專題19導(dǎo)數(shù)的基本問(wèn)題切線單調(diào)極值與最值（知識(shí)梳理專題過(guò)關(guān)）（解析版）

專題19導(dǎo)數(shù)的基本問(wèn)題：切線、單調(diào)、極值與最值【知識(shí)梳理】1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．3、單調(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題（1）函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．（2）已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題=1\*GB3①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．4、討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；5、含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；6、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．7、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【專題過(guò)關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：切線的綜合問(wèn)題考點(diǎn)2：含參數(shù)單調(diào)區(qū)間與不含參數(shù)單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)3：已知單調(diào)性求參數(shù)考點(diǎn)4：極值問(wèn)題考點(diǎn)5：最值問(wèn)題【典型例題】考點(diǎn)1：切線的綜合問(wèn)題例1．（2022·貴州六盤水·高二期末（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，故曲線在處的切線方程為，整理得，故選：B例2．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新高二期中（理））曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，即切線斜率為，又∵曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，即．故選：A．例3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則它在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴，且，又，∴，且，∴點(diǎn)為，在處切線斜率為，∴所求切線方程為，即．故選：A．例4．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新高二階段練習(xí)（文））直線是曲線y＝lnx（x>0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b等于（

）A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2【答案】A【解析】設(shè)直線與曲線y＝lnx相切于點(diǎn)，由y＝lnx可得，于是有：，故選：A例5．（2022·安徽省宿州市苐三高二期末）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線的斜率為3，即有，解得，所以，即，所以，故選：D．例6．（2022·上海市楊浦高級(jí)高二期末）函數(shù)特性：“函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直”，則下列函數(shù)中滿足特性的函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，，若，則圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，對(duì)A，，則，故A不正確；對(duì)B，，則，因?yàn)椋源嬖?，滿足，故B正確；對(duì)C，，則，故C不正確；對(duì)D，，則，故D不正確，故選：B例7．（2022·陜西·西安高二階段練習(xí)）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的導(dǎo)數(shù)為，由于存在垂直于軸的切線，可得有實(shí)數(shù)解，即有，即有，解得或．故選：B例8．（2022·重慶市璧山來(lái)鳳中高二階段練習(xí)）若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公切線，則實(shí)數(shù)a等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，得，，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有公切線，所以且，即且，解得.故選：B.例9．（2022·貴州·貴陽(yáng)市白云區(qū)第二高級(jí)高二期末（理））若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)得，，所以，直線的斜率，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，所以.故選：A.例10．（2022·廣東廣州·高二期末）設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，那么（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以.故選：A.例11．（2022·安徽·安慶市第二高二期末）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，設(shè)切點(diǎn)，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，設(shè)，，由，得或，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，且，，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因?yàn)榈膱D像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即.故選：D.例12．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在處的切線的斜率為8，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．e D．3【答案】B【解析】，，解得．故選:B．例13．（2022·黑龍江·哈爾濱市第高二期末）已知函數(shù)在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，則，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在處的切線為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谔幍那芯€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，可得，解得或，又因?yàn)?，所?故選：C.例14．（2022·四川·綿陽(yáng)市開(kāi)元高二期中（文））設(shè)函數(shù).(1)求過(guò)點(diǎn)的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題知，，設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線斜率，切線方程為：.切線過(guò)，.所以切線斜率為.所以切線方程為.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，即，解得，或，，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)，有極大值；當(dāng)，有極小值，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)2：含參數(shù)單調(diào)區(qū)間與不含參數(shù)單調(diào)區(qū)間例15．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________．【答案】【解析】∵，則令，則∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為故答案為：.例16．（2022·四川·閬中高二階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即，所以，所以，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.例17．（2022·上海崇明·高二期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；(2)根據(jù)的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即，解得；（2）恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（2）知在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由（2）知在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，由（2）知在單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)．例18．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在處取極大值2．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故對(duì)任意的恒成立，即，恒成立，故；則，；當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得顯然在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，根據(jù)題意無(wú)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得顯然在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)題意，即，又，解得，故.（2）根據(jù)（1）可得：，，當(dāng)時(shí)，則，在恒成立，此時(shí)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）或，故此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.例19．（2022·河南·睢縣高級(jí)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）由，則，，，，切線方程：，則.（2）由，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，，解得，，解得，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：，單增區(qū)間：；②當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：，單增區(qū)間：；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：和，單增區(qū)間：；④當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：；⑤當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則：?jiǎn)螠p區(qū)間：和，單增區(qū)間：；綜上，當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：，單增區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：和，單增區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間：和，單增區(qū)間：.例20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】因?yàn)?，所?由，解得x＝0或x＝2a.當(dāng)a＝0時(shí)，，所以f（x）在R上嚴(yán)格增，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（0，2a）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（2a，0）.例21．（2022·四川瀘州·高二期末（理））已知函數(shù)（）．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求在區(qū)間上的最值；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)橐阎呛瘮?shù)的極值點(diǎn)．所以是方程的根，所以，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

所以，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

又，，，

且，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為；（2），所以，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，綜上可得，當(dāng)時(shí)單調(diào)增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)單調(diào)增區(qū)間為，.例22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________．【答案】，【解析】，定義域，，當(dāng)和時(shí)，，為減函數(shù).故答案為：，例23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.【答案】【解析】函數(shù)，則，令解得，當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減，故答案為：.考點(diǎn)3：已知單調(diào)性求參數(shù)例24．（2022·江西·上高高二階段練習(xí)（文））若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且其?dǎo)數(shù)為．由存在單調(diào)遞減區(qū)間知在上有解，即有解．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故選:B．例25．（2022·浙江·高二開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在時(shí)，，所以.故選：B例26．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.例27．（2022·北京·高二期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，而時(shí)，易見(jiàn)，只需要即可，故.故選：B.例28．（2022·四川·成都市溫江區(qū)新世紀(jì)光華高二期中（文））已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.例29．（2022·浙江寧波·高二期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在區(qū)間上是增函數(shù)，在上恒成立，，因?yàn)椋粤?，則，即，，，令，，則，在上單調(diào)遞減，，即，故選：A．例30．（2022·廣東東莞·高二期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）【答案】B【解析】，由題意得：，即在上恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B例31．（2022·天津高二期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)令，即，∵，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴0，4是方程的兩根，∴，，∴故選：B.例32．（2022·河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高二階段練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以有在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所以由，因?yàn)?，所以，于是有，故選：D例33．（2022·山東聊城·高二期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則在上恒成立，即恒成立，又在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不恒為0，故選：D.例34．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第高二期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，即在上有解.設(shè)，由在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以.所以.故選：D考點(diǎn)4：極值問(wèn)題例35．（2022·上海市金山高二期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象：①函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞減；

②；③函數(shù)在處取極大值；

④函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極小值點(diǎn)．則上述說(shuō)法正確的是______．【答案】②④【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故①錯(cuò)誤，②正確；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：在上均單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，③錯(cuò)誤；由導(dǎo)函數(shù)圖象可得：在區(qū)間內(nèi)有，且在與上導(dǎo)函數(shù)小于0，在和上導(dǎo)函數(shù)大于0，故和為函數(shù)的兩個(gè)極小值點(diǎn)，故在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，④正確.故答案為：②④例36．（2022·上海市金山高二期末）已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則_____．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意；所以，故答案為：例37．（2022·上海市大同高二期末）函數(shù)的極大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】的定義域是，，令解得，所以，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減；所以的極大值為.故答案為：例38．（2022·廣東·饒平縣第二高二開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的極大值與極小值分別為和，則____．【答案】【解析】，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以是的極大值，即，是的極小值，即，所以.故答案為：例39．（2022·浙江·杭州高二期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極值點(diǎn)有________個(gè).【答案】2【解析】由題意可知，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增；故為函數(shù)的極值點(diǎn)，故答案為：2例40．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值0，則______．【答案】11【解析】，則，即，解得或當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或；令，得．所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，則．故答案為：11．例41．（2022·四川·閬中高二階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有2023個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，令，則，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由于函數(shù)在上有且僅有2023個(gè)極值點(diǎn)，則，解得.故答案為：.例42．（2022·四川瀘州·高二期末（理））關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①若是的極大值點(diǎn)，則在上單調(diào)遞增；②，；③若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則；④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．其中所有真命題的序號(hào)是__________（填上所有正確命題序號(hào)）．【答案】②③④【解析】對(duì)于①，若是的極大值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于的函數(shù)值的變化幅度遠(yuǎn)大于的變化幅度，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，，正確；對(duì)于③，若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則有兩不相等實(shí)數(shù)根，故，正確；對(duì)于④，，而，故，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，正確，故答案為：②③④例43．（2022·遼寧·阜新市第二高級(jí)高二期末）已知函數(shù)，求函數(shù)的極值.【解析】，定義域?yàn)镽，.①當(dāng)時(shí)，，在R上為增函數(shù)，無(wú)極值.②當(dāng)時(shí)，令，得，.當(dāng)，；當(dāng)，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.例44．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)(1)求在處的切線的方程.(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【解析】（1）因?yàn)?，故可得，，，故在處的切線的方程為：，即.（2）因?yàn)椋睿獾?；令，解得；則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間，且的極大值為的極小值為.例45．（2022·浙江·杭州高二期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍.【解析】（1）由可得，所以，，故曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以此時(shí)在處取得極大值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，解得下面對(duì)進(jìn)行分類討論①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)在處取得極小值，故舍去；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取得極大值，滿足題意；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)在處取得極大值，滿足題意；綜上：的取值范圍為考點(diǎn)5：最值問(wèn)題例46．（2022·上?！?fù)旦附中高二階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x＞0，y＞0且x+y＝1，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)x＞0，y＞0且x+y＝1，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)，，則，在時(shí)，，為減函數(shù)，則，即的最小值為；故答案為：.例47．（2022·浙江省常山縣第一高二期中）已知x，且滿足，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，故，令，故令，即，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，同時(shí)，.故答案為：.例48．（2022·陜西·西安高二期中）已知，，若，，都有，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；在恒成立，即在恒成立，令，則，令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，，，故存