2021屆廣西欽州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷解析

絕密★啟用前

2021屆廣西欽州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)

試題

注意事項：L答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合4={》6汽|2%-7<0},B={x|?-2x-3<0},則408=()

(7]

A.{x[0<x〈3}B.{0,1,2,3}C.-x-l<x<—>D.{1,2,3)

答案：B

解出集合A、B,利用交集的定義可求得集合ADB.

7]

解：vA=?/|2x-7<0j=<XEINx<—>={0,l,2,31,

B=卜卜2-2x-3<o}=1x|-l<x<31,

因此，ADB={0,l,2,3}.

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z=」一(i為虛數(shù)單位)的虛部是()

l-3z

3.1.13

A.1B.—lC.-D.-—

5555

答案：c

先求出Z,結(jié)合虛部的概念即可得結(jié)果.

2i2?(l+3z)31.1

解：因為2=~^==_￡+￡'，即復(fù)數(shù)z的虛部是

1-3/(l-3z')(l+；3?z、)555

故選：C.

3.已知偶函數(shù)g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，若

a=g(-log26.1),b=g(207),c=g⑶，則a,仇c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

答案：C

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

解：解：因為偶函數(shù)g(x)在(0,+8)上是減函數(shù),

又log?6.1w(2,3),20-7G(1,2),

?=^(-log26.1)=^(log26.1),b=g(2°‘)，c=g(3),

則3>log?6.1>207,

所以g(3)<g(log?6.1)<5(207),

則c<a<b.

故選：C.

4.2020年，受新冠肺炎疫情的影響，在全國的許多地方都采取了在家線上學(xué)習(xí)的方式,

此種方式對學(xué)生的自制力、自覺性有極高的要求.某校某學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“學(xué)生線上學(xué)

習(xí)時智能手機(jī)對學(xué)習(xí)成績的影響“，得到了如下樣本數(shù)據(jù):

不使用使用合計

優(yōu)秀8412

不優(yōu)秀21618

合計102030

-bc)~

附K?,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)

Q0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）

A.有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響

B.有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響

D.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響

答案：B

本題可根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出K'然后與表中數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，即可得出結(jié)果.

30(8x16-4x2)2

解：K?==10>7.879,

（8+4）（2+16）（8+2）（4+16）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)易知，有99.5%的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響,

故選：B.

1,

5.函數(shù)/(尤)=耳％2-xsinx的大致圖象可能是()

答案：C

由題意，函數(shù)八幻的解析式，可判定函數(shù)為/3)為偶函數(shù)，排除A、B項，又由

支)<0,可排除D項，即可得到答案.

解：由題意，函數(shù)/(幻，滿足/(-x)=；(-x)2-(-x)sin(-x)=gx2-xsinx=/(x),

即/(—)=〃x)，XGR,得函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除A、B

項；

又由公)=(嗎)2_3；=表3嗎T)<0，排除》

故可能的圖象為C,故選C.

本題主要考查了函數(shù)的圖象的識別問題，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)，利用函

數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)行排除選項是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解

答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.某校迎新晚會上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲

必須排在第三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方

案共有()

A.36種B.48種C.72種D.120種

答案：A

根據(jù)丙、丁在一二位或四五位、五六位先安排丙、丁兩個節(jié)目，甲是固定的，然后其他

三個節(jié)目任意排列，由此可得.

解：由題意丙、丁在一二位或四五位、五六位一,

因此方法數(shù)為3&A；=36.

故選：A.

7.等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S”，當(dāng)首項4和公差d變化時，%+。8+4。是一個定

值，則下列選項中為定值的是()

A.S-,B.S8C.九D.S15

答案：C

通過數(shù)列的通項得到%是一個定值，即得解.

解：由等差數(shù)列的通項公式可得：“3+4+4。=34+1&/=3(0+6〃)=3%是一個定值，

所以由是一個定值，

所以S3==13%為一個定值，

故選：C.

關(guān)鍵點評：解答本題的關(guān)鍵是通過通項分析/+6+4。是一個定值，得到%是一個定

值.

8.已知函數(shù)y=［可稱為高斯函數(shù),其中不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，

記作［可，如圖，則輸出的S值為()

A.42B.43C.44D.45

答案：D

對i進(jìn)行分類討論，一步步往下執(zhí)行，即可得答案；

解:當(dāng)1q<3時，［log3，］=0；

3Wi<9時，昵3，］=1；

9Wi<27時，［log3，］=2；

z=27l^,［log3z］=3,

所以S=6xl+18x2+3=45.

故選：D.

本題考查根據(jù)程序框圖輸出值，考查閱讀程序框圖能力，求解時注意取整函數(shù)的定義.

9.已知點尸是邊長為2的正三角形ABC所在平面上一點，滿足而?（中+而）=0,

則|P3|剛的最小值是（）

A6RV2—1nyfl-y/3

222

答案：D

設(shè)邊AB的中點為O，從所給條件得出斤.而=0，可知點尸在以C。為直徑的圓上,

|P川模的最小值為圓心到點B的距離減去半徑，計算可得結(jié)果.

解：解：設(shè)邊的中點為￡＞，則用+而=2而，

卮?（而+而）=0即為定.而=0,則點尸在以CD為直徑的圓上，且|8|=6,

則半徑一=走，

2

設(shè)。。的中點為O,則|PB|模的最小值為依必一「=+

故選：D.

知識點點評：（1）非零向量的數(shù)量積為0,則這兩個向量垂直；

（2）若非零向量定.赤=0，則點P在以CO為直徑的圓上.

10.圓C:（x+2）2+（y-3）2=1上一動點M,拋物線y?=8x上一動點N5,%）,

則x0+|MN|的最小值為（）

A.275-1B.2C.3D.4

答案：B

作出圖形，利用拋物線的定義可得出/=|人/日一2,利用C、M、N、口四點共線

且點M、N在線段C尸上時，X（）+|MN|取得最小值，進(jìn)而可求得結(jié)果.

解：如下圖所示，過點N作拋物線V=8%的準(zhǔn)線/：x=2的垂線NE,垂足為點E，

拋物線V=8x的焦點為E（2,0）,圓C的圓心為C（—2,3）,半徑為1.

由拋物線的定義可得|NE|=|N@,則/=|N耳-2,

%+阿N|=\NF\+|W|-2>|CF|-3=J(_2_2『+32_3=2

當(dāng)且僅當(dāng)C、M、N、尸四點共線且點M、N在線段C/7上時，/+MV取得最

小值為2.

故選：B.

方法點評：拋物線定義的兩種應(yīng)用：

(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)

線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準(zhǔn)線的距離的相互

轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；

(2)解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用

拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.

11.已知關(guān)于x的方程x—lna=21n|x|有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.B.

C.D.(e2,+oo)

答案：B

方程有三個解轉(zhuǎn)化直線y=x-lna與函數(shù)y=21n|x|有三個交點，作出函數(shù)y=21n|x|

的圖象，作出直線y=x-lna,可知，只要求得直線y=x-ln。與函數(shù)y=21n|x|的

圖象相切。的什值，即可得結(jié)論.

解：轉(zhuǎn)為直線y=x-lna與函數(shù)y=21n|x|有三個交點.

顯然當(dāng)x<0時，有一個交點：當(dāng)x>0時，只需y=x-lna與y=21nx有兩個交點

即可.

2

由9=一=1,得x=2,y=x—lna與y=21nx相切時，切點坐標(biāo)為（2,21n2）,

e1

止匕時a-—?

4

（2\

由圖象可知，當(dāng)丁,+8時，關(guān)于*的方程xTna=21n|M有三個不等的實數(shù)根.

、4，

故選：B.

關(guān)鍵點點評：本題考查方程根的個數(shù)問題，解題方法是轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù),

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題是用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線方程方程.然后結(jié)合圖象可

得結(jié)論.

12.已知正方體ABCO-Agaq的棱長為用點E,F,G分別為棱A3,A4l，G〃的

中點，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①過E,F,G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；②BQJ/平面EFG；

3

③異面直線爐與8。所成角的正切值為g；④四面體AC4。的體積等于等上.

答案：B

根據(jù)公理3,作截面可知①正確；根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可知②不正確；由條件有

A.B//EF,所以為異面直線ER與8鼻的夾角可知③不正確；用正方體體積

減去四個正三棱錐的體積可知④正確.

解：對于①，延長所分別與g4，片8的延長線交于N,。，連接GN交4%于“，

設(shè)HG與4G的延長線交于P，連接PQ交CG于/,交BC于M，連

則截面六邊形EFHG/M為正六邊形，故①正確；

對于②，與HG相交,故耳A與平面EFG相交，所以②不正確；

對于③，連接AB,由條件有A8//EF,所以乙418。（或其補(bǔ)角）為異面直線EE與

8R的夾角，在直角三角形842中，tan/ABQ=*=等，故③不正確；

對于④，四面體的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，即為

a3-4x-x—xtf3,故④正確；

323

所以正確的命題有2個

故選：B

D,

關(guān)鍵點點評：本題關(guān)鍵掌握好空間中的線線關(guān)系，線面關(guān)系相關(guān)定理，以及錐體的體積

計算方法.

二、填空題

13.正項等比數(shù)列｛4｝中，4=1,3=4%，記S”為｛4｝的前〃項和.若黑=127,

貝g"1=.

答案：7

求出等比數(shù)列｛4｝的公比，利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于加的等式，由此可解

得實數(shù)加的值.

解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,則q>0,且q=「=2,R

S=』-----L=2〃?-1=127，

m*

1一夕

.?.2"'=128,解得m=7.

故答案為：7.

14.如圖所示，在邊長為1的正方形。48c中任取一點P,則點尸恰好取自陰影部分

（由對角線。B及函數(shù)y=V圍成）的概率為.

~1

答案：T

4

由微積分基本定理求得陰影部分面積，再由幾何概型概率公式計算出概率.

解：由題意陰影部分面積為'—==1一_L—o=j.,

o4Jo244

又正方形面積為S=lxl=l,

所以所求概率為尸=q"=一i.

S4

故答案為：—.

4

本題考查幾何概型，考查微積分基本定理.掌握微積分基本定理是解題基礎(chǔ).

15.已知尸為球0球面上一點，點M滿足麗=2麗，過點M與。P成30。的平面

截球O,截面的面積為16〃，則球。的表面積為.

答案：72%

作出圖形，設(shè)。?=〃，利用截面圓的性質(zhì)，根據(jù)OP與截面成30°及麗=2訴，

得到球的半徑為3/?,然后利用勾股定理關(guān)于"的方程，進(jìn)而求得球的半徑即可.

解：如圖所示：

設(shè)截面圓心為。1,

依題意得=30。，

設(shè)。。=〃，則OM=2〃，

又麗=2MP，

所以。尸=3〃，即球的半徑為3限

所以O(shè)N=3h,

又截面的面積為16〃，

所以〃（O1N）2=16〃，

解得?N=4,

在中，（3人）2=人2+16,

解得〃=加，所以球的半徑為3丘，

所以球的表面積是S=4萬（3&『=72萬,

故答案為：72%

關(guān)鍵點點評：本題關(guān)鍵是由截面圓的性質(zhì)，建立關(guān)于/?的方程而得解.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：y=^+8上存在點p,過點尸作圓

0：/+,2=4的切線，切點分別為A（F，X）,3（X2，%）,且項々+,為=-2，則實

數(shù)m的取值范圍為.

答案：（-

采用數(shù)形結(jié)合，取AB的中點。，根據(jù)芭馬+%%=-2,可計算。。=1,然后根據(jù)

圓的切線性質(zhì)得到絲=些可得OP,最后利用點。到直線I的距離不大于OP,可

OPOA

得結(jié)果.

解：取的中點Q,如圖所示：

根據(jù)圓的切線性質(zhì)：OA±PA,OP±AB,所以可得氏UOQASRUQAQ,所以

OAOQ

~OP~~O\'

由。等，生），

所以0Q-X|+*2)+y+。2)_+，1+/+、2+2(平2+丁|32)

2

由X：+y：=4,超2+%?=4,X,X2+%%=-

所以O(shè)Q=1,則OP=4

|8l

點。到直線/的距離為dJ=.11

VP+1

|8|廠、

則d=/?——<4nZ<73或女2>/3

，爐+1

所以女€(-00,-U［右,+00)

故答案為：(-00,-6］。［6,+°0)

本題考查直線與圓的應(yīng)用，本題難點在于計算0尸以及利用關(guān)系dWOP,審清題意,

考查分析能力以及邏輯推理能能力，屬難題.

三、解答題

17.UAbC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,4c,已知函數(shù)

〃x）=sin（2x+9）（0<e<l］的一條對稱軸為x=￡,且/⑷=g.

I2/62

(1)求A的值；

(2)若。=2,求BC邊上的高的最大值.

答案：(1)y:(2)6

(1)由對稱軸求得。，再由函數(shù)值7(A)求得A；

(2)設(shè)BC邊上的高為/2,由三角形面積得力=且8c，由余弦定理得出"C關(guān)系，然

4

后由基本不等式得最大值.

解：⑴門蘭是“X)的對稱軸，.二乂宗+夕二^+生武丘工),

解得：(p=—+k7r^kGZ),

6

「八冗式

又0<夕<一,/.(p——,

26

/（X）=sin（2x+^"A）=sin（2A+/卜

2

vAe(O,^-)

c,萬5%

2A+—=—

66

71

解得：A=4.

3

(2)設(shè)8c邊上的高為〃，所以有，a〃=LbcsinA,

22

則h-避J2c

4

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be

即得：cr>2bc-bc=bc(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號)，

:.bc<4(當(dāng)且僅當(dāng)。=c時取等號)，

h=—bc<>/3，

4

此時邊上的高取得最大值73.

18.為了了解游客對景區(qū)的滿意度，市旅游部門隨機(jī)對景區(qū)的100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查

(滿分100分)，這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50,60),[60,70),[70,80),

[8(),9()乂9(),100]內(nèi)，且游客之間的評分情況相互獨立，得到統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方

(1)求這100名游客評分的平均值(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表)；

①若從游客中隨機(jī)抽取m人，記這m人對景區(qū)都滿意的概率為，求數(shù)列｛4,｝的前

4項和；

②為了提高游客的滿意度，市旅游部門對景區(qū)設(shè)施進(jìn)行了改進(jìn)，游客人數(shù)明顯增多，旅

游部門隨機(jī)抽取了3名游客進(jìn)行了繼續(xù)旅游的意愿調(diào)查，若不再去旅游記-1分，繼續(xù)

去旅游記1分，假設(shè)每位游客有繼續(xù)旅游意愿的概率均為p,記調(diào)查總得分為X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

答案：(1)77.8；(2)①---；②分布列見解析，一.

6255

(1)根據(jù)同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表，結(jié)合平均數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行

求解即可;

(2)①根據(jù)規(guī)定求出。的值，然后求出區(qū)”的表達(dá)式，最后利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)

行求解即可；

②由題意，X的可能取值為-3,-1,1,3,求出每個可能取值的概率，列出分布列，根據(jù)

數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行運算即可.

解：(1)這100名游客評分的平均值為

55x0.01+65x0.24+75x0.35+85x0.26+95x0.14

=77.8

3

(2)①由題意得〃=(0.01+0.024+0.035)x10=0.6=1

(3丫"2

=(#

2_f2?

數(shù)列｛%,｝的前4項和為5⑶=406

”,2625

1------

5

②由題意，X的可能取值為—3,—1,1,3

P(Xf=|8

芮，P(X=-1)=C；9

7

、；54

P(X=I)=G]|3|=示，"=3)=

75

故X的分布列為:

X-3-113

8365427

P

Y25125125?25

+lx*+3x^=殳3

EX=(-3)x—+(-l)x—

'"125'"1251251251255

3

，X的數(shù)學(xué)期望為二.

19.如圖，三棱錐S—ABC中，底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形,

BC=2,SA=V6?

（D若尸點是線段的中點，求證：平面P8C；

（2）點0在線段SA上且滿足AQ=：AS,求8Q與平面SAC所成角的正弦值.

答案：（1）證明見解析；（2）土叵.

10

（1）利用等邊三角形邊上的中線垂直于此邊，證明S4LCP,SA±BP,根據(jù)線面

垂直的判定定理可證明S4_L平面PBC.（2）取8C的中點。，連接OA,OS,可證

明OA,OB,OS兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面弘C的一

個法向量，由線面角的向量公式計算可得結(jié)果.

解：（1）:□A6c和DSBC都為等邊三角形，且有公共邊8C,

'''AB-SB-BC-AC-SC-

???P為SA的中點，所以S4J_3P,SALOP,

又???BPn”=p，?,?SA，平面P8C.

（2）取BC的中點。，連接OA,OS,易得OSLBCQAJ_8C,OS=6,OA=6

???O^+OB2=AS\

???ZAOS=90°，NAOS為二面角A—BC—S的平面角.

即面SBC_L面ABC.可得OA,OB,OS兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點，04.0B，礪的方向分別為x，％z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖.

設(shè)AB=2,則AO=OS=b，

則點A(?0,0),5(0,1,0),

C(0,-l,0),5(0,0,6),

c

26n⑻

Q~~，U,c，

\337

、

..瓦=(6,1,0),5A=(>/3,0,-73),聞=273.V3

亍七7

設(shè)平面SAC的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-CA-s/3x+y=0,_(r\

則_L,,令x=l,可得〃=1,-6,1.

n-SA=y/3x-sJ3z=0,''

設(shè)BQ與平面SAC所成角為氏

易錯點評：線面角的正弦值為直線與平面法向量所成角的余弦值的絕對值.

22(出、

20.已知橢圓。：與+斗=1(。＞?！?)經(jīng)過一點1?，左、右焦點分別為外F2,

ciZ?、2J

尸是橢圓上一動點，當(dāng)「居垂直于*軸時，|PK|=g.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點6，斜率為A的直線/交橢圓于A,8兩點，且NAOB為鈍角(。為坐標(biāo)原

點)，求A的取值范圍.

(1)由題得關(guān)于"c的方程組，解方程組即得橢圓的方程；

(2)當(dāng)直線斜率％=0時，顯然403=180°不合題意，當(dāng)左。0時，設(shè)直線/：

y=k^x-j3),聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，由&.o%<o,得到

玉々+y%<0，把韋達(dá)定理代入化簡即得解.

解：(1)由題意有3+2=1,2=1

a4b2a2

解得a=2,/?=l

所以由題得橢圓方程為—+y2=l

4

(2)=

當(dāng)直線斜率A:=0時，顯然NAQ3=18()°不合題意

當(dāng)人00時，設(shè)直線/：y=k(x-⑹

X2

---by2=1

聯(lián)立直線/與橢圓J4

y=k(x-y/3)

有(1+4&2)為2-86左2%+12左2-4=0

12&2-4

設(shè)A(X1,y),B(x,y,),：.%+%=,x,x=

22■1+4%221+4F

2

y}y2=k(x]-V3)Xk(x2-A/3)=k(xtx2-6%-V3X2+3)=——

1+4k

因為NAOB為鈍角，所以64.0^<0,；.%工2+%%<0.

-k212公一4lU2-4八

-----+------=-------<0

1+4K7}+4k-l+4/r

,1正-4<0,一華“〈華'且持0

綜上，k的取值范圍是一印,0|。|0,

關(guān)鍵點評：解答本題有兩個關(guān)鍵，關(guān)鍵一，是把NAQB為鈍角，轉(zhuǎn)化為Q4QB<0,解

析幾何里角的問題一般轉(zhuǎn)化為傾斜角和向量的夾角；關(guān)鍵二，不要忘記了排除％=0,

因為k=0時，NAOB為平角，不是鈍角.

21.已知函數(shù)f(x)=lnx+q-4x-a(aeR).

(1)當(dāng)。=一3時，求外力的極值；

(2)若對任意x>l,都有/(力+4%+1>9恒成立，求整數(shù)a的最大值.

答案：(1)/(X)的極大值為-4,無極小值；(2)4.

(1)將。=-3代入，先求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)的零點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)增減性即可

得到答案.

(2)由題意分離參數(shù)得a<"Ex+2”一1,設(shè)力(劃=曲匕生1(”>。，則所求

X—1X—1

問題轉(zhuǎn)化為求爪求出〃'(犬)，結(jié)合零點存在定理，得出函數(shù)的單調(diào)性，得出

其最值，再得出其范圍，即可求出。的最小整數(shù)；

解：(1)當(dāng)以=-3時，/(x)=lnx——4x+3,f(x)定義域為(0,+力)

X

f\x)=1+4-4=。3；4丁=_(4x+3)(x-l),注意到4%+3>0

XX"XX

當(dāng)0<x<l時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x>l時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1，物)

“X)在x=l時取得極大值且極大值為/(1)=-4,無極小值.

a]—x

(2)原不等式Inxd---Q+1>------恒成立<=>xln%+a—ax+x>l—x

XX

變形有xlnx+2x-1>6r(x—1)

八…xlnx+2x-l.…

Qx>l即a<-------------在。,+8)怛成

x-1

設(shè)h(x)="InH(X>I)原問題等價于h(x)min>a

x-l

,，/、x-lnx-2).一

力入=一^一耳―，令g(x)=x-lnx-2

V—1

則g，(x)=l——=——>0,g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增

xx

?/g(3)=3-In3-2=1—In3<0,(4)=4-In4-2=2—In4>0

由零點存在定理有在存X。6(3,4)使g(x())=%-In玉)-2=0即九0-2=In/

當(dāng)xG(1,/)時，g(x)<0,h!{x)<Q,h(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(無(),+8)時，g(x)>0,h'(x)>0M(x)單調(diào)遞增

依濡="(X。)=皿。［”1,利用豌_2=In/

玉)—1

心焉J°Q_2)：2X「1=X°+1

?.?x0G(3,4),/.X0+1G(4,5)

的最大值為4.

關(guān)鍵點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法求解存在性問

題，解答本題的關(guān)鍵是由的導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，進(jìn)一步得出其最值

，/、//、％Jn%+2x-1c,

〃(X)min=〃(％)=」一"一產(chǎn)0一?，利用X0-2=ln/,可得

公一1

7/、/(X?！?)+2A—1

-----1o一=/+l，得出答案，屬于難題.

g

x=-4+2

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為,及a為參數(shù)).以坐

一

y=-2+2

標(biāo)原點。為極點，龍軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為

「cos。=2atan>0).

(1)求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)P(-4,—2),直線/與曲線C相交于“、N兩點，若歸閘、|PN|成

等比數(shù)列，求實數(shù)。的值.

答案：(1)l'x-y+2=0,C:x2-2ay(x^0,a>0)；(2)a=\.

(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)f,可得出直線/的普通方程，將曲線C的極坐標(biāo)

方程變形為P2cos2。=2apsin。，利用極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出

曲線C的普通方程；

（2）將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，列出韋達(dá)定理，由已知條件可得

2

（z,+r2）=532，代入韋達(dá)定理可求得正實數(shù)。的值.

[j0,

X=-4H-----1

?

解：（1）由《「消去可得直線/的普通方程為％-丁+2=0.

y=-2。d--V--2-1

I2

由pcos0=2atan0pcos28=2。sin8,/.p1cos20=2%sin6,

pcos0=x,psin0=y,.\x2=2ay（a>0）.

由tan?有意義可知cosOwO,??.xuocosewO,

所以，曲線C的直角坐標(biāo)方程為％2=2沖（》/0,4>0）；