2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計《配方法》

2022-2023學(xué)年

§2.2配方法

課時安排

3課時

從容說課

配方法是繼探索一元二次方程近似解的基礎(chǔ)上研究的一種求精確解的方法.它是一

元二次方程的解法的通法.因為用配方法解一元二次方程比較麻煩，一個一元二次方程

需配一次方，所以在實際解一元二次方程時，一般不用配方法.但是，配方法是導(dǎo)出求

根公式的關(guān)鍵，且在以后的學(xué)習(xí)中，會常常用到配方法.因此，要理解配方法，并會用

配方法解一元二次方程.

本節(jié)的重點、難點是配方法.根據(jù)課程的特點，以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點，本節(jié)內(nèi)

容分三課時.

在教學(xué)時，首先從前面兩節(jié)課的實例引入求精確解.因為我們已經(jīng)能解形如

(x+a)2=b(b?0)的方程，所以想到要求一個一元二次方程的精確解時，是否可把方程轉(zhuǎn)

化為已經(jīng)能解的方程，這時引入了一元二次方程的解法一一配方法.

配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征.

教學(xué)方法主要是學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)的方法.

課題

§2.2.2配方法

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點

L會用開平方法解形如(x+m)Jn(n20)的方程.

2.理解一元二次方程的解法一一配方法.

(二)能力訓(xùn)練要求

1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程；理解配方法.

2.體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

3.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.

(三)情感與價值觀要求

通過師生的共同活動，學(xué)生的進一步操作來增強其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.

教學(xué)重點

利用配方法解一元二次方程

教學(xué)難點

把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n(n20)的形式.

教學(xué)方法

講練結(jié)合法

教具準(zhǔn)備

投影片六張：

第一張：問題（記作投影片§2.2.1A）

第二張：議一議（記作投影片§2.2.1B）

—第三張：議一議（記作投影片§2.2.1C）

第四張：想一想（記作投影片§2.2.1D）

第五張：做一做（記作投影片§2.2.1E）

第六張：例題（記作投影片§2.2.1F）

教學(xué)過程

I,創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情景，引入新課

［師］前面我們曾學(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?

平方根有哪些性質(zhì)？

［生甲］如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根。

用式子表示：若x?=a,則x叫做a的平方根.

［生乙］平方根有下列性質(zhì)：

（1）一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的.

（2）零的平方根是零.

（3）負(fù)數(shù)沒有平方根.

［師］很好，那你能求出適合等式X2=4的x的值嗎？

［生］由（=4可知，x就是4的平方根.因此x的值為2和-2.

［師］很好；下面我們來看上兩節(jié)課研究過的問題.（出示投影片§2.2.1A）

如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,如果梯

子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？

A

8Em

⑵

［師］由前節(jié)課的分析可知：梯子底端滑動的距離x（m）滿足x2+12xT5=0.上節(jié)課我

們已求出了x的近似值，那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎？

這節(jié)課我們就來研究一元二次方程的解法.

II.講授新課

［師］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來討論一下：你

能解哪些一元二次方程？

［生甲］等式X2=4就是一元二次方程，

像這樣類型的方程我們就能解.

［生乙］方程(x+3)z=9,我們也可以解，即是要求(x+3),使它的平方等于9,而9

的平方根是3和-3,所以(x+3)就等于3或-3,因此x=0或x=-6.

［師］乙同學(xué)分析得很好，大家聽清楚了沒有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影

片§2.2.1B)

你會解下列一元二次方程嗎?你是怎么做的？

(1)X2=5；(2)3X2=0；

(3)X2-4=0；(4)2X2-50=0；

(5)(X+2)2=5；(6)(X-3)2=6；

(7)2X2+50=0.

［生甲］方程(1)的解為石，-V5,因為x是5的平方根.

方程⑵的解為0,因為方程3x2=0可以化為x2=0,即x是0的平方根.

［生乙］方程(3)可以通過移項化為方程

(1)的形式，即(=4,所以方程⑶的根為2,-2.

方程(4)也可以通過移項化為方程(2)的形式，即2x2=50,然后再化為x?=25,因

此

方程⑷的根為5,-5.

［生丙］解方程(5)和(6)時，只要把(x+2)和(x-3)當(dāng)作整體看待，其形式就如方程

(1),這樣方程⑸和(6)即可求解.

方程⑸就是求(x+2),使它的平方為5,則x+2就等于有或-石,因此，x就等

于-2+V5或-2-V5.

方程(6)就是求(x-3),使它的平方為6,則(x-3)就等于癡或-布，因此，x等

于

3+V6或3-幾.

［生?。莘匠挞送ㄟ^移項得2x?=-50.

而由平方根的性質(zhì)可知：負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有一個實數(shù)適合這個方程.

［師］同學(xué)們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解

一元二次方程的方法叫做直接開平方法.其中適合方程(7)的實數(shù)x不存在，所以原方

程無實數(shù)解.

從剛才的解題過程中，我們知道了一元二次方程如果有解，則它有兩個根，這兩個

根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6),

所以我們在書寫時，通常用小、X2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個根.

注意：

(1)方程3x2=0有兩個相等的實數(shù)根，即小=0,x2=0.這與一元一次方程3x=0有一

個根x=0是有區(qū)別的.

(2)剛才我們解的一元二次方程，可用形式ax，c=0來表示.當(dāng)a、c異號時，方程

ax2+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)a、c同號時，ax?+c=0沒有實數(shù)根.

好，接下來同學(xué)們來看大屏幕(出示投影片§2.2.1C)。分組討論討論.

判斷下列方程能否用開平方法來求解?如何解？

(l)x~-4x+4=2；

(2)X2+12X+36=5.

［生甲］方程(1)能用開平方法求解.因為方程(1)的左邊正好是一個完全平方式，右

邊是一個正數(shù)，所以它可以化為(X-2)2=2.這樣利用直接開平方法可得x-2=±也，即

Xi=2+V2,X2=2-V2.

［生乙］方程(2)也能用平方法來解，方法同解方程(1),即原方程化為(x+6)J5.兩

邊分別開平方，得X+6=±6,

即*|=-6+君，x2=-6-V5

［師］很好，同學(xué)們基本了解了解一元二次方程的基本思路，誰來給大家敘述一下呢?

［生］解一元二次方程的基本思路是:把原方程變?yōu)?x+m)2=n，然后兩邊同時開平方,

這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

［師］真棒，實際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將

原方程“降次”，“降次”也是一種數(shù)學(xué)方法.

下面我們來看能否求出方程(+12*-15=0的精確值，同學(xué)們先來想一想：(出示投影

片§2.2.1D)

解方程X2+12XT5=0的困難在哪里?你能將方程X2+12XT5=0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎?

［生］解方程X2+12X-15=0的困難就是：怎么樣能把X2+12X-15=0的左邊變成一個完

全平方形式，右邊變成一個非負(fù)數(shù).

［師］噢，那想一想完全平方式的特征是什么？

［生］完全平方公式是:￡±2ab+b2=(a土b)?

［師］好，下面大家來做一做.(出示投影片§2.2.1E)

填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立.

(l)x2+12x+=(x+6)2；

⑵x?-4x+=(x-尸；

⑶x'+8x+=(x+)2.

［生甲］(1)的左邊應(yīng)填上：36.

(2)的左邊應(yīng)填上4,右邊填；2.

(3)的左邊應(yīng)填上16,右邊填：4.

［生乙］老師，我看出來了，這三個等式的左邊填的常數(shù)是：一次項系數(shù)一半的平方;

而右邊填的是：一次項系數(shù)的一半.是嗎？

［師］大家說呢？

［生齊聲］是.

［師］好，我們理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15=0轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n

的形式.

［師生共析］x2+12x-15=0,

可以先把常數(shù)項移到方程的右邊，得

X2+12X=15.

兩邊都加上6“一次項系數(shù)12的一半的平方)，得

X2+12X+62=15+62,

即(x+6)z=51.

［師］接下來能否求出方程X2+12X-15=0的精確值，即梯子底端滑動的距離呢？

［生齊聲］能，給方程兩邊開平方，得

x+6=±VsT，

即x+6=VsT或x+6=-VsT

所以Xi=-6+病，2=-6一回.

［師］噢，所以梯子底端滑動了(-6+V5I)m或(-6-兩')m.

［生］老師，梯子底端滑動的距離是正數(shù)，不能是負(fù)數(shù)，所以Xi是原問題的解，而

X2不是.

［師］大家說，對嗎？

［生齊聲］對.

［師］很好，X,,X2是方程x2+12x-15=0的根，但X2不是原問題的解，所以應(yīng)舍去.

我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程X2+12X-15=0的根，這種解一

元二次方程的方法稱為配方法(Solvingbycompletingthesquare).

下面同學(xué)們來看一例題：(出示投影片§2.2.1F)

［例題］解方程X2+8X-9=0.

［師］大家能獨立解這個方程嗎？

［生齊聲］能.

解：可以把常數(shù)項移到方程的右邊，得

X2+8X=9.

兩邊都加上16,得

X2+8X+16=9+16,

即(X+4)2=25.

開平方，得

x+4=±5,

即x+4=5或x+4=-5.

所以Xi=l,X2=-9.

［師］很好，由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化

為6+皿了二門的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，當(dāng)n20時，兩

邊開平方便可求出它的根.

注；因為在實數(shù)范圍內(nèi)任何非負(fù)數(shù)都有平方根，所以當(dāng)n20時，方程有解；當(dāng)水0

時，左邊是一個完全平方式，右邊是一個負(fù)數(shù)，因此方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解.

接下來，通過做練習(xí)來進一步鞏固本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容.

III.課堂練習(xí)

課本"隨堂練習(xí)1

1.解下列方程

(1)X2-10X+25=7；(2)x2+6x=l.

解：(1)X2-10X+25=7,

(X-5)2=7,

x-5=±V7,

即X-5=A/7或x-5=-V7,

所以XI=5+V7,X2=5-V7

(2)x'+6x=1,

X2+6X+9=1+9,

(x+3)2=10,

x+3=±Vio,

即x+3=V10或x+3=-VlO.

所以乂|=-3+&^,x2=-3-V10.

IV.課時小結(jié)

這節(jié)課我們研究了一元二次方程的解法：

(1)直接開平方法.

(2)配方法.

V.課后作業(yè)

㈠課本P19習(xí)題2.31、2

(-)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容P,9?P52

2.預(yù)習(xí)提綱

如何利用配方法解二次項系數(shù)不為1或一次項系數(shù)不為偶數(shù)的一元二次方程.

VI.活動與探究

1.解下列關(guān)于X的方程：

公,、

(1)—=1(a>0)；

a

(2)x2-a=0(a20)；

(3)(x-a)2=b2；

(4)(ax+c)2=d(d20,aWO).

[過程]通過對本題的探究，讓學(xué)生了解字母系數(shù)的一元二次方程的解法與數(shù)字系數(shù)

的一元二次方程的解法一樣，因為負(fù)數(shù)沒有平方根，因此只有在判明了方程的兩邊均是

非負(fù)數(shù)時，才能開平方.本題的(1)、(2)方程經(jīng)過變形后，可得x2=a,