2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案-教材知識(shí)特訓(xùn)4全等三角形的常見(jiàn)模型

教材知識(shí)特訓(xùn)四全等三角形的常見(jiàn)模型平移模型模型點(diǎn)撥：把△ABC沿著某一條直線平行移動(dòng)，稱所得到△DEF與△ABC為平移型全等三角形．圖1、圖2是常見(jiàn)的平移型全等三角形．平移模型中，根據(jù)“兩直線平行，同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得到兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等；反之，若兩個(gè)三角形全等，可得對(duì)應(yīng)角相等，從而得到兩直線平行．【例1】如圖，將△ABC沿直線AB向右平移后到達(dá)△BDE的位置．若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，則∠CBE的度數(shù)為_(kāi)_30°__．【解析】由平移性質(zhì)知△ABC≌△BDE，則∠EBD＝∠CAB＝50°，∠BDE＝∠ABC＝100°，根據(jù)∠CBE＝180°－∠ABC－∠EBD可得答案．翻折(軸對(duì)稱)模型模型點(diǎn)撥：將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，稱其中全等的兩個(gè)三角形為翻折型全等三角形．此類圖形中要注意其隱含條件即公共邊或公共角相等．翻折(軸對(duì)稱)模型的圖形，可以看成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)圖形全等．【例2】如圖，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列條件中的一個(gè)：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能確定△ABC≌△DCB的是__②__(只填序號(hào)).【解析】已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB(公共邊).若添加①∠A＝∠D，則可利用“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，則屬于邊邊角的順序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，則可利用“SAS”判定△ABC≌△DCB.旋轉(zhuǎn)模型模型點(diǎn)撥：將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型全等三角形．識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，如圖1涉及對(duì)頂角相等；如圖2涉及等角加(減)公共角的條件或結(jié)論．在旋轉(zhuǎn)圖形中，若某頂點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，則在這個(gè)頂點(diǎn)處根據(jù)“等量加(減)等量，和(差)相等”，可得出兩個(gè)新的角相等．【例3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P在斜邊AB上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，則PA2，PB2，PC2三者之間的數(shù)量關(guān)系是__PB2＋PA2＝2PC2__．【解析】連接BQ.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°.∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2PC2.利用“SAS”可證△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2＋BQ2＝PQ2，即可得出結(jié)論．【例4】如圖，△ABC，△CDE均為等邊三角形，連接BD，AE.求證：AE＝BD.【解析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，可得AE＝BD.【解答】證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，)))∴△ACE≌△BCD(SAS).∴AE＝BD.三垂直模型模型點(diǎn)撥：此類圖形通常給出BD⊥AE(DE)，AB⊥AC，CE⊥AE(AC)，那么一定有∠B＝∠CAE(∠CDE)，常用到同(等)角的余角相等．在三垂直模型的圖形中，兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，只需找出一組對(duì)應(yīng)邊相等，就可得這兩個(gè)三角形全等．【例5】如圖，AB＝AC，直線l過(guò)點(diǎn)A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M，N，且BM＝AN.(1)求證：△AMB≌△CNA；(2)求證：∠BAC＝90°.【解析】(1)由“HL”證明△AMB≌△CNA即可；(2)先由全等三角形的性質(zhì)得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN＋∠ACN＝90°，得∠CAN＋∠BAM＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】證明：(1)∵BM⊥直線l，CN⊥直線l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°.∵AB＝AC，BM＝AN，∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)；(2)∵Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN.∵∠CAN＋∠ACN＝90°，∴∠CAN＋∠BAM＝90°.∴∠BAC＝180°－90°＝90°.半角模型模型點(diǎn)撥：過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)作兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型．常見(jiàn)的圖形為正方形、正三角形、等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．【例6】如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如，圖中△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“EF＝BE＋DF”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫(xiě)出證明過(guò)程．(1)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝________，連接AG；(2)求證：EF＝BE＋DF.【解析】(1)由于△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG＝DF，從而得到輔助線的作法；(2)先證明△ADF≌△ABG，得到AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，結(jié)合∠EAF＝45°，易知∠GAE＝45°，再證明△AGE≌△AFE即可得到EF＝BE＋DF.【解答】(1)DF；(2)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°.在△ADF和△ABG中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,∠ADF＝∠ABG，,DF＝BG，)))∴△ADF≌△ABG(SAS).∴AF＝AG，∠DAF＝∠GAB.∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠EAB＝45°.∴∠GAB＋∠EAB＝45°.∴∠GAE＝∠