橡膠材料不可壓縮本構(gòu)模型的研究進(jìn)展

橡膠材料不可壓縮本構(gòu)模型的研究進(jìn)展

天然橡膠和合成橡膠具有許多獨(dú)特的物理和化學(xué)特征。例如，強(qiáng)彈性、大變形、柔軟性、耐水性、絕緣性和耐距性等非常好。它能滿足大多數(shù)應(yīng)用的要求，尤其是在工程應(yīng)用方面。特別是橡膠的硫化和添加劑的使用提高了材料的機(jī)械和物理性能,使得它擁有更多的應(yīng)用領(lǐng)域,具有更重要的商業(yè)意義。橡膠材料的研究已有很長(zhǎng)的歷史,在過去50多年里人們?cè)噲D對(duì)橡膠材料做真實(shí)可靠的描述,但是由于它復(fù)雜的分子特性以及材料和幾何的雙重非線性,而且這種材料對(duì)于溫度、周圍的介質(zhì)、應(yīng)變隨時(shí)間的變化、載荷率和應(yīng)變量等的作用和影響十分敏感,這使得建立精確的數(shù)學(xué)模型更加困難。橡膠材料的用戶和制造商為了設(shè)計(jì)計(jì)算,現(xiàn)在已經(jīng)利用了復(fù)雜的數(shù)值技術(shù),但這種數(shù)值方法的精確與否也取決于所使用的本構(gòu)模型,而且由于三維模型的應(yīng)力應(yīng)變行為在任何復(fù)雜變形的數(shù)值模擬中都是很重要的,因此最近十多年,計(jì)算力學(xué)的飛速發(fā)展,特別是有限元分析的發(fā)展,使得三維大應(yīng)變分析成為復(fù)雜彈性體產(chǎn)品的設(shè)計(jì)生產(chǎn)過程中不可缺少的一部分,同時(shí)對(duì)橡膠彈性本構(gòu)模型提出了更苛刻的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),促使橡膠材料的彈性本構(gòu)模型更進(jìn)一步發(fā)展?？茖W(xué)技術(shù)的進(jìn)步及各行各業(yè)的發(fā)展對(duì)橡膠材料質(zhì)量的要求也越來(lái)越高,因此人們必須投入越來(lái)越多的努力去尋找橡膠材料的新模型。人們一般從下列三個(gè)主要方面對(duì)橡膠材料復(fù)雜的高度非線性行為來(lái)進(jìn)行研究:在靜載作用下的非線性彈性行為;在循環(huán)載荷作用下的粘彈性行為;在預(yù)應(yīng)力作用后表現(xiàn)的應(yīng)力軟化現(xiàn)象,即Mullins效應(yīng)。本文主要綜述用來(lái)描述橡膠材料在靜載作用下的彈性本構(gòu)模型。1柯西應(yīng)力張量的推導(dǎo)對(duì)于橡膠材料,即使變形相當(dāng)大,也仍可近似地把它當(dāng)成彈性材料來(lái)處理,彈性材料的變形過程是可逆的,如無(wú)其他不可逆伴隨,單純的彈性變形過程的熵產(chǎn)率為零,也就是單位質(zhì)量的熱力學(xué)能等于單位質(zhì)量的應(yīng)變能,對(duì)于等溫過程,單位質(zhì)量的自由能便是單位質(zhì)量的應(yīng)變能,存在應(yīng)變能的材料稱為超彈性材料,因此橡膠材料屬于超彈性材料。在研究橡膠材料時(shí),人們一般認(rèn)為它是各向同性不可壓縮的超彈性體,它的物理屬性主要通過應(yīng)變能函數(shù)來(lái)表達(dá),每種模型都是應(yīng)變能函數(shù)的某種特殊形式,一旦確定了應(yīng)變能函數(shù)W的形式,柯西應(yīng)力張量σ就可以由下式給出:σ=-pΙ+2?W?Ι1B-2?W?Ι2B-1(1)式中,I是單位張量;為左Cauchy-Green變形張量,p是由于不可壓縮假設(shè)引入的水靜壓力;Ii是B的不變量:Ι1=B?Ι2=12[Ι21-tr(B2)]?Ι3=detB(2)B的不變量和主伸長(zhǎng)率之間的關(guān)系為:I1=λ21+λ22+λ23I2=λ21λ22+λ22λ23+λ21λ23(3)I3=λ21λ22λ23由于認(rèn)為橡膠材料的變形過程是各向同性且不可壓縮的,所以√Ι3=λ1λ2λ3=1由(1)式和(3)式可以得到σi=2(λ2i?W?Ι1-1λ2i?W?Ι2)-p?i=1,2,3(4)由式(4)可以導(dǎo)出幾種常用實(shí)驗(yàn)中柯西應(yīng)力的表達(dá)式。在單軸拉伸與壓縮實(shí)驗(yàn)中:σ11=2(λ21-1λ2)(?W?Ι1+1λ1?W?Ι2)(5)在簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)中:σ12=(λ1-1λ1)(?W?Ι1+?W?Ι1)(6)在等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)中:σ11=σ22=2(λ21-1λ21)(?W?Ι1+λ21?W?Ι2)(7)在雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)中:σ1=2{?W?Ι1(λ21-1λ21λ22)+?W?Ι2(λ21λ22-1λ21)}(8)σ2=2{?W?Ι1(λ22-1λ22λ21)+?W?Ι2(λ22λ21-1λ22)}(9)在與橡膠彈性有關(guān)的文獻(xiàn)中,能找到許多用來(lái)描述彈性體力學(xué)行為的理論模型。一般來(lái)說(shuō)它們可以分成兩大類,一種是基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的動(dòng)力學(xué)理論,另一種是不考慮彈性體的微觀結(jié)構(gòu)和分子本質(zhì),認(rèn)為彈性體是連續(xù)介質(zhì)的唯象學(xué)方法。2橡膠少數(shù)民族的屬性用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)法研究彈性體材料可以追溯到1940年,該方法試圖從硫化橡膠的理論模型中得出它的彈性本質(zhì),這種理論也是我們理解橡膠大分子屬性的基礎(chǔ)。它認(rèn)為彈性體是很多任意取向的長(zhǎng)的柔性分子鏈通過分子間稀疏的交聯(lián)點(diǎn)組成的分子網(wǎng)絡(luò),由于分子間的相互作用力很弱,使得它的應(yīng)力應(yīng)變行為主要取決于構(gòu)象熵,正是這種分子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)使橡膠材料能夠產(chǎn)生大應(yīng)變的超彈性變形,因?yàn)榉肿渔湺蔚膬?nèi)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),才會(huì)不斷改變構(gòu)象,分子越柔越易卷曲,構(gòu)象數(shù)越多,構(gòu)象熵就越大,由這種熵彈性而產(chǎn)生了高彈性。2.1下一步的網(wǎng)鏈結(jié)構(gòu)及彈性應(yīng)變能函數(shù)kuhn首先提出用統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算高分子鏈的構(gòu)象,得到高分子鏈末端距的幾率密度函數(shù)為高斯函數(shù)。1943年Treloar把高斯統(tǒng)計(jì)理論應(yīng)用到高分子網(wǎng)鏈中來(lái)描述橡膠材料的宏觀行為,在推導(dǎo)交聯(lián)橡膠彈性統(tǒng)計(jì)理論公式時(shí),做了一些假設(shè):體系熱力學(xué)能與各鏈構(gòu)象無(wú)關(guān);每個(gè)交聯(lián)點(diǎn)由四個(gè)鏈組成,交聯(lián)點(diǎn)是無(wú)規(guī)分布的;兩個(gè)交聯(lián)點(diǎn)之間的網(wǎng)鏈為高斯鏈,其末端距符合高斯分布;由這些高斯鏈組成的各向同性的交聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)象總數(shù)是各個(gè)網(wǎng)絡(luò)鏈構(gòu)象數(shù)目的乘積;網(wǎng)絡(luò)中各交聯(lián)點(diǎn)都固定在它們的平均位置上,當(dāng)橡膠變形時(shí),這些交聯(lián)點(diǎn)將以相同于橡膠試樣宏觀變形的比率變形,即所謂的仿射變形。最后從構(gòu)象熵的改變得到彈性應(yīng)變能函數(shù)為:W=12nkΤ(λ21+λ22+λ23-3)(10)式中,n為平均單位體積的網(wǎng)鏈數(shù);k為Boltzmann常數(shù);T為絕對(duì)溫度;λi為主伸長(zhǎng)率。高斯統(tǒng)計(jì)模型是基于假設(shè)末端距遠(yuǎn)小于分子鏈的全部伸展長(zhǎng)度,因此它不能用來(lái)描述分子鏈的伸展過程,這也是該模型的局限所在,它只能用來(lái)近似預(yù)測(cè)小變形時(shí)的情況。2.2非高斯鏈的影響當(dāng)分子鏈的末端距達(dá)到全部伸展長(zhǎng)度的40%時(shí),就必須要考慮非高斯鏈的影響。為了克服以前模型的局限性,人們便開始用更復(fù)雜的非高斯統(tǒng)計(jì)理論來(lái)研究橡膠分子網(wǎng)鏈的變形。2.2.1單鏈上的應(yīng)力1942年,kuhn和Grün用非高斯統(tǒng)計(jì)理論來(lái)研究分子鏈的伸長(zhǎng)極限,用朗之萬(wàn)統(tǒng)計(jì)理論來(lái)說(shuō)明分子鏈伸長(zhǎng)率的影響。這種理論是基于理想仿射鏈的無(wú)規(guī)行走統(tǒng)計(jì)理論,把長(zhǎng)鏈分子看成N個(gè)長(zhǎng)度為l的鏈段組成,它的均方末端距為√Νl,最大長(zhǎng)度為Nl,因此極限伸長(zhǎng)率為√Ν,相應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為:W=ΝkΤ[λ√Νβ+lnβsinhβ](11)這里β=φ-1(λ/√Ν)?φ-1為反朗之萬(wàn)函數(shù),朗之萬(wàn)函數(shù)φ(x)=coth(x)-1/x,單鏈上的真實(shí)應(yīng)力可以通過W分別對(duì)伸長(zhǎng)率求偏導(dǎo)數(shù)得到:σ=λ?W?λ=λkΤ√Νφ-1(λ√Ν)(12)為了把這種更準(zhǔn)確的單鏈統(tǒng)計(jì)理論應(yīng)用到橡膠彈性本構(gòu)理論中,必須設(shè)想一個(gè)結(jié)構(gòu)模型來(lái)使變形和單鏈分子伸長(zhǎng)率聯(lián)系起來(lái),在此基礎(chǔ)上人們提出了以下幾種模型。2.2.2u3000柯西主應(yīng)力積分treloar和Riding(1979年)提出了滿鏈模型,設(shè)想由彈性體組成的一個(gè)單位球體,分子鏈在上面任意分布且以仿射方式變形,把式(12)在球體上積分就能得出在單軸拉伸或雙軸拉伸時(shí)的分子網(wǎng)絡(luò)變形響應(yīng),1992年Wu和vanderGiessen提出了一個(gè)新方法對(duì)所有載荷形式求應(yīng)力積分,得到的柯西主應(yīng)力為:σi=-p+14πCR√Ν∫π0∫2π0φ-1(λ√Ν)λ4m2isinθdθdφ(13)式中,CR=nkT;m1=sinθcosφ;m2=sinθsinφ;m3=cosφλ-2=3∑i=1m2iλi(14)這個(gè)模型的主要優(yōu)點(diǎn)是它僅取決于兩個(gè)物理參數(shù)CR和N,這兩個(gè)參數(shù)很容易根據(jù)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定,并且和各種變形方式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好(Wu和vanderGiessen,1993年),但是它需要對(duì)應(yīng)力張量進(jìn)行積分,由于需要花費(fèi)很多的計(jì)算時(shí)間,因此在有限元計(jì)算中沒有采納這種模型。2.2.3應(yīng)變能函數(shù)另外一些研究者用非高斯統(tǒng)計(jì)理論建立的較簡(jiǎn)單的模型不需要數(shù)值積分,設(shè)彈性體網(wǎng)鏈密度為n,在載荷作用下,球體變成橢球,它的對(duì)稱軸是變形連續(xù)體的主伸長(zhǎng)方向,這種模型的主要特征是限制整體有p個(gè)優(yōu)先伸長(zhǎng)方向,假定未變形時(shí)在單位體積中每個(gè)方向有n/p個(gè)分子鏈,那么就不用像以前那樣采用應(yīng)變能的積分形式,總的應(yīng)變能就可以直接由p個(gè)單鏈的應(yīng)變能總和乘上n/p。僅定義三個(gè)主應(yīng)變方向的模型是最簡(jiǎn)單的p鏈模型,它是James和Guth在1943年提出來(lái)的。它的應(yīng)變能函數(shù)為:W3ch=nkΤ3√Ν[λ1β1+√Νln(β1sinhβ1)+λ2β2+√Νln(β2sinhβ2)+λ3β3+√Νln(β3sinhβ3)](15)把主應(yīng)力表示成主伸長(zhǎng)率的函數(shù)是:σi=-p+13CR√Νλiφ-1(λi√Ν)(16)同樣,Flory(1944年)提出了四鏈四面體模型,四個(gè)分子鏈分別由四面體的四個(gè)頂點(diǎn)與四面體的中心相連。為滿足平衡要求,這個(gè)模型的中心點(diǎn)以非仿射方式變形,它比三鏈模型的變形方式更協(xié)調(diào),隨著四面體的變形,分子鏈伸長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)。由于針對(duì)每一種變形方式都必須計(jì)算四面體的中心位置,因此不能得出應(yīng)力與伸長(zhǎng)率之間的簡(jiǎn)單關(guān)系式,且由于它給出的結(jié)果和三鏈模型類似,所以這種模型并不常用?；谶@種理論最新的模型是由Arruda和Boyce(1993年)提出的八鏈模型,八個(gè)分子鏈正好由立方單元體的對(duì)角線組成,由于分子鏈結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,在變形過程中內(nèi)部交聯(lián)點(diǎn)始終處于中心位置。這種模型最主要的特征是幾何形狀關(guān)于三個(gè)主軸對(duì)稱,八個(gè)分子鏈都具有相同的伸長(zhǎng)率λchain=√(λ21+λ22+λ23)/3,應(yīng)變能函數(shù)為:W8ch=nkΤ√Ν[βchainλchain+√Ν?ln(βchainsinhβchain)](17)這樣可以得到較簡(jiǎn)單的應(yīng)力與伸長(zhǎng)率的關(guān)系式:σi=-p+13CR√Νλ2iλφ-1(λ√Ν)(18)Arruda-Boyce模型的應(yīng)變能函數(shù)在單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中能描述大變形時(shí)的應(yīng)變硬化,但是這個(gè)模型沒有考慮填料的影響,而且形式非常復(fù)雜,即使在簡(jiǎn)單變形中也很難獲得封閉解。2.2.4滿鏈模型預(yù)測(cè)能力的分析為了比較這幾種分子鏈模型的精確性,Wu和vanderGiessen分析了Jamesetal的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),得出八鏈模型比三鏈模型和滿鏈模型能更成功的預(yù)測(cè)雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。Arruda和Boyce也得出同樣的結(jié)論。所有的模型都適合于單軸拉伸實(shí)驗(yàn),因此它們的精確與否取決于對(duì)剪切和雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)的預(yù)測(cè)能力。三鏈模型能描述單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中變形的非高斯統(tǒng)計(jì)屬性,然而盡管在小伸長(zhǎng)率時(shí)它能說(shuō)明不同變形狀態(tài)的力學(xué)行為,但是在大伸長(zhǎng)率時(shí),它對(duì)所有變形狀態(tài)的力學(xué)行為預(yù)測(cè)幾乎是一樣的,因此除單軸拉伸實(shí)驗(yàn)外它不能用于模擬大變形的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在八鏈模型中分子鏈隨著變形而伸長(zhǎng)且相對(duì)于最大主伸長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn),是以更協(xié)調(diào)的方式變形,八鏈模型能說(shuō)明等雙軸拉伸和單軸拉伸的區(qū)別,且對(duì)雙軸拉伸有預(yù)測(cè)能力,而且比滿鏈模型預(yù)測(cè)的結(jié)果要好,但三鏈模型不能預(yù)測(cè)雙軸拉伸。滿鏈模型的預(yù)測(cè)能力之所以在八鏈模型和三鏈模型之間,主要是因?yàn)樗诜歉咚菇y(tǒng)計(jì)區(qū)域假設(shè)了仿射變形,實(shí)際上在分子鏈的真實(shí)結(jié)構(gòu)中,隨著變形的增加而逐漸成為非仿射變形,由于八鏈模型沒有這個(gè)假設(shè),所以它能有效地描述網(wǎng)絡(luò)變形響應(yīng)。盡管基于非高斯統(tǒng)計(jì)理論的模型能說(shuō)明在大變形中極限伸長(zhǎng)的影響,但是還是不能解釋小中變形時(shí)的高斯統(tǒng)計(jì)理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差。Boyce和Arruda認(rèn)為可以用一個(gè)混合模型來(lái)描述所有變形狀態(tài)的整個(gè)拉伸過程,即由Flory-Erman模型描述小變形,用Arruda-Boyce模型描述大變形。Flory和Erman(1982年)提出一個(gè)約束網(wǎng)絡(luò)模型,這個(gè)模型考慮了由于鏈之間的相互作用而引起的幻象特性對(duì)交聯(lián)點(diǎn)的約束,這是對(duì)Flory以前提出的幻象網(wǎng)絡(luò)模型的進(jìn)一步發(fā)展。分子網(wǎng)絡(luò)的彈性應(yīng)變能為幻象網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)變能總和Wph加上由于約束對(duì)應(yīng)變能的影響Wc:WFE=Wph+Wc(19)式中,Wph=12ζkΤ(λ21+λ22+λ23-3),這個(gè)式子不同于高斯模型,因?yàn)棣?(1-2φ)n(20)式中,n是網(wǎng)鏈密度,φ是每個(gè)交聯(lián)點(diǎn)有連接的分子鏈個(gè)數(shù),當(dāng)φ=4時(shí)就是四鏈模型。Wc=12nkΤ∑i[Bi+Di-ln(Bi+1)-ln(Di+1)](21)這里Bi=κ2(λ2i-1)(λ2i+κ)-2(22)Di=λ2iκ-1Bi(23)κ用來(lái)測(cè)量約束強(qiáng)度,它取決于自由波動(dòng)和實(shí)際約束波動(dòng)的相對(duì)大小。這個(gè)約束網(wǎng)絡(luò)模型依賴于參數(shù)n,φ和κ。當(dāng)κ→∞時(shí)交聯(lián)點(diǎn)的位置完全固定,表現(xiàn)出仿射網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì),當(dāng)κ→0交聯(lián)點(diǎn)的位置波動(dòng),表現(xiàn)出幻象網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)。n可以取很大的正值,φ必須大于2。把Flory-Erman模型和Treloar的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較,可推得φ=4。在Flory-Erman模型中用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)能很好的預(yù)測(cè)等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)中小變形時(shí)的數(shù)據(jù),但是在大變形時(shí)卻和高斯統(tǒng)計(jì)理論一樣和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏離很遠(yuǎn),這表明在應(yīng)變能函數(shù)中必須用到非高斯統(tǒng)計(jì)項(xiàng)。因此,用Flory-Erman模型描述小變形,用八鏈模型描述大變形,這將比其他任何模型能更好的預(yù)測(cè)整個(gè)變形的響應(yīng)。3連續(xù)介質(zhì)力學(xué)法3.1關(guān)于應(yīng)力應(yīng)變的討論大多數(shù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)處理橡膠彈性時(shí),都把橡膠材料的變形看成是各向同性的超彈性體的均勻變形,這樣應(yīng)變能密度函數(shù)就可以表示成主伸長(zhǎng)率或者是變形張量的三個(gè)不變量的函數(shù)。彈性體一般被近似的認(rèn)為是不可壓縮的,因此I3可取成常數(shù)或等于1.0,這樣它對(duì)應(yīng)變能函數(shù)就沒有影響。最一般的應(yīng)變能表達(dá)式是由Rivlin(1951年)提出的:WR=∞∑i,j=0Cij(Ι1-3)i(Ι2-3)j(24)式中,Cij為材料常數(shù),這個(gè)模型相當(dāng)復(fù)雜,人們一般在此基礎(chǔ)上做各種簡(jiǎn)化,提出適當(dāng)?shù)哪Ｐ?如果只保留第一項(xiàng),可得到:WNH=C10(I1-3)(25)Rivlin把遵循式子(25)的材料稱為Neo-Hookean材料。當(dāng)C10=12ΝkΤ時(shí),它等價(jià)于高斯統(tǒng)計(jì)模型。Neo-Hookean模型具有常剪切模型,一般它只適用于近似預(yù)測(cè)30%～40%的單軸拉伸和80%～90%的純剪的橡膠力學(xué)行為。盡管此模型不如其他模型精確,特別是在大應(yīng)變時(shí),但是Neo-Hookean模型也有幾個(gè)優(yōu)越之處,首先它可以由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)方法得到,且只有一個(gè)材料常數(shù),最大的優(yōu)點(diǎn)是這個(gè)模型的無(wú)條件穩(wěn)定性,一種變形方式下的應(yīng)力應(yīng)變曲線擬合的材料常數(shù)能用來(lái)預(yù)測(cè)其他變形方式的應(yīng)力應(yīng)變曲線,至少在小應(yīng)變到中等應(yīng)變是如此。如果對(duì)式子(24)保留前兩項(xiàng),就和最早Mooney(1940年)提出的模型一樣:WMR=C10(I1-3)+C01(I2-3)(26)這就是工程上被廣泛應(yīng)用于彈性體變形研究中的Mooney-Rivlin模型,它的成功在于能說(shuō)明在單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中高斯統(tǒng)計(jì)模型(neo-Hookean)和與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的一些偏差,但是它同樣得到的是常剪切模量,不能較精確的描述炭黑填料硫化橡膠的力學(xué)行為。盡管這個(gè)模型用起來(lái)很方便,但人們發(fā)現(xiàn)它不能預(yù)測(cè)多軸向數(shù)據(jù),由某種變形方式的數(shù)據(jù)擬合的模型不能預(yù)測(cè)其他變形方式的行為。Tschoegl認(rèn)為這個(gè)不足主要是因?yàn)橄鄬?duì)于Rivlin模型,它沒有選擇足夠的展開項(xiàng),所以有人提出了幾種高階項(xiàng)的Mooney-Rivlin模型。James和Green在Rivilin模型的基礎(chǔ)上提出了五項(xiàng)到九項(xiàng)展開式的模型。Morman和Pan在設(shè)計(jì)橡膠襯套之類的汽車橡膠零件而進(jìn)行的有限元分析專題研究中,就采用了不可壓縮性的Rivlin級(jí)數(shù)方程的三階展開式,也是比較常用的一個(gè)高階應(yīng)變能函數(shù):W=C10(I1-3)+C01(I2-3)+C11(I1-3)(I2-3)+C20(I1-3)2+C30(I2-3)3(27)盡管這些高階應(yīng)變能函數(shù)比低階應(yīng)變能函數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得更好,但是人們發(fā)現(xiàn)它對(duì)所輸入數(shù)據(jù)范圍以外的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)能力不如那些較簡(jiǎn)單形式的應(yīng)變能函數(shù)。Haines和Wilson認(rèn)為,實(shí)際應(yīng)用的應(yīng)變能函數(shù)不僅僅只是取Rivlin級(jí)數(shù)方程的所有的低階項(xiàng),而是要通過觀察實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù),然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇所需級(jí)數(shù)項(xiàng)。在研究炭黑填料對(duì)天然硫化橡膠的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系影響的過程中,Gregory注意到在單軸拉伸、單軸壓縮和簡(jiǎn)單剪切的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系,但必須滿足下列兩個(gè)條件:(a)?W/?I1>>?W/?I2(b)?W/?Ι2與I2無(wú)關(guān)Yamashita和Kawabata發(fā)表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明在炭黑填料橡膠中確實(shí)存在著關(guān)系(a)式,Kawabata和Kawai對(duì)于一些橡膠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也出示了同樣的結(jié)果,這些結(jié)果還表明?W/?I1和?W/?I2隨著I1的增加而快速下降,在一個(gè)較小應(yīng)變不變量I1處達(dá)到最小值,接著隨I1的增加而增加;相反,?W/?I2隨著I2增加的變化趨勢(shì)是首先快速增加,在某個(gè)小應(yīng)變不變量I2處達(dá)到最大值,而后下降。而且填料橡膠在中等變形區(qū)和非填料橡膠在小變形區(qū)時(shí)的?W/?I1和?W/?I2關(guān)系很相似,這和填料橡膠的應(yīng)變放大效應(yīng)相一致。還有對(duì)于填料橡膠,?W/?I2不僅比?W/?I1小得多,而且接近于零。因此,Yeoh對(duì)上面的假設(shè)做了簡(jiǎn)化,讓?W/?I2等于零,他通過實(shí)驗(yàn)得出在單軸拉伸、單軸壓縮和簡(jiǎn)單剪切中,簡(jiǎn)化應(yīng)力σ/(λ-λ-2)和τ/γ隨(I1-3)的增加而降低,達(dá)到一個(gè)最小值,而后又增加,因此他提出一個(gè)三次應(yīng)變能函數(shù):W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3(28)上述假設(shè)(a)(b)嚴(yán)格地講是不滿足的,對(duì)于非填料橡膠,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示出?W/?I1和?W/?I2隨著I1和I2的改變的確存在一些變化,特別是在小應(yīng)變區(qū),但是在大應(yīng)變時(shí),?W/?I1確實(shí)比?W/?I2大的多,而且與I2無(wú)關(guān)。因此在小應(yīng)變區(qū),Yeoh模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確實(shí)存在一些偏差,但是在有限元分析中這點(diǎn)偏差并不是很嚴(yán)重,因?yàn)樵谛?yīng)變區(qū)應(yīng)力也很小,盡管相對(duì)誤差可能很大,但是絕對(duì)誤差卻很小。Yeoh模型和有著常剪切模量的neo-Hookean與Mooney-Rivlin模型不一樣,它能描述有隨變形而變化的剪切模型的填料橡膠,而且由某種簡(jiǎn)單變形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)可以用來(lái)預(yù)測(cè)其他變形的力學(xué)行為,描述的變形范圍也較寬,一般適合于模擬大變形但是它不能很好的解釋等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)。近年來(lái)基于朗之萬(wàn)函數(shù)的復(fù)雜本構(gòu)模型的建立,促進(jìn)了人們?nèi)グl(fā)展包含大分子極限伸長(zhǎng)率影響的新的唯象學(xué)模型,AlanGent(1996年)就從唯象法出發(fā)提出了一個(gè)新的簡(jiǎn)單的模型,同時(shí)考慮了分子鏈的極限伸長(zhǎng)率的影響:WGent=-E6JΜln[1-J1JΜ](29)式中,J1=(I1-3),E是小應(yīng)變時(shí)的拉伸模量,JM是J1的最大值,因此當(dāng)J1接近JM時(shí)材料的分子鏈接近極限伸長(zhǎng)。盡管這個(gè)模型是在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上從唯象法出發(fā)得來(lái)的,但是它也有很多優(yōu)點(diǎn),形式比較簡(jiǎn)單,而且在小應(yīng)變時(shí)該模型可以簡(jiǎn)化成Neo-Hookean模型,又因?yàn)槭怯脩?yīng)變不變量表示的,所以能直接用于較復(fù)雜的變形中。其他與分子鏈極限伸長(zhǎng)有關(guān)的模型還有Kilian建立的VanderWaals模型和Edwards和Vilgis建立的模型。HorganCO和SaccomandiG詳細(xì)地論述過分子極限伸長(zhǎng)率。根據(jù)Boyce,可以把Gent新模型的自然對(duì)數(shù)項(xiàng)展開得到如下應(yīng)變能函數(shù)形式:WGent=E6[(Ι1-3)+12JΜ(Ι1-3)2+13JΜ2(Ι1-1)3+??+1(n+1)JnΜ(Ι1-3)n+1](30)把式(30)寫成一般形式為:W=n∑i=1Ci(Ι1-3)i(31)如果在Rivlin模型,即式(24)中令j=0,則得到式子(31),但是在Gent模型中,Ci是JM的函數(shù),因此給參數(shù)Ci賦予了物理意義,就不需要很多實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)擬合系數(shù)。有趣的是,八鏈模型是λchain的函數(shù),而λchain又等價(jià)于√Ι1/3,因此八鏈模型也是I1的函數(shù),把Arruda和Boyce的八鏈模型展開成多項(xiàng)式的形式:W8ch=ΝkΤ[12(Ι1-3)+120n(Ι21-9)+111050n2(Ι31-27)+197000n3(Ι41-81)+519673750n4(Ι51-243)+??](32)把式(32)寫成一般的函數(shù)為:W=n∑i=1Ci(Ιi1-3i)(33)在式(33)中,Ci是√n的函數(shù),和Gent模型一樣,也給參數(shù)賦予了物理意義。它們都可以用單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)其他變形的響應(yīng)。Gent模型和Arruda-Boyce模型本質(zhì)上是等價(jià)的,這兩個(gè)模型實(shí)際上是Yeoh模型的擴(kuò)展。I1的高次項(xiàng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型的成功在于它與非高斯統(tǒng)計(jì)模型的相似,從而把高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型和非高斯統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型聯(lián)系起來(lái),正如neo-Hookean模型等價(jià)于高斯統(tǒng)計(jì)模型一樣。這幾個(gè)模型都滿足無(wú)條件穩(wěn)定性且能說(shuō)明初始應(yīng)力軟化及后來(lái)的應(yīng)變硬化行為。這幾個(gè)模型的共性就是都假設(shè)應(yīng)變能函數(shù)僅僅取決于第一應(yīng)變不變量。3.2關(guān)于應(yīng)變能函數(shù)的描述Valansi和Landel(1967年)提出了一個(gè)主伸長(zhǎng)率分離的應(yīng)變能密度函數(shù)的形式:WVL=3∑i=1w(λi)(34)這個(gè)式子也稱為Valansi-Landel假設(shè),Valansi和Landel認(rèn)為既然把橡膠材料的變形看成是恒溫下的各向同性的均勻變形,那么應(yīng)變能函數(shù)相對(duì)于三個(gè)主伸長(zhǎng)率應(yīng)該是可以互換的,這樣應(yīng)變能函數(shù)就可以表達(dá)成三個(gè)主伸長(zhǎng)率的分離對(duì)稱的函數(shù),即式子(34)。盡管w(λi)的表達(dá)式?jīng)]有明確給出,但是這三個(gè)函數(shù)具有相同的表示形式。這個(gè)模型因?yàn)橹淮嬖谝粋€(gè)函數(shù)形式,故通過一種實(shí)驗(yàn),如純剪實(shí)驗(yàn)便可確定應(yīng)變能函數(shù),而且這個(gè)模型能直接使用搜集到的拉伸比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),這將使理論和實(shí)驗(yàn)工作簡(jiǎn)化,然而這一設(shè)想的物理基礎(chǔ)并不很充分,還有待于進(jìn)一步的理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Ogden(1972年)放棄了應(yīng)變能函數(shù)是主伸長(zhǎng)率的偶函數(shù)的假設(shè),認(rèn)為采用不變量來(lái)描寫應(yīng)變能函數(shù)是不必要的復(fù)雜化,他直接用伸長(zhǎng)率作自變量把應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)為:W0=∑nμnαn(λαn1+λαn2+λαn3-3)(35)這也是滿足Valansi-Landel假設(shè)的本構(gòu)模型,早在1940年Mooney純粹從唯象法出發(fā),假設(shè)了橡膠材料的變形是各向同性、不可壓縮及常剪切模型的均勻變形,從而提出了Mooney-Rivlin模型,同時(shí)他指出,如果忽略常剪切模量的假設(shè),就可以把應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)成如下形式:W=∞∑n=1[A2n(λ2n1+λ2n2+λ2n3-3)+B2n(λ-2n1+λ-2n2+λ-2n3-3)](36)式中,A2n,B2n是材料常數(shù)。Ogden模型和上述Mooney模型很相似,但是在Ogden模型中,指數(shù)αn不一定是整數(shù),而且在正指數(shù)與負(fù)指數(shù)之間沒有什么關(guān)聯(lián),允許不成對(duì)的指數(shù)出現(xiàn),不過從模型的穩(wěn)定性考慮,必須有:μnαn>0。Ogden已得出在此模型中用六個(gè)參數(shù)可以得到較好的擬合結(jié)果。Rivlin和Sawyers認(rèn)為Ogden模型只是Rivlin應(yīng)變能函數(shù)的一種特殊形式,Treloar也表示這兩個(gè)模型實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的,選擇哪一個(gè)僅僅在于是否方便。因?yàn)?Ogden模型除了因用伸長(zhǎng)率表示比用應(yīng)變量不變量表示的Rivlin模型稍顯直觀外,并無(wú)什么真正優(yōu)越的地方。事實(shí)上,從有限元分析的角度來(lái)看,只要模型能用合理的擬合系數(shù)較精確地表達(dá)橡膠材料的力學(xué)特性,應(yīng)變能函數(shù)不管用應(yīng)變不變量還是用主伸長(zhǎng)率來(lái)表示都無(wú)關(guān)緊要。Ogden模型是有限元分析中較常用的以伸長(zhǎng)率表示的應(yīng)變能函數(shù)。有關(guān)該模型的具體應(yīng)用的討論可以參考文獻(xiàn)。4可壓縮本構(gòu)模型盡管橡膠彈性材料一般被模擬成不可壓縮的,但事實(shí)上它的體積模量并不是無(wú)窮大,而僅僅是比它的剪切模量大得多,因此認(rèn)為橡膠材料是不可壓縮的只能算是一個(gè)合理的近似。在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合,用相對(duì)不可壓縮模型和可壓縮模型并不會(huì)產(chǎn)生很大的差異,例如在彈性體單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中,體積變化還不到初始體積的1%,對(duì)于其他變形,體積改變更小,僅僅是初始體積的0.01%。但是彈性體在受壓力很大的靜水壓縮實(shí)驗(yàn)中,體積變化很大,可達(dá)到初始體積的10%～20%,而且壓力與體積變化也呈現(xiàn)出非線性的關(guān)系,這樣不可壓縮模型就不能滿足要求了。當(dāng)模擬三維應(yīng)力狀態(tài)或是具有剛性邊界條件的時(shí)候也必須要用可壓縮模型。另外,在有限元分析中用不可壓縮本構(gòu)模型會(huì)導(dǎo)致收斂問題,而用可壓縮模型就可以避免。因此,嚴(yán)格的本構(gòu)模型應(yīng)該是可壓縮性的。在實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)合用到的可壓縮模型,大部分都是在上述不可壓縮模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正的,也有不少研究者提出了各種各樣的可壓縮本構(gòu)模型