交變載荷下聚合物粘彈性的力學(xué)模型

交變載荷下聚合物粘彈性的力學(xué)模型

高聚物是一種粘性材料，其力學(xué)行為介于彈性固體和粘性液體之間。為了表現(xiàn)這種現(xiàn)象，科學(xué)家們進(jìn)行了大量工作，并提出了許多力學(xué)模型。這些力學(xué)模型只是從一定角度描述高聚物液體運(yùn)動(dòng)的性能，并有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。目前比較經(jīng)典的力學(xué)模型有:(1)Maxwell粘簧串聯(lián)模型.該模型如圖1所示.圖1所示的模型由一個(gè)粘壺和一個(gè)彈簧串聯(lián)而成,它能夠很好地解釋在大的流變速率下高分子鏈發(fā)生大的取向,以及應(yīng)力松弛的問(wèn)題,但是,該模型必須保持恒定外加應(yīng)變,當(dāng)取消外加應(yīng)變后,該模型就失效了,也就是說(shuō),它無(wú)法描述高聚物的蠕變現(xiàn)象,所以這與實(shí)際情況是不相符合的.(2)Voigt-Kelvin并聯(lián)模型.該模型如圖2所示,與Maxwell模型相反,它是由一個(gè)粘壺與一個(gè)彈簧并聯(lián)而成的,它能夠很好地解釋高彈體的蠕變行為,但是該模型必須保持外加應(yīng)力不變,當(dāng)去掉外加應(yīng)力后,形變可以慢慢完全恢復(fù),即沒(méi)有粘性形變,所以這也與實(shí)際情況不符.(3)胡宗翰模型.由于前面兩種模型只有在顯含時(shí)間變量,而且應(yīng)力與應(yīng)變總有一個(gè)恒定的情況下才能成立,所以,胡宗翰在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上,建立了一個(gè)新的力學(xué)模型,如圖3所示,該模型是一個(gè)單端口的黑箱結(jié)構(gòu),它與外部的激勵(lì)無(wú)關(guān).在該模型中,應(yīng)用了兩個(gè)彈簧,一個(gè)叫急彈簧(K1),另一個(gè)叫緩彈簧(K2),K1和K2分別表示彈簧1和彈簧2的剛度,并且令K1>>K2,在加載的時(shí)候表現(xiàn)出急彈性剛度,卸載的時(shí)候則表現(xiàn)出緩彈性剛度,所以它能比較好地表征高聚物的粘彈性,但是,當(dāng)無(wú)外力作用后,變形可慢慢全部恢復(fù),沒(méi)有剩余變形,所以也不能解釋高聚物的粘性流動(dòng).為了更好地表征高聚物的粘彈性能,本研究在總結(jié)上面各種模型的基礎(chǔ)上,對(duì)胡宗翰模型進(jìn)行必要的修改,建立了一種新型的力學(xué)模型.1彈簧剛度的測(cè)量本研究采用雙彈簧、雙活塞模型,如圖4所示.圖4中,s1,s2分別表示活塞1,2;K1,K2分別表示彈簧1,2的剛度,且K1>>K2.用η1,η2分別表示活塞1、活塞2與活塞筒內(nèi)壁之間液體的粘度.活塞與活塞筒之間的間隙b與活塞直徑相比很小,活塞兩邊的氣壓差為零.當(dāng)外加載荷為F時(shí),彈簧1、活塞1、彈簧2和活塞2在F作用下的位移分別為Δs′1,Δs1,Δs′2和Δs2.圖4所示的力學(xué)模型并不是兩個(gè)Maxwell模型的簡(jiǎn)單串聯(lián),因?yàn)閺椈?所受的力只是系統(tǒng)的內(nèi)力,同時(shí),彈簧2和活塞2的位移也不增加系統(tǒng)的總位移,他們的位移矢量和等于活塞1的位移.當(dāng)加載的時(shí)候,由于K1>>K2,η1>>η2,所以高聚物的彈性主要由彈簧1來(lái)表征,而粘性主要由活塞1來(lái)表征.當(dāng)卸載后,彈簧2變成了激勵(lì)源,則應(yīng)力松弛由K2來(lái)表征,蠕變由活塞2來(lái)表征.2公式導(dǎo)出2.1材料的粘度系數(shù)表1先以活塞1來(lái)分析,由前面的假設(shè),我們可以做出活塞與活塞筒之間的速度分布圖如圖5所示,由于活塞與活塞筒之間的間隙b很小,所以,我們假設(shè)間隙b處的速度分布為直線分布,則由牛頓內(nèi)摩擦定律可得:τ1=η1dvdx=η1v1b(1)τ1=η1dvdx=η1v1b(1)式中:τ1為活塞1受到的剪切力;v1為活塞1的運(yùn)動(dòng)速度.同理考慮活塞2可得:τ2=η2dvdx=η2v2b(2)τ2=η2dvdx=η2v2b(2)式中:τ2為活塞2受到的剪切力;v2為活塞2的運(yùn)動(dòng)速度.當(dāng)外載荷為F時(shí),忽略慣性力的影響,則有:FA=τ1+τ2=η1v1b+η2v2b(3)FA=τ1+τ2=η1v1b+η2v2b(3)其中:A為活塞的面積.即F=Aη1v1b+Aη2v2b(4)F=Aη1v1b+Aη2v2b(4)令f1=Aη1bf1=Aη1b表示活塞1的粘性系數(shù);f2=Aη2bf2=Aη2b表示活塞2的粘性系數(shù).所以式(4)可化為:F=f1v1+f2v2(5)2.2將系統(tǒng)的t14dvdt2、tfd32由圖4及前面假設(shè)條件可得:Δs=Δs′1+Δs1(6)式中:Δs為系統(tǒng)總位移.Δs1=Δs′2+Δs2(7)將式(6)、(7)兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)可得:dΔsdt=dΔs′1dt+dΔs1dt(8)dΔs1dt=dΔs′2dt+dΔs2dt(9)令v0=dΔsdt?v′1=dΔs′1dt?v1=dΔs1dt?v′2=dΔs′2dt,v2=dΔs2dt.則有:v0=v′1+v1=v′1+v′2+v2(10)v1=v′2+v2(11)將圖4中的活塞1、活塞2和彈簧2作為一個(gè)系統(tǒng),則彈簧2的力為系統(tǒng)內(nèi)力,所以由力的平衡原理可得:F=K1Δs′1=f1v1+f2v2(12)f2v2=K2Δs′2(13)將式(12)、(13)兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)可得:Κ1v′1=f1dv1dt+f2dv2dt(14)f2dv2dt=Κ2v′2(15)將式(11)代入式(14)可得:Κ1(v0-v1)=f1dv1dt+f2dv2dt(16)當(dāng)f2?f1時(shí),我們可以忽略f2項(xiàng),式(16)可化為:f1dv1dt+Κ1v1=Κ1v0(17)從式(17)可以看出,它與胡宗翰模型推出的公式一模一樣,式中的v0為外加激勵(lì),v1表示流動(dòng)變形速度.但是,因?yàn)閒2項(xiàng)是表征高聚物最終發(fā)生粘性流動(dòng)的能力,所以在一般情況下f2項(xiàng)是不能忽略的.當(dāng)f2項(xiàng)不能忽略時(shí),我們?cè)賹⑹?10)代入式(16)可得:Κ1(v0-v′2-v2)=f1d(v′2+v2)dt+f2dv2dt(18)經(jīng)化簡(jiǎn)可得:Κ1v0=Κ1v′2+Κ1v2+f1dv′2dt+(f1+f2)dv2dt(19)再將式(15)代入式(18)可得:Κ1v0=(Κ1f2Κ2+f1+f2)dv2dt+Κ1v2+f1f2Κ2d2v2dt2(20)在t=0時(shí),系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),即無(wú)任何外加載荷,所以有初始條件:t=0,v2=0,dv2dt=0,因此可將式(20)化為:Δs=Δs2+(f2Κ2+f2Κ1+f1Κ1)dΔs2dt+f1f2Κ1Κ2d2Δs2dt2(21)式(21)中Δs是外加位移激勵(lì),Δs2是活塞2的位移,即高聚物最終產(chǎn)生的粘性流動(dòng).當(dāng)卸載之后,即外加激勵(lì)Δs為零,彈簧2就變成了激勵(lì)源,式(21)中的粘性位移Δs2在彈簧2作用下慢慢趨于穩(wěn)定.這也就是高聚物的蠕變過(guò)程,所以,我們可以把式(21)叫做蠕變公式.其實(shí)式(21)可以換為另一種表達(dá)方式,結(jié)合式(15)、(20)、(21)可得:Κ1dvdt=(Κ1f2Κ2+f1+f2)Κ2f2d2Δs′2dt2+Κ1Κ2f2dΔs′2dt+f1f2Κ2Κ2f2d3Δs′2dt3(22)如果設(shè)F2為彈簧2所受的力,則有F2=K2Δs′2,假設(shè)K2保持不變,同時(shí)考慮初始條件:t=0;Δs′2=0;dΔs′2dt=0;則式(22)可以化為v0=(1Κ2+f1Κ1f2+1Κ1)dF2dt+F2f2+f1Κ2Κ1d2F2dt2(23)同理,式(23)中,v0為外加激勵(lì),F2為彈簧2所受的力,當(dāng)外加激勵(lì)消除后,即v0=0,F2就會(huì)在f1和f2作用下,隨時(shí)間慢慢趨向于零,這就是高聚物的應(yīng)力松弛過(guò)程.同理,可以把式(23)叫做應(yīng)力松弛公式.松弛時(shí)間可通過(guò)調(diào)節(jié)f1,f2,K2以及K1來(lái)表征.3高聚物溶液壓力隨變載荷的變化當(dāng)外加載荷為正弦脈沖載荷時(shí),相應(yīng)各元件的形變和應(yīng)力都會(huì)發(fā)生周期性變化,假設(shè)外加載荷為Δssinωt,Δs為振幅,ω為角頻率,因此,各對(duì)應(yīng)元件的位移分別為:Δs1sinωt,為活塞1的位移;Δs2sinωt,為活塞2的位移;Δs′1sinωt為,彈簧1的位移;Δs′2·sinωt為彈簧2的位移.我們首先來(lái)討論交變載荷對(duì)高聚物粘性流動(dòng)的影響,所以將上面各參數(shù)代入式(21)可得:Δssinωt=Δs2sinωt+(f2Κ2+f2Κ1+f1Κ1)ωΔs2cosωt-f1f2Κ1Κ2ω2Δs2sinωt(24)當(dāng)只考慮一個(gè)周期時(shí),求解式(24)可得:Δs2=Δs|1-f1f2Κ1Κ2ω2|(25)式(25)中的絕對(duì)值是因?yàn)橥饧虞d荷是交變的,既有拉升也有壓縮,所以高聚物的粘性流動(dòng)也存在兩個(gè)可能的流動(dòng)方向.由式(25)可看出,當(dāng)ω2＜Κ1Κ2f1f2時(shí),高聚物的粘性流動(dòng)隨頻率的增加而增加;當(dāng)ω2＞Κ1Κ2f1f2時(shí),高聚物的粘性流動(dòng)隨頻率的增加而減少;當(dāng)ω2=Κ1Κ2f1f2時(shí),高聚物的粘性流動(dòng)達(dá)到最大值.所以,我們?cè)谶x擇聚合物加工工藝時(shí)(振動(dòng)擠出機(jī)和振動(dòng)注塑機(jī)),應(yīng)選擇一個(gè)最合適的加工頻率,而并非頻率越高越好,這個(gè)最合適的頻率是與所使用的高聚物的材料有關(guān)的.實(shí)驗(yàn)證明,高聚物加工的最佳頻率在1～40Hz.另外,從式(25)還可看出,高聚物的粘性流動(dòng)與振幅呈線性關(guān)系,振幅越大,粘性流動(dòng)越大,