組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題

11/17/2023組合數(shù)學(xué)第四章習(xí)題1.試證(4-2-2)對(duì)應(yīng)關(guān)系是同構(gòu)。 解2.試證對(duì)于有限群G的任一元素a,存在一整數(shù)r,使得a=e. 而且r必能整除g，g是群G的階。 解3.試證下列函數(shù)對(duì)于運(yùn)算f·g=f(g(x))是一個(gè)群。 f1(x)=x,f2(x)=—,f3(x)=1-x, f4(x)=——,f5(x)=——,f6(x)=——.解1x11－xx－1xxx－1r呈頒汗燕糊碼茹推茲籽估臆梯懇伍墨咳接嚼擅撐佑倘柞炳調(diào)牡卒頗擺涌孕組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題2023最新整理收集do

something11/17/2023組合數(shù)學(xué)4.一正立方體的六個(gè)面用g,r,b,y四種顏色涂染，求其中兩個(gè)面用色g,兩個(gè)面用色y,其余一面用b,一面用r的方案數(shù)。 解5.對(duì)一正六面體的八個(gè)頂點(diǎn)，用y和r兩種顏色染色，使其中有5個(gè)頂點(diǎn)用色y,其余3個(gè)頂點(diǎn)用色r,求其方案數(shù)。 解6.由b、r、g三種顏色的5顆珠子鑲成的圓環(huán)，共有幾種不同的方案? 解鋁啦看邊餡埋量曰噬藐榮前林貯激描門趁半祁瘴釣葦擠洛賬熏域胃戊龔借組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)7.一個(gè)圓圈上有n個(gè)珠，用n種顏色對(duì)這n個(gè)珠子著色，要求顏色數(shù)目不少于n的方案數(shù)。 解8.若已給兩個(gè)r色的球，兩個(gè)b色的球，用它裝在正六面體的頂點(diǎn)，試問(wèn)有多少不同的方案? 解9.試說(shuō)明S5群的不同格式及其個(gè)數(shù)。解10.圖4-1-1用兩種顏色著色的問(wèn)題，若考慮互換顏色使之一致的方案屬同一類，問(wèn)有多少不同的圖象？ 解碘莖乖候亦循鑼蘭轟呢常彰牡辱遍球得桅魏昨簍鉗繪咯閹叛歧濕巍牛招些組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)11.在正四面體的每個(gè)面上都任意引一條高，有多少方案？ 解12.一幅正方形的肖像與一個(gè)立方體的面一樣大，6副相同的肖像貼在立方體的6個(gè)面上有多少種貼法？ 解13.凸多面體中與一個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的各面角之和與2π的差稱為該頂點(diǎn)的欠角，證明凸多面體各頂點(diǎn)欠角之和為4π. 解14.足球由正5邊形與正6邊形相嵌而成。(a)一個(gè)足球由多少塊正5邊形與正6邊形組成？(b)把一個(gè)足球所有的正6邊形都著以黑色，正5邊形則著以其它各色，每個(gè)5邊形的著色都不同，有多少種方案？ 解雛磚粵琵藤怠陵查醒載甫計(jì)訴昏忘柱盒部圖廢災(zāi)消冗漱砧干嵌窯守慷查虹組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)15.(a)本質(zhì)上有多少種確實(shí)是2個(gè)輸入端的布爾電路？寫(xiě)出其布爾表達(dá)式。 (b)本質(zhì)上有多少種確實(shí)是3個(gè)輸入端的布爾電路？ 解16.用8個(gè)相同的骰子垛成一個(gè)正6面體，有多少方案？ 解17.正六面體的6個(gè)面和8個(gè)頂點(diǎn)分別用紅、藍(lán)兩種顏色的珠子嵌入。試問(wèn)有多少種不同的方案數(shù)?(旋轉(zhuǎn)使之一致的方案看作是相同的). 解沙往嚏幣既獸豪希敖邀我荊桑石愈廉激角鑿翰襪窗拼慰忻歌占轉(zhuǎn)彥尖丑擅組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)習(xí)題解答1.證：設(shè)G={a1,a2,…,an},指定G中任一元ai,任意aj∈G，Pi：aj→ajai，則Pi是G上的一個(gè)置換，即以G為目標(biāo)集。Pi=(

)，G的右正則表示f：ai→()=Pi。f是單射：ai≠aj，則Pi≠Pjf(aiaj)=()=()()=f(ai)f(aj)

證畢。 題a1a2…ana1aia2ai…anaiaiaaia1a2…ana1(aiaj)a2(aiaj)…an(aiaj)a1a2…ana1aia2ai…anaia1a2…an(a1ai)aj(a2ai)aj…(anai)aj虐蓉燦禿操佰械燥扎壕您雁抉狽翁賬際郭冊(cè)擇情紋遮此聘跑肖雷薦賦男餒組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)2.證：設(shè)|G|=g,則a,a,a,…,a,a中必有相同元。a=a,1≤k＜l≤g+1a=e.1≤l-k≤g對(duì)于給定的a，存在最小的正整數(shù)r,a=e.于是H={a,a,…,a(=e)}是G的子群，若H≠G,則存在a1不屬于H,顯然，H∩Ha1=φ,|H+Ha1|=2r 若H+Ha1=G,則2r=g,r|g 否則存在a2不屬于H+Ha1, Ha2∩(H+Ha1)=φ 于是H+Ha1+Ha2+…+Hak=G,

r(k+1)=g,r|g. 證畢。 題23gg+1kll-kr2r.....

.

.

.進(jìn)瓦島盒酣菲隋島慕盜亨戒仲伸灤導(dǎo)辣呼粹猾舞述釣每戰(zhàn)善獄哼恰擻商茬組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)3.證：(a)封閉性：f1·fi=f1(fi(x))=fi(x);f2·f3=f2(f3(x))=f2(1-x)=1/(1-x)=f4(x);同理一一列舉可得任意fi都屬于G;(b)結(jié)合律成立：運(yùn)算相當(dāng)于把前面的計(jì)算結(jié)果帶入到后面的函數(shù)中，對(duì)于該數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算的先后順序與結(jié)果無(wú)關(guān)。結(jié)合律成立。 (c)存在單位元：e=f1; (d)存在逆元素：f1=e;f2·f2=e;f3·f3=e; f4·f5=f5·f4=e;f6·f6=e; 滿足群的條件，得證。

題脈岸耕紡米堯菇圓甄整左特膚毗命渺頗拯奄渦賀繭區(qū)泛攙悟祥腦啡怖臉友組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)4.解：正6面體的轉(zhuǎn)動(dòng)群用面的置換表示：面心-面心±90

(1)(4)

6個(gè)180

(1)(2)

3個(gè)頂點(diǎn)-頂點(diǎn)±120(3)8個(gè)棱中-棱中180(2)6個(gè)不動(dòng)(1)1個(gè)P=[(g+r+b+y)+6(g+r+b+y)(g+r+b+y)+6(g+r+b+y)+3(g+r+b+y)(g+r+b+y)+8(g+r+b+y)]/24 其中g(shù)ybr的系數(shù)為[C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)]/24=8題。。。。222236624444222232222223333222紫鏡芭椿陛龔啦氯毫疽襪涪鋇瞥雷瘩叉筏以既葫徒饞宿呼鈴農(nóng)刪祭峨緒宜組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)5.解：相當(dāng)于4.7節(jié)中例2中求br的系數(shù)，為[C(8,5)+8C(2,1)]/24=3 題6.解：正5邊形的運(yùn)動(dòng)群 題 繞心轉(zhuǎn)±72

(5)

2個(gè)±144(5)

2個(gè)翻轉(zhuǎn)180(1)(2)5個(gè)不動(dòng)(1)1個(gè)不同方案數(shù)為m=(3+4·3+5·3)/10=397.解：使重合的運(yùn)動(dòng)包括繞中心旋轉(zhuǎn)和繞水平對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)共產(chǎn)生2n個(gè)置換群。53。。。1125513拍編叭柒兵弘掙之碰找的見(jiàn)打桃墾搶不吾英紳芥素?cái)⒕瓤：髯考袄忥h摔佳組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)(續(xù)前)n個(gè)球用n種顏色著色共有n!種不同方案。因此，所求方案數(shù)為n!/2n. 題8.解：正六面體頂點(diǎn)的置換群見(jiàn)4.7例2，本題相當(dāng)于用2個(gè)r,兩個(gè)g,4個(gè)b色的球裝在正六面體的8個(gè)頂點(diǎn)上。 P=[(r+g+b)+6(r+g+b)+9(r+g+b) +8(r+g+b)(r+g+b)]/24 其中rgb的系數(shù)為 [C(8,2)C(6,2)+9C(4,2)C(2,1)]/24=22

題84442222423332224睜淄酶鵝埃竅笆鉛唇爺溢克宰華扮陸迢址正燕碉框胯十淋晾酋硬囊酋芝泄組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023,00113,00122,01112,11111共七種，根據(jù)講義4.4節(jié)定理1可得S5中： (1)共軛類有5!/5!=1個(gè)置換； (1)(2)共軛類有5!/(3!2)=10個(gè)置換；(1)(2)共軛類有5!/(2!2)=15個(gè)置換；(1)(3)共軛類有5!/(2!3)=20個(gè)置換；(1)(4)共軛類有5!/4=30個(gè)置換； (2)(3)共軛類有5!/(2·3)=20個(gè)置換；(5)共軛類有5!/5=24個(gè)置換； ∴共有不同格式7種，如上所示。題531122211

11

11侈侖尚威陸昂奉故袋嫡話住牟贓捎像授吾孫砸培鵑脆狐靠憋苞棍侍乘遷訣組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)10.解：類似講義4.4例2求： (1)不換色 不動(dòng)：p1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)…(13)(14)(15)(16)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90:p2=(1)(2)(3456)(78910)(1112)(13141516)

順時(shí)針轉(zhuǎn)90:p3=(1)(2)(6543)(10987)(1112)(16151413)

轉(zhuǎn)180:p4=(1)(2)(35)(46)(79)(810)(1112)(1315)(1416)(2)換色 不動(dòng)：p5=(12)(37)(48)(59)(610)(1112)(1314)(1516)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90:p6=(12)(38510)(6749)(11)(12)(16151413)

順時(shí)針轉(zhuǎn)90:p7=(12)(10583)(9476)(11)(12)(13141516)

轉(zhuǎn)180:p8=(12)(39)(410)(57)(68)(1112)(13)(14)(15)(16)(16+2+2+4+0+2+2+4)/8=4(種方案) 題。。。。。。巨隧固掀誡稠踢灣卵版恤仙牟捻機(jī)字攘啄連謗倍鹽肺下約能豫吞夜雞蛀磁組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)11.解：除了繞頂點(diǎn)-對(duì)面的中心軸旋轉(zhuǎn)均不會(huì)產(chǎn)生不變的圖象外,繞其他軸的旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于正4面體的面3著色。參照講義4.6例3可得不同的方案數(shù)為 M=[3+0·8·3+3·3]/12=9 題12.解：除了繞面心—面心軸旋轉(zhuǎn)任何度數(shù)均不會(huì)產(chǎn)生不變的圖象外，繞其他軸的旋轉(zhuǎn)都相當(dāng)于正六面體的面4著色。參照講義4.6例4可得不同的方案數(shù)為 M=[4+0·6·4+0·3·4+8·4+6·4]/24=192題42263423蘋溪呂喘虜挨疽帛寨拭輯天標(biāo)頹窺泰爆吉終施慕憂羽妖律朱渴丈驅(qū)測(cè)蠕托組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)13.證：設(shè)V,S,E分別為頂點(diǎn)集，面集，邊(棱)集。由歐拉定理|V|+|S|－|E|=2. 設(shè)aij為與頂點(diǎn)vi，面Sj為相關(guān)的面角，ej為Sj的的邊數(shù)，給定Sj則∑aij=(ej－2)π

欠角和為∑(2π－∑aij)=∑2π－∑∑aij

=2|V|π－∑∑aij=2|V|π－∑(ej－2)π =2|V|π－∑ejπ+2|S|π

=2|V|π+2|S|π－2|E|π=4π

題Sj∈SSj∈SSj∈Svj∈VSj∈Svj∈VSj∈Svj∈Vvj∈Vvj∈V斜稱芽扼強(qiáng)彪且凰銻甘奪宏規(guī)裹宇穗遇躁止渝攜止凸斌榨壤汁葦躍丟膊族組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)14.解：5邊形面心與體心連一直線從另一5邊形面心穿出。該直線為對(duì)稱軸。欠角=360–(108+2·120)=12 720/12=60(個(gè)頂點(diǎn))60·3/2=90(條棱)60/5=12(個(gè)5邊形)60·2/6=20(個(gè)6邊形) 一個(gè)頂點(diǎn)通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)可與任一頂點(diǎn)重合，重合的方式只有1種，故轉(zhuǎn)動(dòng)群的階為60。因?yàn)?邊形著色均不同，所以除不變置換的任意旋轉(zhuǎn)都不會(huì)產(chǎn)生不變圖象，12個(gè)5邊形著不同顏色共12!種方案。所以共有12!/60=7983360種方案。題。。。。首濟(jì)蛀畏逼玩肥翔妥搜戰(zhàn)苫邊莎落鯨罕吐肩覓陸熱監(jiān)框鄧饅玄事眨澆節(jié)尉組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023組合數(shù)學(xué)15.解： S2: (1) 題

(1)(2)

l=[2+2]/2=12

其中包括0個(gè)輸入端的2個(gè)，1個(gè)輸入端的2個(gè)，故確實(shí)是2個(gè)輸入端的布爾電路是8個(gè)。 S3:(1)1個(gè)；(1)(3)2個(gè)；(1)(2)3個(gè) l=[2+2·2+3·2]/6=80，80－12=68， 確實(shí)是3輸入端的布爾電路本質(zhì)上有68個(gè)。846822420001101100011011000110110010011143 421鞭謾倘漫穿臂舜致鴻雹喝汗哪籃辣厚偶巨菲躲資彥芝叔顫敝晴槽藍(lán)睦安器組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題組合數(shù)學(xué)第四章Pólya定理習(xí)題11/17/2023