浙江省杭州市市育新中學高三數學文上學期期末試卷含解析

浙江省杭州市市育新中學高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，,，在邊上，且,則A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知函數，若對任意都有成立，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：試題分析：因為對任意都有成立所以的最小值為因為函數所以因為所以方程在范圍內只有一根所以所以設所以在單調遞增，在單調遞減所以即故答案選考點：函數的恒成立；構造函數.【名師點睛】本題函數的定義域為，且由題目條件任意都有成立，可以確定的最小值為，繼而得知為函數的一個極小值點，可得的關系式，所以本題即可轉化為求的最大值或最小值問題.3.中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳疼減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起腳疼每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了？”根據此規(guī)律，求后3天一共走多少里（）A．156里 B．84里 C．66里 D．42里參考答案：D【考點】8B：數列的應用．【分析】由題意可得：此人每天所走的路形成等比數列{an}，其中q=，S6=378．利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：由題意可得：此人每天所走的路形成等比數列{an}，其中q=，S6=378．則=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故選：D．【點評】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4.任取k∈[-1，1],直線L:y=kx+3與圓C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N兩點，則∣MN∣≥

的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：A圓的圓心坐標為，則，解得，，于是有，故

選A．5.已知向量，，.若，則實數k的值為（

）A．－8

B．－6

C．－1

D．6參考答案：B6.數列{an}是以a為首項，q為公比的等比數列，數列{bn}滿足bn=1+a1+a2+…+an（n=1，2，…），數列{cn}滿足cn=2+b1+b2+…+bn（n=1，2，…）．若{cn}為等比數列，則a+q=（）A． B．3 C． D．6參考答案：B【考點】8B：數列的應用．【分析】由題意求得數列{bn}的通項公式，代入即可求得數列{cn}的通項公式，根據等比數列通項公式的性質，即可求得a和q的值，求得a+q的值．【解答】解：數列{an}是以a為首項，q為公比的等比數列，an=aqn﹣1，則bn=1+a1+a2+…+an=1+=1+﹣，則cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣×=2﹣+n+，要使{cn}為等比數列，則，解得：，∴a+q=3，故選B．7.設函數若f(a)＞f(－a)，則實數a的取值范圍是(

)A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，+∞)C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，+∞)參考答案：D分析：由分段函數的表達式知，需要對a的正負進行分類討論．詳解：由題意或?或?或.故選D.點睛：本題主要考查的是解分段函數不等式，做此類題根據變量的不同取值范圍進行討論，代入相應的解析式求解.8.正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=1，BF=，將此正方形沿DE、DF折起，使點A、C重合于點P，則三棱錐P—DEF的體積是(A)

(B)(D)

(D)參考答案：B略9.兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．參考答案：D兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．

10.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=

E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為A

2

B

C

D

1

參考答案：D連結交于點，連結，因為是中點，所以,且，所以，即直線

與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離，過C做于,則即為所求距離.因為底面邊長為2，高為，所以,,,所以利用等積法得，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在直角梯形ABCD中，。動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內運動，設,則的取值范圍是__________________.參考答案：略12.有下列五個命題：

.①為等比數列，是其前n項和，則成等比數列；②在同一坐標系中，當時，與的圖象有且只有一個交點；③在一個四面體中，四個面有可能全是直角三角形；④則,；⑤當m>n>0時，的最小值為4.其中直命題是_______（填出所有真命題的編號）.參考答案：②③⑤略13.若，，，則的取值范圍是

．參考答案：(－∞,0]由題意，，則，由，則，即函數f(x)在上單調遞增，則恒有，所以，又，所以，即，從而問題可得解.

14.已知，正實數滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則=_______。參考答案：略15.定義：表示大于或等于的最小整數（是實數）．若函數，則函數的值域為____.參考答案：16.在面積為S的△ABC內任取一點P，則△PAB的面積大于的概率為．參考答案：考點： 幾何概型；誘導公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 設DE是△ABC平行于BC的中位線，可得當P點位于△ABC內部的線段DE上方時，能使△PAB的面積大于，因此所求的概率等于△ADE的面積與△ABC的面積比值，根據相似三角形的性質求出這個面積比即可．解答： 解：分別取AB、AC中點D、E，連接DE∵DE是△ABC的中位線，∴DE上一點到BC的距離等于A到BC距離的一半設A到BC的距離為h，則當動點P位于線段DE上時，△PAB的面積S=BC?h=S△ABC=S因此，當點P位于△ABC內部，且位于線段DE上方時，△PAB的面積大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面積大于的概率為P==．故答案為：．點評： 本題給出三角形ABC內部一點P，求三角形PBC面積大于或等于三角形ABC面積的一半的概率，著重考查了相似三角形的性質和幾何概型的計算等知識，屬于基礎題．17.正方體的8個頂點中，有4個恰是正四面體的頂點，則正方體與正四面體的表面積之比為．參考答案：：1【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【分析】作圖分析．【解答】解：如圖：設正方體的棱長為a，則正方體的表面積為S=6a2；正四面體的邊長為則其表面積為4?sin60°=2a2；則面積比為6a2：2a2=：1．故答案為：：1．【點評】考查了學生的空間想象力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產業(yè)結構，調整出x(x∈N*)名員工從事第三產業(yè)，調整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為10萬元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業(yè)？(2)在(1)的條件下，若調整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？參考答案：(1)由題意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多調整出500名員工從事第三產業(yè)．(2)從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為10x萬元，從事原來產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為10(1000－x)萬元，則10x≤10(1000－x)，所以ax－≤1000＋2x－x－x2，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立，因為＋≥2＝4，當且僅當＝，即x＝500時等號成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范圍為(0,5]．19.不等式選講

設函數f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－4｜．

（I）解不等式f（x）>2；

（II）求函數y＝f（x）的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）令，作出函數的圖象，它與直線的交點為和．所以的解集為（Ⅱ）由函數的圖像可知，當時，取得最小值．20.某廣告公司為2010年上海世博會設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示．其上部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，下部分是以AB為斜邊的等腰直角三角形，DE，DF是兩根支桿，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．現(xiàn)在弧EF、線段DE與線段DF上裝彩燈，在弧AE、弧BF、線段AD與線段BD上裝節(jié)能燈．若每種燈的“心悅效果”均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數為2k，節(jié)能燈的比例系數為k（k＞0），假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是所有燈“心悅效果”的和．（1）試將y表示為x的函數；（2）試確定當x取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．參考答案：【考點】在實際問題中建立三角函數模型；三角函數的最值．【分析】（1）由題意知，建立三角函數模型，根據所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度，用余弦定理寫出要求的邊長，表述出函數式，整理變化成最簡的形式，得到結果．（2）要求函數的單調性，對上一問整理的函數式求導，利用導數求出函數的單增區(qū)間和單減區(qū)間，看出變量x取到的結果．【解答】解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的長分別為π﹣4x，2x，2x連接OD，則由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又當時，y'＞0，此時y在上單調遞增；當時，y'＜0，此時y在上單調遞減．故當時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．21.（本題滿分14分）已知數列滿足，數列滿足.（1）求證：數列是等差數列；（2）設，求滿足不等式的所有正整數的值.參考答案：（1）證明：由得，則。代入中，得，即得。所以數列是等差數列?！?分（2）解：因為數列是首項為，公差為等差數列，則，則。………………8分從而有，故?！?1分則，由，得。即，得。故滿足不等式的所有正整數的值為2，3，4?！?4分22.已知橢圓過點，其焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質解決以下問題：（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為.當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.

圖（1）

圖（2)

參考答案：(1)（2），直線MN始終與圓相切.解析：（1）解：依題意得：橢圓的焦點為，由橢圓定義知：