高等代數(shù)與解析幾何第11章習(xí)題參考解答

222512I4512CXY)=X2+4XY+3Y2=0時(shí)X:Y=_1:1和X:Y=_3:12323向：_1:1和_3:1I==0_11∴曲線為拋物型，有一個(gè)實(shí)漸近方向：1：122、解(1)∵I2==_豐0,∴曲線是中心曲線.2_31aaa2223_31aaa2223_24aaa2223_24aaa22233、解(1)由〈0解得中心(_5,_3)XY_2:13(2)由〈解得中心(0,-1),由F2(2,1)=5,∴所求切線方程為(2)∵F(-2,-1)=4設(shè)過(guò)點(diǎn)(-2,-1)的切線與已知二次曲線相切于(x0,y0)，為①把(-2,-1)代入切線方程得0x=00②③由②③解得切點(diǎn)為(0,-3),(0,-1)，代入①得切線4與I向量X2:Y2=1:(-1)主直徑為X1F1(x,y)+Y1F2(x,y)=0與是X1:Y1=3:(-4),漸近主方向是所以非漸近主方向X2:Y2=4:3,主直徑對(duì)于橢圓型曲線，因只有兩個(gè)虛的漸近方向，所以任何實(shí)方向都是它的非漸近方向，故①又表示與非漸近方向入:p共軛的直徑的方程。方程①即為漸近線，可把它看成與自己方向共軛的5 5 \5 )5 5 \5 )55)M-1=(2)對(duì)無(wú)心二次曲線，它只有唯一的漸近方向:設(shè)任意平行于X':Y'的直線方程為②YyaXaYaXaY④a只須證明上面求得的X:Y豐X':Y'：假設(shè)從而有a13a12-a23a11=0即23a23與無(wú)心曲線的充要條件所以X:Y豐X':Y'綜上所述，對(duì)任意平行于漸近方向②成為直徑，具有形式③。 )-55)(x'(x')\y')=5 \5 ) )-55)(x)(x)\y) |(x)|\y)=64)534)53(x')(x)(1)|||||= 5)\y')\y)\2)|4))4)3)(43)l55Jl55J(3(34\-5M-1= l55|y=4x'+3l555J55l5,5J(3)由公式X'=M-1(X-X0)得(34\-53、解(1)解〈所以新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(1，1)所以坐標(biāo)3(x3(x)\y)=(x')||||-5||-5 \ \5 5)\y')\y')(2)把坐標(biāo)變換式代入直線方程2x-y+3=0得(3)o'-x'y'到o-xy的變換式為：7xxy22x-12y-19=0;yAI=10,I2=A=9,特征方程為l22Jl22Jl22Jl22J建立旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換式：X=MX'其中M=-1))||||方程化簡(jiǎn)得：9x'2+y'2-182x'+9=0配方得9(x'-)2+y'2-9=0作平移坐標(biāo)變換X，，=X'+X新坐標(biāo)原點(diǎn)就是曲線的中心(1，1)新坐標(biāo)軸(兩條主直徑)在原坐標(biāo)系的方程是8 (4)標(biāo)準(zhǔn)方程是2程。xxy+2y24x6y+29=013331311I13331311因此，簡(jiǎn)化方程是4x'22y'2+=0其標(biāo)準(zhǔn)方程是x'2yx'2y'2 2(2)二次曲線是橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程是x'224(3)二次曲線是兩條相交直線。簡(jiǎn)化方程是標(biāo)準(zhǔn)方程是x'=(2)y'.(4)二次曲線是兩平行9解(1)解(1)23dx2-y2=0,且曲線兩半軸的長(zhǎng)分別是及II--1515-15154、試證中心二次曲線ax2+2hxy+ay2=d的兩條主直徑是dd次曲線，從而a2-h2豐0，且中心就是(0，0)。同時(shí)，X2:Y2=h:(a-h-a)=(-1):1.ahxh+a)y=0及(a-h)x+(h-a)y=0.為了求得曲線的兩半軸之長(zhǎng)，我們以兩主直徑為x'(x'-y'y=2和y'軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換：y=2它們均不為零，而且若d=0，則原曲線為兩相交于原點(diǎn)的直線或者就是原點(diǎn)，此時(shí)命題顯然成立。若dd x'2dd即符號(hào)決定)，這曲線的兩半軸正是題目所求證。程入2-I1入+I2=0的兩個(gè)相等的實(shí)根。根據(jù)編=I-4I2=0得知I=4I2，同時(shí)圓屬于橢圓型，顯然滿足