以安排學(xué)生的方法有3x3x用=18種；2、將四名學(xué)生分到三個班，這時需要先

將四名學(xué)生分成三組，然后再分配，有C：A；=36種，綜上共有54安排方案，故選B.

考查目的：排列與組合.

13、答案-540

14、答案11

a=C,3=c：,b==C：,由普=；得〃=11.

15、答案4

16、答案名

17、答案(1)115(2)186

試題分析：(1)由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，取4個紅球，沒有白球，有。種，

取3個紅球1個白球，有V。種，取2個紅球2個白球，有根據(jù)加法原理得到結(jié)

果.(2)設(shè)出取到白球和紅球的個數(shù)，根據(jù)兩個未知數(shù)的和是5,列出方程，根據(jù)分?jǐn)?shù)

不少于7,列出不等式，根據(jù)這是兩個整數(shù)，列舉出結(jié)果.

詳解

(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1

個，紅球2個和白球2個，

紅球4個，取法有I種,

紅球3個和白球1個，取法有C1=24種；

紅球2個和白球2個，取法有*4=如種；

根據(jù)分類計數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有1+24+90=115種.

（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.

第一種，4紅1白，取法有=6種；

32

第二種，3紅2白，取法有＜6=6。種，

第三種，2紅3白，取法有C：V=12°種，

根據(jù)分類計數(shù)原理，總分不少于7分的取法有6+60+120=186.

名師點(diǎn)評

本題主要考查了分類加法原理，組合的綜合應(yīng)用，分類討論思想，屬于中檔題.

18、答案（1）495x6;（2）495

試題分析：（1）利用二項(xiàng)式定理計算得到答案.

（2）利用二項(xiàng)式定理計算得到答案.

詳解

⑴'取『=4得到吟4=495f

2

（2）根據(jù)（1）知：Ti+t=C[2x''^,取「=8得到4=。[/丐蠅=495

名師點(diǎn)評

本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.

19、答案264種

試題分析：先分別用甲、乙、丙、丁代表四個同學(xué)；用1,2,3,4,5代表這5個項(xiàng)目.

根據(jù)題意，先確定上午的不同安排方式；再結(jié)合題意，不妨設(shè)上午的安排是：甲1,乙

2,丙3,T5；討論：丁下午測試4,丁下午不測試4兩種情況，分別求出不同的安排

方法，進(jìn)而可求出結(jié)果.

詳解：分別用甲、乙、丙、丁代表四個同學(xué)；用1,2,3,4,5代表這5個項(xiàng)目.

由條件，上午的安排是1,2,3,5的排列，共有A：種；

由于每位同學(xué)上午、下午各測試1個項(xiàng)目，且不重復(fù)，故下午的安排是1,2,3,4的

排列，但不允許出現(xiàn)某同學(xué)上午、下午測試同一項(xiàng)目的情況.

不妨設(shè)上午的安排是：甲1,乙2,丙3,T5；

（1）若丁下午測試4,則甲乙丙測試的項(xiàng)目可以為：2,3,1；3,1,2；共2種；

（2）當(dāng)丁下午不測試4,則丁有C；種選擇，需從甲乙丙中選擇1人測試4,則有C；種

選擇；剩下兩人只有1種選擇；

故下午不同的安排方式有2+Ge；=11種；

所以，共有川＜2+9）=264種不同的安排方式.

名師點(diǎn)評

本題主要考查兩種計數(shù)原理的簡單應(yīng)用，屬于常考題型.

20、答案（1）7；=X5,7；=210X4（2）164

試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用二項(xiàng)式展開式的公式及待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（2）依據(jù)題

設(shè)先求出展開式中/項(xiàng)的系數(shù)，再組合數(shù)公式的性質(zhì)求解：

解

;（1）Cj+Y+,”=2i=512=29

/.?-1=9,理=10

玄-用syr響-（-爐加器■（-爐密蚱（r=0,1,,10）

5上?

6Z,二r=0,6

有理項(xiàng)為不=43=/,毒=ax=2io*4

/項(xiàng)的系數(shù)為C+&+”，+4=&-3）+6-閑+，”+?一4）

?箱-4?iH

21、答案（1）100；（2）a=12.

試題分析：（1）分兩種情況若選數(shù)字0和若不選數(shù)字0分別計數(shù)即可；

⑵一共有兩種情況，卜+三）的展開式含”項(xiàng)和+3）中的3相乘或［2

的展開式含%4項(xiàng)和（%6+3）中的f相乘.

試題

（1）若選數(shù)字0,則可組成C；&=40個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；

若不選數(shù)字0,則可組成￡=60個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；

故共可組成60+40=100個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

（2）的展開式含義°項(xiàng)的系數(shù)為C；，

/

x2+-的展開式含一項(xiàng)的系數(shù)為/c；,

Ixj

.?.3C；+/c；=43,

解得a=±2.

名師點(diǎn)評：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策

(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1

項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).

22、答案(1)36；(2)(i)81；(ii)19

試題分析：(1)當(dāng)定義域有4個元素，值域有3個元素，把4個元素分成2,1,1的三

組，再對應(yīng)值域里的3個元素，有Cjg；(2)(i)分值域有1個元素，2個元素，3

個元素，討論函數(shù)個數(shù)；(ii)滿足條件的有