高二數(shù)學之人教版高中數(shù)學選修4-5課件：2.3反證法與放縮法

反證法與放縮法高二數(shù)學PPT之人教版數(shù)學選修4-5課件：2.3反證法與放縮法2021/5/91【自主預習】1.反證法(1)方法:先假設_________________,以此為出發(fā)點,結合已知條件,應用_______________________等,進行正確的推理,得到和___________(或已證明的定理、性要證的命題不成立公理、定義、定理、性質(zhì)命題的條件2021/5/92質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結論,以說明假設不正確,從而證明___________,我們把它稱為反證法.(2)適用范圍:對于那些直接證明比較困難的否定性命題,唯一性命題或含有“至多”“至少”等字句的問題,常常用反證法證明.原命題成立2021/5/932.放縮法(1)方法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值_____或_____,簡化不等式,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.(2)關鍵:放大(縮小)要適當.放大縮小2021/5/94【即時小測】1.應用反證法推出矛盾的推導過程中,可把下列哪些作為條件使用(

)(1)結論的反設.(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等.(4)原結論.A.(1)(2)

B.(2)(3)C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)2021/5/95【解析】選C.根據(jù)反證法的定義可知,用反證法證明過程中,可應用(1)結論的反設.(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等推出矛盾.2021/5/962.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)的一點,∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP用反證法證明時的假設為__________________.2021/5/97【解析】反證法對結論的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的對立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.2021/5/98【知識探究】

探究點反證法與放縮法1.用反證法證明時,導出矛盾有哪幾種可能?提示:①與原命題的條件矛盾;②與假設矛盾;③與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾;④與客觀事實矛盾.2021/5/992.用反證法證明命題“若p則q”時,?q假,q即為真嗎?提示:是的.在證明數(shù)學問題時,要證明的結論要么正確,要么錯誤,二者中居其一,?q是q的反面,若?q為假,則q必為真.2021/5/910【歸納總結】1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設常見詞語至少有一個至多有一個唯一一個不是不可能全都是否定假設一個也沒有有兩個或兩個以上沒有或有兩個或兩個以上是有或存在不全不都是2021/5/9112.放縮法證明不等式的理論依據(jù)(1)不等式的傳遞性.(2)等量加不等量為不等量.(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較.2021/5/9123.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項或減項.(2)在分式中增大或減小分子或分母.(3)應用重要不等式放縮,如a2+b2≥2ab,(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等.2021/5/913類型一利用反證法證明否定性命題【典例】設0<a<2,0<b<2,0<c<2,求證:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同時大于1.【解題探究】典例中待證結論的反面是什么?提示:待證結論的反面為

2021/5/914【證明】假設(2-a)·c>1,(2-b)·a>1,(2-c)·b>1,則(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b>1①,因為0<a<2,0<b<2,0<c<2,所以(2-a)·a≤=1.同理:(2-b)·b≤1,(2-c)·c≤1.2021/5/915所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1,這與①式矛盾.所以假設不成立.即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同時大于1.2021/5/916【方法技巧】1.用反證法證明的一般步驟(1)假設命題的結論不成立,即假設結論的反面成立.(2)從這個假設出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾.(3)由矛盾判定假設不正確,從而肯定命題的結論正確.2021/5/9172.否定性不等式的證法及關注點當待證不等式的結論為否定性命題時,常采用反證法來證明,對結論的否定要全面不能遺漏,最后的結論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設矛盾.2021/5/918【變式訓練】1.(2016·泰安高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b,那么”時,假設的內(nèi)容是(

)2021/5/919【解析】選C.結論的否定是或成立.2021/5/9202.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列.求證:不成等差數(shù)列.【證明】假設成等差數(shù)列,則即a+c+=4b,又三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b=.2021/5/921所以a+c+2=4,即a+c-2=0,所以()2=0,所以,即a=c.從而a=b=c,這與已知中a,b,c不成等差數(shù)列矛盾,所以原假設錯誤,故不成等差數(shù)列.2021/5/922類型二利用反證法證明“至少”“至多”型問題【典例】已知f(x)=x2+px+q,求證:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.2021/5/923【解題探究】典例(2)中待證結論的反設是什么?提示:反設是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于

.2021/5/924【證明】(1)由于f(x)=x2+px+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)2021/5/925又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2與(*)矛盾,假設不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.2021/5/926【延伸探究】1.若本例條件變?yōu)椤癮3+b3=2”,求證:a+b≤2.【證明】假設a+b>2,而a2-ab+b2=但取等號的條件為a=b=0,顯然不可能,所以a2-ab+b2>0.則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),2021/5/927而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.所以1+ab>a2+b2≥2ab.從而ab<1.所以a2+b2<1+ab<2.所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.而由假設a+b>2,得(a+b)2>4,出現(xiàn)矛盾,故假設不成立,原結論成立,即a+b≤2.2021/5/9282.將典例中的條件改為“設二次函數(shù)f(x)=x2+px+1”,求證:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個不小于2.【證明】假設|f(1)|,|f(-1)|都小于2,則有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.2021/5/929所以|f(1)|+|f(-1)|≥4與(*)矛盾,假設不成立.故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個不小于2.2021/5/930【方法技巧】“至多”“至少”型問題的證明方法(1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時,若正面難以找到解題的突破口,可轉換視角,用反證法證明.2021/5/931(2)在用反證法證明的過程中,由于作出了與結論相反的假設,相當于增加了題設條件,因此在證明過程中必須使用這個增加的條件,否則將無法推出矛盾.2021/5/932【變式訓練】若a,b,c均為實數(shù),且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求證:a,b,c中至少有一個大于零.2021/5/933【證明】假設a,b,c都不大于零,則a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c==(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,這與a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一個大于零.2021/5/934類型三利用放縮法證明不等式【典例】求證:(n∈N+且n≥2).【解題探究】典例中如何將中的分母適當放大或縮小轉化為求和的形式?提示:(n∈N+且n≥2).2021/5/935【證明】因為k(k+1)>k2>k(k-1),所以即(k∈N+且k≥2).分別令k=2,3,…,n得2021/5/936

將這些不等式相加得2021/5/937所以即(n∈N+且n≥2)成立.2021/5/938【方法技巧】放縮法證明不等式的技巧放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A<C,后證C<B.常用的放縮技巧有:2021/5/939(1)舍掉(加進)一些項.(2)在分式中放大(縮小)分子(分母).(3)應用基本不等式進行放縮.2021/5/940【變式訓練】已知S=(n是大于2的自然數(shù)),則有(

)A.S<1

B.2<S<3C.1<S<2 D.3<S<42021/5/941【解析】選C.由又因為S=>1.2021/5/942【補償訓練】已知an=4n-2n,Tn=求證:T1+T2+T3+…+Tn<2021/5/943【證明】因為a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-(21+22+…+2n)=