2021屆甘肅省第二次高考診斷數(shù)學(xué)（文）試卷解析

絕密★啟用前

2021屆甘肅省第二次高考診斷數(shù)學(xué)（文）試題

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合4={*|-2＜為＜1},5={-2,-1,0,1},則408=（）

A.{—2,—1,0,1}B.{—1,0,1}C.{-1,0}D.{一2,—1,0}

答案：B

利用交集的定義可求得集合4nB.

解：因?yàn)榧?={目—2＜x〈l},B={-2,-1,0,1},因此，AD6={-1,0,1}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）=3—i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-zB.iC.-1D.1

答案：D

利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,由此可得出復(fù)數(shù)z的虛部.

3-;_(3-/)(l+2z)3+5Z+2

解：因?yàn)閦(l—2i)=3—九

l-2/-(l-2z)(l+2/)--5-

因此，復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故選：D

3.如圖，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）

A.y=xcosx+sinxB.y=xsinx+cosx

C.y=xsinxD.y=xcosx

答案：A

分析各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性、及各函數(shù)在x=Wjr處的函數(shù)值，結(jié)合排除法可得出合適的

2

選項(xiàng).

解：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)工(x)=xcosx+sinx,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

fx(-x)=-xcos(—x)+sin(—x)=-xcosx-sinx=-(xcosx+sinx)=-/(x),該

函數(shù)為奇函數(shù)，

且工匚卜彳0°$7+5'彳=1>0，滿足條件；

I2J222

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)￡(x)=xsinx+cosx,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

力(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=.%(x),該函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足

條件；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)^(x)=xsinx,該函數(shù)的定義域?yàn)镠，

_4(-x)=-xsin(-x)=xsinx=^(x),該函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足條件;

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)力(x)=xcosx,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

工i(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-_4(x),該函數(shù)為奇函數(shù),

TTJT

7cos—=0,不滿足條件.

G卜22

故選：A.

思路點(diǎn)評(píng)：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；

(2)從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(3)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(5)函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

4.中國古代制定樂律的生成方法是最早見于《管子?地員篇》的三分損益法，三分損益

包含兩個(gè)含義：三分損一和三分益一.根據(jù)某一特定的弦，去其;，即三分損一，可得

出該弦音的上方五度音；將該弦增長;，即三分益一，可得出該弦音的下方四度音.中

國古代的五聲音階：宮、徵(zQ),商、羽、角(AM),就是按三分損一和三分益一的順序交

替，連續(xù)使用產(chǎn)生的.若五音中的“宮”的律數(shù)為81,請(qǐng)根據(jù)上述律數(shù)演算法推算出“羽”

的律數(shù)為()

A.72B.48C.54D.64

答案：B

按三分損一和三分益一的順序交替進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果

解：依題意，將“宮”的律數(shù)81三分損一可得“徵”的律數(shù)為81x(1-$=54,

將“徵”的律數(shù)54三分益一可得“商''的律數(shù)為54x(1+1)=72,

將“商”的律數(shù)72三分損一可得“羽”的律數(shù)為72x(1-1)=48.

3

故選：B

5.設(shè)S“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S“=〃2+2〃，則%>2i=()?

A.4043B.4042C.4041D.2021

答案：A

法一：由402|=^2021—^2020可得;

5n=1

法二：由數(shù)列公式。"=<C，先求通項(xiàng)，再代入求出。2(P-

-S“_1n>2

2

解：法一：出。21=S2021一52020=202/_202Q+2X2021—2X2020=4043；

法二：???S〃=〃2+2〃，「?當(dāng)題=1時(shí)、q=S]=3,

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-S〃_[=/+2"-5--2(n-l)=2n+l.

當(dāng)〃=1時(shí)，也適合上式，.???！?2〃+1,則生()21=2x2021+1=4043.

故選：A.

(1)設(shè)是數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和，S〃=An2+Bno｛qj是等差數(shù)列.

[S,n=l

(2)已知S〃求〃“，應(yīng)用公式時(shí)，一要注意不要忽略〃=1時(shí)

n>2

的情況，二要注意an=S?-S,i時(shí)的成立條件.

6.雙曲線工-三=1(m>0,〃>0)的漸近線方程為y=±交8，實(shí)軸長為2,則機(jī)-〃

mn2

為()

]B

A.-1B.1-V2C.-D.1--

22

答案：A

根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到〃=2根，根據(jù)雙曲線的實(shí)軸長求出機(jī)=1,〃=2,從而

可得結(jié)果.

解：因?yàn)殡p曲線片一二=1（〃7>0,〃>0）的漸近線方程為丁=±也^,

mn2

所以車=也，即〃=2加，

又雙曲線的實(shí)軸長為2,所以2日=2,得加=1,所以〃=2,

所以加一“=1—2=—1.

故選：A

7.某地以“綠水青山就是金山銀山”理念為引導(dǎo)，推進(jìn)綠色發(fā)展，現(xiàn)要訂購一批苗木,

苗木長度與售價(jià)如下表：

苗木長度X（厘米）384858687888

售價(jià)（元）16.818.820.822.82425.8

由表可知，苗木長度1（厘米）與售價(jià)y（元）之間存在線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為

y=0.2x+a,則當(dāng)苗木長度為150厘米時(shí)，售價(jià)大約為（）

A.33.3B.35.5C.38.9D.41.5

答案：C

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出樣本點(diǎn)中心，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心求出右，再將x=150

厘米代入回歸方程可求出結(jié)果.

38+48+58+68+78+88

解：因?yàn)闊o=----------------------=63，

6

16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8

y=------------------------------=21.5,

6

所以樣本點(diǎn)中心為（63,21.5）,

又回歸直線9=0.2了+6經(jīng)過(63,21.5),

所以21.5=0.2x63+3,所以3=8.9,

所以回歸方程為g=0.2x+8.9,

當(dāng)x=150時(shí)，9=38.9厘米.

則當(dāng)苗木長度為150厘米時(shí)，售價(jià)大約為38.9厘米.

故選：c

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝gG。中，E,EG分別是棱CG

的中點(diǎn)，P是底面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線QP與平面E/G不存在公共點(diǎn)，則三角

形尸34的面積的最小值為

C.V2D.2

答案：C

延展平面EFG，可得截面瓦GHOR其中〃、Q、R分別是所在棱的中點(diǎn)，可得

。P//平面EFG/7QR,再證明平面。AC//平面EEGHQR,可知p在AC上時(shí)，符合

題意，從而得到P與。重合時(shí)三角形PBg的面積最小，進(jìn)而可得結(jié)果.

延展平面EFG,可得截面EEGHQR,其中"、。、R分別是所在棱的中點(diǎn),

直線。尸與平面EFG不存在公共點(diǎn),

所以RP"平面EFGHQR,

由中位線定理可得AC//EF,

EF在平面EFGHQR內(nèi)，

AC在平面EFG//QR外，

所以AC//平面EFGHQR,

因?yàn)?P與AC在平面。AC內(nèi)相交,

所以平面2AC//平面EFGHQR,

所以P在AC上時(shí)，直線AP與平面EFG不存在公共點(diǎn),

因?yàn)锽O與AC垂直，所以P與0重合時(shí)BP最小，

此時(shí)，三角形的面積最小，

最小值為4x2xa=0,故選C.

2

本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的

常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條

與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)

或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面

平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.

9.在數(shù)列｛4｝中，a,=1,數(shù)列“是公比為2的等比數(shù)列，則4=（）

答案：B

根據(jù)等比數(shù)列的定義求出數(shù)列<,+1，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可解得數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.

111Ic

解：由題意知，數(shù)列一+1卜是首項(xiàng)為一+1=2,公比為2的等比數(shù)列，

\an4

所以，」~+l=2-2"T=2",因此，q=_L_.

a?"2"-1

故選：B.

IO.拋物線y2=2px（p>0）準(zhǔn)線上的點(diǎn)A與拋物線上的點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，線段

AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)若直線MB經(jīng)過點(diǎn)N（4,0）,則拋物線的

焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（4,0）B.（2,0）C.（1,0）D.f1,0j

答案：C

設(shè)點(diǎn)8(玉,必)、加(七,％)，設(shè)直線MB的方程為％=沖+4,將直線MB的方程與拋

物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由麗?麗'=()可求出P的值，進(jìn)而可得出拋物線的

焦點(diǎn)坐標(biāo).

解：設(shè)點(diǎn)6(不必)、M(x2,y2),則點(diǎn)可得-王=-g則芭=彳，

x=my+4.

設(shè)直線MB的方程為工=沖+4,聯(lián)立《2.，可得y2_2mpy_8P=0,

y=2px

所以，％%=-8〃，

222642

由題意可知，OB-OM=尤|尤,+y%=一^+%％=——--8p=16-8p=0,解得

4p4P

P=2.

因此，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0).

故選：C.

方法點(diǎn)評(píng)：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,y)、(％2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于％(或y)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算/；

(3)列出韋達(dá)定理：

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為芭+%、的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

11.設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+。)單調(diào)遞增，則().

A./(log20.5)>/(log23)B./(2°2)〉/(2巧

023

C./(2)>/(log25)D./(log23)>/(2)

答案：B

由0<10822<叫23和/(%)的單調(diào)性可判斷人；由2°2>245>0和/(x)的單調(diào)性

可判斷B；由l=2°<2°?2<22=4,k)g25>log24=2和/(x)的單調(diào)性可判斷C；由

0<log23<log24=2<23和/(x)的單調(diào)性可判斷D.

解：對(duì)于A,/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以/(log2().5)=/(log22),

因?yàn)?)<log22<log23,且/(x)在((),+8)單調(diào)遞增，所以/(log20.5)</(log23),

故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?02>2心>0，“X）在（0,+力）單調(diào)遞增，所以/（2°2）〉/（245）,

故正確；

對(duì)于C,因?yàn)镮=2°<2a2<22=4,log25>log24=2,所以0<2°z<log?5,又因

為

“X）在（0,+力）單調(diào)遞增，所以/（2°-2）</（log25）,故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?<log23<log24=2<23,“X）在（0,+8）單調(diào)遞增，

3

/（log23）</（2）,故錯(cuò)誤.

故選：B.

比較大小的方法有：

（1）根據(jù)單調(diào)性比較大??；

（2）作差法比較大??；

（3）作商法比較大??；

（4）中間量法比較大小.

（兀5兀]

12.直線無=/"^<根<:）與丫=$皿、和3;=以《*的圖象分別交于A,B兩點(diǎn)，

當(dāng)線段AB最長時(shí)，口。43的面積為（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）（）.

Aan3c■R02兀3四兀

A.371B.-----C?D.----

438

答案：D

求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合輔助角公式，正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解:由題意得:A(m,sinm),5(%,cosm),因此A8=|sinmcosm'I=^2sin(m--),

14

因?yàn)樗?<加一工〈乃，即A8=J2sin（/〃-—）,

4444

n>rr*\TT

當(dāng)，〃一時(shí)，AB最長，即當(dāng)機(jī)=]"時(shí)，AB最大值為逝，

□O鉆的面積為，x0.包=之叵，

248

故選：D

二、填空題

13.平面內(nèi)單位向量1,h-3滿足萬+5+^=。，則展5=.

答案：—,

2

由汗+5+乙=。得5=一5+5),兩邊平方并利用單位向量的長度可求得結(jié)果.

解：因?yàn)橐?5,m為單位向量，

所以1引=|5|=|四=1，

因?yàn)镸+方+1=。,所以守=一(1+5),

所以=(@+5)2=&2+52+2汗.5,

所以1=1+1+2G?石，得a?0=一萬.

故答案為：—

2

x-y+l>0

14.若實(shí)數(shù)x,)'滿足約束條件卜+>+120,則x+y的最大值是.

九一140

答案：3

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，々z=x+y,平移直線〉=一次,在可行解域內(nèi),

找到一點(diǎn)使得此時(shí)直線在縱軸上的截距最大，把點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.

解：約束條件在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)表示的可行解域如下圖：

☆z=x+y,平移直線丁=一％,在可行解域內(nèi)，當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線

x-y+1=0fx=l

在縱軸上的截距最大，點(diǎn)A的坐標(biāo)是方程組《；的解，解得｛一,

x=i[y=2

所以x+y的最大值是1+2=3,

故答案為：3

15.孫子定理（又稱中國剩余定理）是中國古代求解一次同余式組的方法.問題最早可見于

南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題“物不知數(shù)”問題：有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？它的基本解法之一是：列出

用3整除余2的整數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,23...,用5整除余3的整數(shù)：3,8,

13,18,23.......用7整除余2的整數(shù)：2,9,16,23...,則23就是“問物幾何？”中“物”

的最少件數(shù)，“物”的所有件數(shù)可用105〃+23（〃eN）表示.試問：一個(gè)數(shù)被3除余1,

被4除少1,被5除余4,則這個(gè)數(shù)最小是.

答案：19

列舉出被3除余1的整數(shù)有、被4除少1的整數(shù)、被5除余4的整數(shù)，從中找到同時(shí)滿

足條件的最小整數(shù)可得結(jié)果.

解:因?yàn)楸?除余1的整數(shù)有：L4,7,4,13,16,19,22,25,…,

被4除少1即被4除余3的整數(shù)有:3,7,11,16,1即23,2除…,

被5除余4的整數(shù)有：4,9,14,19,24,29,…,

所以這個(gè)數(shù)最小為19.

故答案為：19

16.三棱錐尸-ABC的底面是邊長為3的正三角形，面垂直底面ABC,且

PA=2PB,則三棱錐P-ABC體積的最大值是.

設(shè)P到AB的距離為〃，PB=x,PA=2x,則可得九二上打一5）+16,求出〃的

一2

最大值即可求出體積最大值.

解：因?yàn)槊娲怪钡酌鍭BC,則三棱錐的高即為P到AB的距離，設(shè)為〃，

VPA=2PB，設(shè)尸B=x,ft4=2x,

x2+32-4x23-x2

在△PA8中，cosNP3A=

6x2x

則sinNPBA=Vl-cos2ZPBA=，一丁+1()廣北，

2x

rnil\I-X4+10x2—9%/一(12_5)+16

則h=PB-sinZPBA=U―-=皿-----------'

22

當(dāng)丁=5,即x=6時(shí)，然ax=2，

又Sw=」x3x3xsin60°=^,

ABC24

則三棱錐P-A8C體積的最大值為JxSABcX/innx=1x2更x2=tm.

3max32

故答案為：正.

2

關(guān)鍵點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積最值的求解，解題的關(guān)鍵是求出P到48的距離的最大

值，根據(jù)題意能得出力_J-(J—5)+16.

2

三、解答題

17.如圖，在直四棱柱ABCO—qgG，中，底面ABC。是邊長為2的菱形，且

M=3,E、/分別為C￡、82的中點(diǎn).

D

tG

隊(duì)——

（1）證明：￡E，平面84。。；

（2）若NDAB=60°，求點(diǎn)A到BED的距離.

答案：（1）證明見解析；（2）上」.

7

（1）連接AC交8D于O點(diǎn)，連接OF,證明四邊形OCEE為平行四邊形，可得出

EF//OC,再證明出OC上平面B&RD,由此可得出瓦J_平面8ARO；

（2）計(jì)算出三棱錐8-的體積，并計(jì)算出口瓦定的面積，利用等體積法可計(jì)算

出點(diǎn)2到的距離.

解：（1）證明：連接AC交80于。點(diǎn)，連接0尸，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且ACnBD=O,為30的中點(diǎn)，

因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，。尸〃。。且

在直四棱柱ABCD-^B.C.D,中，CCt//DD}且CC,=DD},

E為CC,的中點(diǎn)，則CEHDD,且CE=；DD\,..OF//CE且OF=CE,

所以，四邊形OCEE為平行四邊形，所以，EF//OC，

（2）解：若NZMB=60°，則△A3。和DCBO為等邊三角形，BD=BC=CD=2,

?：CC（mABCD,

???CG=A&=3,則CE=2，由勾股定理可得BE=JBC2+CE2=三，同理

連接0E,則所以，OE=ylBE?-OB?=坦，

2

所%SABDE=~BD-OE=，而S&BDD、=5BD?DR=3

乙乙乙

設(shè)點(diǎn)。到面3EO的距離為〃，

則由（1）知EF=CO=>/^及Vg-認(rèn)DB=VD『EDB得=乂3乂\[^h，解得

332

,6s

h------>

7

所以點(diǎn)。到面BED的距離—.

方法點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)A到平面BCD的距離，方法如下：

（1）等體積法：先計(jì)算出四面體ABCD的體積，然后計(jì)算出△BCD的面積，利用錐

體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)A到平面BCD的距離；

（2）空間向量法：先計(jì)算出平面3。的一個(gè)法向量[的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)A到平

面8c。的距離為。

18.起源于漢代的“踢鍵子”運(yùn)動(dòng)，雖有兩千多年歷史，但由于簡便易行,至今仍很流行.某

校為豐富課外活動(dòng)、增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，在高一年級(jí)進(jìn)行了“踢鍵子”比賽，以學(xué)生每分鐘踢

毯子的個(gè)數(shù)記錄分值，一個(gè)記一分.參賽學(xué)生踢鍵子的分值均在40口100分之間，從

中隨機(jī)抽取了100個(gè)樣本學(xué)生踢鍵子的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了如圖所示的頻率分布

直方圖，并稱得分在80口90之間為“踢鍵健將”，90分以上為“踢建達(dá)人”.

(1)求樣本的平均值X(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

(2)要在“踢鍵健將”和“踢建達(dá)人”中分層抽樣抽出6名同學(xué)在全級(jí)進(jìn)行表演，試問“踢穰

達(dá)人”張睿被抽取的概率是多少？

(3)以樣本的頻率值為概率，若高一(1)班有60個(gè)同學(xué)，試估計(jì)該班“踢犍健將”和“踢健

達(dá)人”各有多少人.

答案：⑴68；

⑵0.4；

⑶“踢健健將”6人；"踢健達(dá)人”3人.

(1)寫出頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)的頻率，再求平均數(shù)；

(2)由分層抽樣求出抽出的6人中，“踢健達(dá)人”應(yīng)抽人數(shù)，再由古典概型求解；

⑶由“踢犍健將”和“踢貓達(dá)人”的頻率，估計(jì)對(duì)應(yīng)的概率，依據(jù)古典概型求得.

解：⑴由x=45x0.05+55x0.2+65x0.35+75x0.25+85x0.1+95x0.05=68，

...樣本的平均值為68；

(2)依頻率分布直方圖“踢選健將”有10人，“踢穰達(dá)人”有5人.

需分層抽樣抽6人，則要在“踢粳達(dá)人”中抽取2人，

所有的抽法共10種，包含張睿的抽法有4種，

故張睿同學(xué)被抽取的概率是0.4.

(3)由頻率分布直方圖知，“踢雄健將''和“踢選達(dá)人”的頻率分別是0.1和0.05,

由此估計(jì)“踢建健將”和"踢犍達(dá)人”的概率分別是01和0.05,

所以高一⑴班“踢健健將”有0.1x60=6人，“踢穰達(dá)人”有0.05x60=3人.

19.口ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,且J^z-csin8=WcosC.

(1)求角8的大??；

(2)若。=3,c=2,。為BC邊上一點(diǎn)，求sin/BDA的值.

答案：(1)8=？；(2)sinN30A=迫.

37

(1)由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡可得出tan8的值，結(jié)合角B的取值范圍可

求得角3的值；

(2)求出3。的長，利用余弦定理可求得的長，然后利用正弦定理可求得

sinNBDA的值.

解：(1)因?yàn)榘賏—csinB=??cosC，由正弦定理可得

百sinA-sin5sinC=V3sin5cosC，

所以Gsin(3+C)—sinCsinB=GsinBcosC,

即得6cosBsinC+\/3sinBcosC-sinBsinC=V3cosSsinC>

可得由cos6sinC=sin8sinC，

因?yàn)镃e((),〃)，貝iJsinC>0,則有tanB=g，

又因?yàn)锽e(0,〃)，所以B=g；

(2)因?yàn)閍=3,由=可得，DB=~.

52

在△ABD中，A。？」口

+22-2x—x2cos—=—>所以AO

234

V21

ABAD2

在△A3。中，由正弦定理得,>即sinNBD4

sin/BDAsinB2sin--

3

所以sinNBDA="

7

方法點(diǎn)評(píng)：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定

理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角''或"角化邊”，變換原則如下：

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊”；

(2)若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置：

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

(6)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

22

20.已知圓0:/+/=^經(jīng)過橢圓。：吞+/=的右焦點(diǎn)F?,且經(jīng)過

點(diǎn)馬作圓。的切線被橢圓C截得的弦長為也.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/經(jīng)過橢圓。的右焦點(diǎn)用與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且麗.麗=0,求直

線/的方程.

2

答案：⑴y+/=l；(2)2x+夜>一2=0或2K-0一2=0.

(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓之間的關(guān)系，利用代入法進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求

解即可.

解：解：(1)因?yàn)閳AO：/+y2="經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)鳥，所以b=c,

a-y/b2+C2-V2Z?-

且過點(diǎn)尸2作圓。的切線被橢圓C截得的弦長為O,

所以在橢圓上，即+看=1'

所以。=1,”萬故橢圓。的方程為5+>2=1?

(2)當(dāng)直線/的斜率為零或不存在時(shí)，顯然不滿足題意.

設(shè)直線/方程為x=my+i,

V2=1

聯(lián)立《耳+)，化簡整理，得(機(jī)？+2);/+2陽—1=0.

x=my+\

設(shè)交點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為A(%A，%)，8(4,%)，

2m1

貝UyA+yB=--丫/))=一-r—

m+2m+2

故有4.4=(陽A+1)(陽8+1)=m2以)%+機(jī)(％+%)+]

222

—____m______2_m___j—1___-_2_m___+__2

jn1+2ITT+2irr+2

由訴麗=0，得與/+%力=0，

即有二2機(jī)二2一_，_=(),解得加=±也，

m+2m+22

所以直線/的方程為2x+0y-2=0或2x-JIy-2=().

關(guān)鍵點(diǎn)評(píng)：由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式得到-2"+2一—J_=0是解題的關(guān)

m~+2m'+2

鍵.

21.已知函數(shù)/(x)=f一磔一xlnx,aeR,/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=0,求函數(shù)/'(X)的最小值：

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

答案：⑴ln2；⑵(T?』n2].

(1)當(dāng)a=0時(shí)求出/'(x),設(shè)g(x)=/'(%),利用g(x)的單調(diào)性可得答案；

(2)設(shè)〃(x)=/'(x),利用〃(力的單調(diào)性求得最小值/{g)=-a+In2,

由已知只需r(力1nbi=A(x)irtn>0可得答案?

解：⑴當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=x2-xlnx的定義域?yàn)閤w(0,+8),

故/'(%)=2%-1一lnx,

9v-__1

設(shè)g(x)=2x-l-lnx,則g<x)=—―,

當(dāng)0<x<；時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=g時(shí)，g(x)有最小值，

所以尸(x)min=g(司min=g(；)=2x；-l-lng=ln2.

(2)因/'(x)=2x-a-l-lnx,

9v-__i

設(shè)力(x)=2x—a-l-lnx,則"(x)=—：---,

由(1)可知〃(x)的最小值是人(5)=—a+In2,

要使在xe(0,4w)上單調(diào)遞增，只需/=Mx)min=-a+ln2N0,

所以aWIn2,

故。的取值范圍為(F,ln2].

本題考查了求函數(shù)的最小值及求參數(shù)的取值范圍的問題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷

函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

22.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是曲線G:(x-2『+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，滿足2麗=西

的點(diǎn)3的軌跡是

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線G，G的極

坐標(biāo)方程；

x=-l+，cosa/、

(2)直線/的參數(shù)方程是(，為參數(shù))，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是(-以))，若

y=tsma

直線/與曲線交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)|?|PN|=|MN|2時(shí)，求cosa的值.

答案：(1)G的極坐標(biāo)方程夕=4cos。，C,的極坐標(biāo)方程：0=2cos6；(2)±巫.

4

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線G的極坐標(biāo)方程；設(shè)動(dòng)點(diǎn)8極坐標(biāo)為

(Q,。)，則由2礪=3彳得點(diǎn)A的極坐標(biāo)，代入曲線G的極坐標(biāo)方程。=4cos。可求

出曲線G的極坐標(biāo)方程：

(2)將曲線G的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線/的參數(shù)方程代入曲線的直

角坐標(biāo)方程，利用直線/的參數(shù)