虛擬激勵法在汽車振動分析中的應用

虛擬激勵法在汽車振動分析中的應用

由于車輛在路面上行駛，由于路面的高度和深度是隨機的，因此車輛的行駛也是隨機的。這種隨機噪聲直接影響到車輛的行駛平整度。而汽車行駛平順性又是汽車主要使用性能之一,因此,汽車隨機振動對汽車行駛平順性的研究至關重要。以往的研究,是應用傅里葉分析方法研究汽車行駛平順性。雖然這種方法已經(jīng)發(fā)展得比較成熟,但存在著推導過于復雜的問題,既要推導汽車振動系統(tǒng)的頻率響應特性,又要推導汽車振動響應量的頻率響應特性。虛擬激勵法是由我國學者提出的用于分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機振動的新方法,是具有理論研究與工程應用前景的創(chuàng)新性成果。本文從工程應用角度出發(fā),對虛擬激勵法進行研究與論述,基于1/2汽車四自由度系統(tǒng)振動模型,應用虛擬激勵法對汽車行駛平順性進行研究。1虛擬激勵法的基本理論1.1常系數(shù)線性系統(tǒng)頻率響應特性的確定對于線性系統(tǒng),頻率響應特性是表征系統(tǒng)在頻域的動態(tài)特性的函數(shù),決定了系統(tǒng)響應(輸出)與激勵(輸入)之間的關系,是頻率的函數(shù)。在零初始條件下,對常系數(shù)線性系統(tǒng),頻率響應特性是響應和激勵的復數(shù)之比,即Η(f)=Yf(t)Xf(t)(1)H(f)=Yf(t)Xf(t)(1)式中:H(f)為頻率響應特性;f為頻率;Yf(t)為響應y(t)的復數(shù)表示或傅里葉變換;Xf(t)為激勵x(t)的復數(shù)表示或傅里葉變換。1.2虛擬激勵和虛擬響應對于受到平穩(wěn)隨機激勵的線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng),如果平穩(wěn)隨機激勵x(t)的自功率譜密度Sx(f)已知,則可以構(gòu)造如下形式的虛擬激勵?x(t)x?(t)?x(t)=√Sx(f)ej2πft(2)x?(t)=Sx(f)?????√ej2πft(2)式中:j為虛數(shù)單位。由式(1),可得與虛擬激勵對應的虛擬響應?y(t)y?(t)?y(t)=Η(f)?x(t)=Η(f)√Sx(f)ej2πft(3)y?(t)=H(f)x?(t)=H(f)Sx(f)?????√ej2πft(3)由于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到的實際激勵和響應是x(t)和y(t),因此,將式(2)和式(3)表示的激勵和響應,稱為虛擬激勵和虛擬響應。在構(gòu)造虛擬激勵和獲得虛擬響應的基礎上,由兩者求解實際響應自功率譜密度、實際激勵與實際響應互功率譜密度的基本公式是Sy(f)=?y(t)*?y(t)(4)Syx(f)=?y(t)*?x(t)(5)Sxy(f)=?x(t)*?y(t)(6)Sy(f)=y?(t)?y?(t)(4)Syx(f)=y?(t)?x?(t)(5)Sxy(f)=x?(t)?y?(t)(6)式中:Sy(f)為實際響應的自功率譜密度;Syx(f)為實際響應與實際激勵的互功率譜密度;Sxy(f)為實際激勵與實際響應的互功率譜密度;?x(t)*x?(t)?、?y(t)*y?(t)?為?x(t)x?(t)、?y(t)y?(t)的共軛函數(shù)。1.3平穩(wěn)隨機振動的虛擬激勵法將式(2)和式(3)代入式(4)~式(6),得到的最后結(jié)果就是傳統(tǒng)的單點激勵和單點響應的功率譜密度公式,說明了式(2)~式(6)的正確性。但是,式(4)~式(6)的左邊,是實際(真實)響應的自功率譜密度和實際(真實)響應與實際(真實)激勵對應的互功率譜密度;右邊卻不是系統(tǒng)實際響應和實際激勵,而是實際響應和實際激勵的虛擬表達形式,而且這種形式不受實際響應和實際激勵的真實表達式的影響與約束。因此,式(4)~式(6)最重要的意義是,只要知道實際激勵的功率譜密度,不管實際激勵和實際響應的表示形式如何以及如何復雜,都可以由虛擬激勵和虛擬響應得到與實際響應和實際激勵對應的功率譜密度。這種通過虛擬激勵獲得虛擬響應,求取實際響應的自功率譜密度、實際激勵與實際響應互功率譜密度的方法,稱為平穩(wěn)隨機振動的虛擬激勵法,簡稱為虛擬激勵法。(1)式(4)~式(6)是虛擬激勵法規(guī)定的基本公式,不是通過數(shù)學推導得到的公式。(2)可以將虛擬激勵既作為虛擬激勵也作為虛擬響應代入式(4)~式(6),得到的就是實際激勵的自功率譜密度。(3)應將式(4)~式(6)中的?y(t)y?(t)作為一個廣義的響應,獨立的響應、與激勵和響應有關的各種非獨立的響應,都可以按照式(4)~式(6)得到響應的各種功率譜關系。(4)如果激勵為多點激勵,響應為多點響應,則式(1)~式(6)是通過矩陣形式表示的,而且,激勵分量與響應分量也分別滿足式(1)~式(6)。(5)雖然虛擬激勵是通過自功率譜密度還原為時域激勵,但在求取實際響應的自功率譜密度、實際激勵與實際響應的互功率譜密度時,又再一次還原為譜密度特性,還是只保存了幅值信息,不保存相位信息。因此,激勵的自功率譜密度是與實際激勵對應的,求得的實際響應的自功率譜密度、實際激勵與實際響應的互功率譜密度也是與實際激勵的自功率譜密度對應的,不會帶來簡化的問題。2虛擬路面和虛擬路面的高度2.1路面不清晰度的計算路面激勵q(t)是路面對汽車振動系統(tǒng)的輸入,是時間的函數(shù),它既考慮了路面不平度的自然狀態(tài),也考慮了汽車的速度特性。設時間頻率f內(nèi)的路面激勵的位移譜密度為Gq(f),汽車行駛速度為u,路面不平度空間頻率譜密度為Gq(n),則有Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)-W(8)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)?W(8)式中:n為空間頻率;n0=0.1m-1為參考空間頻率;Gq(n0)為參考空間頻率n0下的路面不平度系數(shù);W為頻率指數(shù)。國際和國內(nèi)標準按路面功率譜密度把路面不平度分為8級,給出了各級路面不平度系數(shù)Gq(n0)的范圍及其幾何平均值,而且規(guī)定分級路面譜的頻率指數(shù)W=2。2.2時滯關系分析由式(2),可以構(gòu)造出與路面激勵q(t)對應的虛擬路面激勵?q(t)q?(t)?q(t)=√Gq(f)ej2πft(9)q?(t)=Gq(f)?????√ej2πft(9)在假設汽車結(jié)構(gòu)左右對稱和左右路面輪廓相同的前提下,可以將路面激勵簡化為只作用在汽車的前輪和后輪。進一步假設前輪與后輪路面激勵的統(tǒng)計特性相同,且前輪與后輪輪跡完全重合,則前輪與后輪的路面激勵q1(t)和q2(t)存在一定的時滯關系,即q2(t)=q1(t-τ),τ=l/u(10)q2(t)=q1(t?τ),τ=l/u(10)式中:u為車速,m/s;l為前輪與后輪之間的距離,m。由式(9)可知,前輪路面激勵q1(t)對應的虛擬路面激勵?q1(t)q?1(t)可以表示為?q1(t)=√Gq(f)ej2πft=?q(t)(11)q?1(t)=Gq(f)?????√ej2πft=q?(t)(11)由式(10)可知,后輪路面激勵q2(t)對應的虛擬路面激勵?q2(t)q?2(t)可以表示為?q2(t)=?q1(t-τ)=√Gq(f)ej2πf(t-τ)=e-j2πfτ?q(t)(12)q?2(t)=q?1(t?τ)=Gq(f)?????√ej2πf(t?τ)=e?j2πfτq?(t)(12)式(11)和式(12)可以表示成矩陣形式,即{?q(t)}={?q1(t)?q2(t)}={1e-j2πfτ}?q(t)={Ηq(f)}?q(t)(13){q?(t)}={q?1(t)q?2(t)}={1e?j2πfτ}q?(t)={Hq(f)}q?(t)(13)因此,當路面通過前輪和后輪對汽車產(chǎn)生激勵時,可以簡化為輸入為?q(t)q?(t),輸出為{?q(t)}{q?(t)}的線性系統(tǒng),其頻率響應特性為{Hq(f)},這樣,就將兩個激勵作用問題轉(zhuǎn)化為廣義單點激勵問題,使問題的處理得到簡化。3虛擬激勵法適用于1.2車輛四交叉系統(tǒng)的振動分析3.1求解參數(shù)2.[c],求解z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,kf,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,k1/kf1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c11/2汽車四自由度系統(tǒng),考慮了車身的俯仰和垂向運動及前后軸的垂向跳動,反映了汽車的基本行駛特性。因此,本文選取其作為研究對象,介紹虛擬激勵法在汽車振動分析中的應用。1/2汽車四自由度系統(tǒng)力學模型如圖1所示,圖中各符號的意義見表1。對圖1所示的力學模型,應用拉格朗日方程,可以得到系統(tǒng)的數(shù)學模型,即[m]{??z(t)}+[c]{˙z(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)[m]{z??(t)}+[c]{z˙(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)式中:{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}Τ{q(t)}={q1(t),q2(t)}Τ[m]=[m1m200m3m4][c]=[c1+c2-ac1+bc2-c1-c2-ac1+bc2a2c1+b2c2ac1-bc2-c1ac1c10-c2-bc20c2]{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}T{q(t)}={q1(t),q2(t)}T[m]=??????m1m200m3m4??????[c]=??????c1+c2?ac1+bc2?c1?c2?ac1+bc2a2c1+b2c2ac1?bc2?c1ac1c10?c2?bc20c2??????[k]=[k1+k2-ak1+bk2-k1-k2-ak1+bk2a2k1+b2k2ak1-bk2-k1ak1k1+ktf0-k2-bk20k2+ktr][k]=??????k1+k2?ak1+bk2?k1?k2?ak1+bk2a2k1+b2k2ak1?bk2?k1ak1k1+ktf0?k2?bk20k2+ktr??????[kf]=[00ktf0000ktr]Τ[kf]=[0000ktf00ktr]T3.2單次運行狀態(tài)對于多自由度系統(tǒng),其頻率響應特性是響應向量和激勵向量的復數(shù)之比。對于1/2汽車四自由度系統(tǒng),設其頻率響應特性為[H(f)],則虛擬響應與虛擬激勵的關系可以表示為{?z(t)}=[Η(f)]{?q(t)}(16){z?(t)}=[H(f)]{q?(t)}(16)將式(13)代入式(16)得{?z(t)}=[Η(f)]{Ηq(f)}?q(t)={hq(f)}?q(t)(17){hq(f)}=[Η(f)]{Ηq(f)}(18){z?(t)}=[H(f)]{Hq(f)}q?(t)={hq(f)}q?(t)(17){hq(f)}=[H(f)]{Hq(f)}(18)式(16)和式(17)分別說明,1/2汽車四自由度系統(tǒng),屬于兩點激勵與四點響應的振動問題,但最終可以轉(zhuǎn)化為單點激勵與四點響應振動問題,轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)頻率響應特性為{hq(f)}。對式(17)求導兩次得{˙?z(t)}={hq(f)}˙?q(t)=(j2πf){hq(f)}?q(t)(19){???z(t)}={hq(f)}???q(t)=-(2πf)2{hq(f)}?q(t)(20){z?˙(t)}={hq(f)}q?˙(t)=(j2πf){hq(f)}q?(t)(19){z???(t)}={hq(f)}q???(t)=?(2πf)2{hq(f)}q?(t)(20)將上述兩式代入式(14)和式(15)并采用虛擬形式,整理得[Η(f)]=([k]-4π2f2[m]+j2πf[c])-1{kf}(21)[H(f)]=([k]?4π2f2[m]+j2πf[c])?1{kf}(21)上式與應用傅里葉分析方法推導出的[H(f)]完全相同,但這里是完全獨立于傅里葉分析方法,應用虛擬激勵法進行推導的,只要掌握虛擬激勵法的基本理論就可以進行推導,不必了解傅里葉分析方法。3.3兩組相關系數(shù),車輪相對動載聚乙二醇ffd,增加車輪相對動載,提高車輪相對動載,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動車輪相對動載,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動撓度,既移動懸架動載,既移動懸架動撓度,既移動懸架動載提高了發(fā)展空間在對汽車行駛平順性進行分析時,一般將車身垂直加速度、懸架動撓度、車輪相對動載作為汽車行駛平順性分析的系統(tǒng)振動響應量。對于1/2汽車四自由度系統(tǒng),車身垂直加速度為??z1(t)z??1(t),前后懸架動撓度分別為ffd(t)和frd(t),而前后車輪相對動載分別為Ffd(t)/Gf和Frd(t)/Gr。ffd(t)=z1(t)-az2(t)-z3(t)(22)frd(t)=z1(t)+bz2(t)-z4(t)(23)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)-q1(t)]Gf(24)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)?q1(t)]Gf(24)Frd(t)Gr=ktr[z4(t)-q2(t)]Gr(25)Gf=(m3+m1ba+b)g(26)Gr=(m4+m1aa+b)g(27)式中:g為重力加速度。3.4求解系統(tǒng)振動響應量的虛擬量的確定汽車行駛在路面上,由于路面激勵是具有統(tǒng)計特性的隨機過程,因此,需要確定系統(tǒng)振動響應量的功率譜密度,以分析汽車受路面激勵產(chǎn)生的隨機振動。在汽車參數(shù)與路面激勵參數(shù)已知的情況下,根據(jù)式(17)和式(20)可以分別求得虛擬響應{?z(t)}和{???z(t)}。由{?z(t)}根據(jù)式(22)~式(27)可以分別求得虛擬的前后懸架動撓度?ffd(t)和?frd(t),以及虛擬的前后車輪相對動載?Ffd(t)/Gf和?Frd(t)/Gr,而由{???z(t)}可以提取出虛擬車身垂直加速度為???z1(t)。于是,描述汽車振動的系統(tǒng)振動響應量的虛擬量就可以全部確定。根據(jù)虛擬激勵法的基本理論,由式(4)可得求取系統(tǒng)振動響應量的實際功率譜密度的公式Gp(f)=?p(t)*?p(t)(28)式中:?p(t)為系統(tǒng)振動響應量p(t)對應的虛擬振