高中數(shù)學(xué)選修-合情推理

2.1.1合情推理---歸納推理、類比推理2.1合情推理與演繹推理推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。2021/5/91史話：歌德巴赫猜想的提出過程：（1)他先無意中發(fā)現(xiàn)：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

歌德巴赫猜想:“任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和”綜上述他得出一個規(guī)律：偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)（2)他后來又把上面的式子改寫為:

10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，觀察下面一個推理問題，你有什么想法？2021/5/92

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納)說明：歸納推理的幾個特點;1.歸納是由特殊到一般、由部分到整體的推理,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上,提出帶有規(guī)律性的結(jié)論。需證明歸納推理定義：2021/5/931，3，5，7，…，由此你猜想出第個數(shù)是_______.這就是從部分到整體,從特殊到一般的歸納推理.我們見過的歸納推理，你想起來了嗎？2021/5/94統(tǒng)計初步中的用樣本估計總體

通過從總體中抽取部分對象進行觀測或試驗，進而對整體做出推斷.我們見過的歸納推理，你想起來了嗎？這也是從部分到整體,從特殊到一般的歸納推理.2021/5/95

意思是從一片樹葉的凋落，知道秋天將要來到.比喻由細微的跡象看出整體形勢的變化，由部分推知全體.成語”一葉知秋”我們見過的歸納推理，你想起來了嗎？這還是從部分到整體,從特殊到一般的歸納推理.2021/5/96

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納)歸納推理定義：⑴對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑶檢驗猜想。歸納推理的一般步驟：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論2021/5/97例1已知數(shù)列{an}的第1項a1=1且(n=1,2,3…),試歸納出這個數(shù)列的通項公式.解：猜想：點評：雖然這個猜想是否正確還需要嚴格的邏輯證明，但這個猜想可以為我們研究問題提供一個方向。2021/5/98

傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則,把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.

1.每次只能移動1個圓環(huán)；

2.較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.

如果有一天，僧侶們將這64個圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.

請你試著推測：把個圓環(huán)從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?123游戲：河內(nèi)塔（TowerofHanoi）2021/5/99123第1個圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則

＝1時，

＝12021/5/910

＝2時，123第1個圓環(huán)從1到3.前1個圓環(huán)從1到2;第2個圓環(huán)從1到3;第1個圓環(huán)從2到3.設(shè)為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則

＝1

＝1時，

＝32021/5/911

＝2時，＝3

＝1時，＝1

＝3時，123第1個圓環(huán)從1到3.前1個圓環(huán)從1到2;第2個圓環(huán)從1到3;前1個圓環(huán)從2到3.前2個圓環(huán)從1到2;第3個圓環(huán)從1到3;前2個圓環(huán)從2到3.設(shè)為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則

＝7猜想an=2n-12021/5/912歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論由部分到整體、個別到一般的推理注意歸納推理的結(jié)論不一定成立小結(jié)：2021/5/913類比推理2021/5/914關(guān)于鋸子的一個傳說：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？觀察下面推理問題不是歸納推理，是一種類比。2021/5/915根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？觀察下面推理問題不一定正確，需要證明。2021/5/916火星地球相似點:繞太陽運轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命猜想火星上是否有生命？觀察下面推理問題這個推理過程是歸納推理么？這里的猜想一定正確么？不是歸納推理，是一種類比；猜想結(jié)論不一定正確，需要證明。2021/5/917

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.(簡稱：類比)類比推理的定義:

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的特點;1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理的一般步驟:觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論2021/5/918例1、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積2021/5/919圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積2021/5/920例2類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運算性質(zhì).類比角度

實數(shù)的加法

實數(shù)的乘法運算結(jié)果若a,b∈R,則a+b∈R運算律(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運算加法的逆運算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a不變性a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a2021/5/921通過例1，例2你能得到類比推理的一般模式嗎？

類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質(zhì)d’.A類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）2021/5/922例3：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:2021/5/923歸納推理和類比推理的共同點:

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想2021/5/924練.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.

平面上

空間中圖形結(jié)論ABCPpapbpcABCDP2021/5/9252.歸納推理和類比推