初中數(shù)學(xué) 幾何圖形初步 教案

幾何圖形初步一、幾何圖形基礎(chǔ)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解幾何圖形的概念，并能對具體圖形進(jìn)行識別或判斷；2.掌握立體圖形從不同方向看得到的平面圖形及立體圖形的平面展開圖，在平面圖形和立體圖形相互轉(zhuǎn)換的過程中，初步培養(yǎng)空間想象能力；3.理解點(diǎn)線面體之間的關(guān)系，掌握怎樣由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到幾何體，能夠借助平面圖形剖析常見幾何體的形成過程.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、幾何圖形1．定義：把從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形．要點(diǎn)詮釋：幾何圖形是從實物中抽象得到的，只注重物體的形狀、大小、位置，而不注重它的其它屬性，如重量，顏色等.2．分類：幾何圖形包括立體圖形和平面圖形(1)立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體，圓柱，圓錐，球等.(2)平面圖形：有些幾何圖形(如線段、角、三角形、圓等)的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形．要點(diǎn)詮釋：(1)常見的立體圖形有兩種分類方法：(2)常見的平面圖形有圓和多邊形，其中多邊形是由線段所圍成的封閉圖形，生活中常見的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形等．（3）立體圖形和平面圖形是兩類不同的幾何圖形，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系．要點(diǎn)二、從不同方向看從不同的方向看立體圖形，往往會得到不同形狀的平面圖形．一般是從以下三個方向：(1)從正面看；(2)從左面看；(3)從上面看．從這三個方向看到的圖形分別稱為正視圖(也稱主視圖)、左視圖、俯視圖．要點(diǎn)三、簡單立體圖形的展開圖有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．要點(diǎn)詮釋：(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．要點(diǎn)四、點(diǎn)、線、面、體長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點(diǎn).從上面的描述中我們可以看出點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.此外，從運(yùn)動的觀點(diǎn)看：點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體.【典型例題1】類型一、幾何圖形 1．如圖所示，請寫出下列立體圖形的名稱．【思路點(diǎn)撥】可以聯(lián)系生活中常見的圖形及基本空間想象能力，描述各種幾何體的名稱．【答案與解析】解：(1)五棱柱；(2)圓錐；(3)四棱柱或長方體；(4)圓柱；(5)四棱錐．【總結(jié)升華】先根據(jù)立體圖形的底面的個數(shù)，確定它是柱體、錐體還是球體，再根據(jù)其側(cè)面是否為多邊形來判斷它是圓柱(錐)還是棱柱(錐)．舉一反三：【變式】如圖所示，下列各標(biāo)志圖形主要由哪些簡單的幾何圖形組成?【答案】(1)由圓組成；(2)長方形和正方形；(3)菱形(或四邊形)；(4)由圓和圓弧組成（或由一個圓和兩個小半圓組成）．類型二、從不同方向看2．如圖所示的是一個三棱柱，試著把從正面、左面、上面觀察所得到的圖形畫出來．【思路點(diǎn)撥】注意觀察的角度和方向.【答案與解析】解：從正面觀察這個三棱柱，看到的圖形是長方形；從左面觀察它，看到的圖形是長方形；從上面觀察，看到的圖形是三角形．因此，從三個方向看，得到的圖形如圖所示．【總結(jié)升華】若要畫出從不同方向觀察物體所得的圖形，方向、角度一定要選準(zhǔn)．因為從不同方向觀察得到的圖形往往不同．舉一反三：【變式1】畫出下列幾何體的主視圖、左視圖與俯視圖.【答案】主視圖左視圖俯視圖【變式2】如圖所示的工件的主視圖是（） A． B． C． D． 【答案】B【解析】從物體正面看，看到的是一個橫放的矩形，且一條斜線將其分成一個直角梯形和一個直角三角形．3.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是()A．棱柱B．圓柱C．圓錐D．球【答案】B【解析】此題可采用排除法．棱柱的三視圖中不存在圓，故A不對；圓錐的主視圖、左視圖是三角形，故C不對；球的三視圖都是圓，故D不對，因此應(yīng)選B．【總結(jié)升華】平面展開圖中，含有三角形，一般考慮棱錐或棱柱；如果只有兩個三角形，必是三棱柱；如果含長方形，一般考慮棱柱；如果含有圓和長方形，一般考慮圓柱；如果含有扇形和圓，一般考慮圓錐．舉一反三：【變式】右圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．長方體B．正方體C．圓柱D．三棱柱【答案】D類型三、展開圖4．（2016?徐州）下列圖形中，不可以作為一個正方體的展開圖的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】利用不能出現(xiàn)同一行有多于4個正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況進(jìn)行判斷也可．【答案】C【解析】正方體沿著不同棱展開，把各種展開圖分類，可以總結(jié)為如下11種情況：故選：C．【總結(jié)升華】本題考查了正方體的展開圖，熟記展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．舉一反三：【變式】（2015?宜昌）下列圖形中可以作為一個三棱柱的展開圖的是（） A． B． C． D． 【答案】A．類型四、點(diǎn)、線、面、體5．分別指出下列幾何體各有多少個面?面與面相交形成的線各有多少條?線與線相交形成的點(diǎn)各有多少個?如圖所示．【答案與解析】解：（1）4個面，6條線，4個頂點(diǎn)；（2）6個面，12條線，8個頂點(diǎn)；（3）9個面，16條線，9個頂點(diǎn)．【總結(jié)升華】(1)數(shù)幾何體中的點(diǎn)、線、面數(shù)時，要按一定順序數(shù)，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)個面(其中2為兩個底面)，n棱錐有(n+1)個面(其中1為一個底面)．6．如圖，上面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得出下面的立方圖形，請你把有對應(yīng)關(guān)系的平面圖形與立體圖形連接起來．【答案與解析】連線如下：【總結(jié)升華】“面動成體”，要充分發(fā)揮空間想象能力判斷立體圖形的形狀．舉一反三：【變式】將如圖所示的Rt△ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體從正面看到的圖形是()．【答案】A【典型例題2】類型一、幾何圖形 1．將圖中的幾何體進(jìn)行分類，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】首先要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，可以按組成幾何體的面是平面或曲面來劃分，也可以按柱、錐、球來劃分.【答案與解析】解：若按形狀劃分：(1)(2)(6)(7)是一類，組成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一類，組成它的面至少有一個是曲面．若按構(gòu)成劃分：(1)(2)(4)(7)是一類，是柱體；(5)(6)是一類，即錐體；(3)是球體．【總結(jié)升華】先根據(jù)立體圖形的底面的個數(shù)，確定它是柱體、錐體還是球體，再根據(jù)其側(cè)面是否為多邊形來判斷它是圓柱(錐)還是棱柱(錐)．類型二、從不同方向看2．（2016春?潮南區(qū)月考）如圖所示的是某個幾何體的三視圖．（1）說出這個立體圖形的名稱；（2）根據(jù)圖中的有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個幾何體的表面積．【思路點(diǎn)撥】（1）從三視圖的主視圖看這是一個矩形，而左視圖是一個扁平的矩形，俯視圖為一個三角形，故可知道這是一個直三棱柱；（2）根據(jù)直三棱柱的表面積公式計算即可．【答案與解析】解：（1）這個立體圖形是直三棱柱；（2）表面積為：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．【總結(jié)升華】本題主要考查由三視圖確定幾何體和求幾何體的表面積等相關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力．舉一反三：【變式】如圖所示的幾何體中，主視圖與左視圖不相同的幾何體是()．【答案】D提示：圓錐的主視圖與左視圖為相同的三角形；圓柱的主視圖與左視圖為相同的矩形；球的主視圖與左視圖為相同的圓，正三棱柱的主視圖和左視圖為不相同的兩個矩形，故選D．3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖如右圖所示，其正方形中的數(shù)字表示該位置上的小正方體的個數(shù)，那么該幾何體的主視圖是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】俯視圖中的每個數(shù)字是該位置小立方體的個數(shù)，分析其中的數(shù)字，得主視圖有3列，從左到右分別是1，2，3個正方形．【總結(jié)升華】本題考查了對幾何體三種視圖的空間想象能力,注意找到該幾何體的主視圖中每列小正方體最多的個數(shù)．舉一反三：【變式1】用小立方塊搭一個幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最少需要多少個小立方塊？最多需要多少個小立方塊？俯視圖俯視圖主視圖主視圖【答案】幾何體的形狀不唯一，最少需要小方塊的個數(shù)：，最多需要小方塊的個數(shù)：．【變式2】下圖是從正面、左面、上面看由若干個小積木搭成的幾何體得到的圖，那么這個幾何體中小積木共有多少個?【答案】這個幾何體中小積木共有6個．類型三、展開圖4．右下圖是一個正方體的表面展開圖，則這個正方體是()【答案】D【解析】最直接的方法是做一個如圖所示的正方體的表面展開圖，然后再折疊后進(jìn)行對照即可．也可用排除法，觀察正方體的表面展開圖，可發(fā)現(xiàn)分成4塊的面中的4個小正方形中有3塊的顏色是陰影，這就可排除A，再想象折疊的圖形，可知正方體被分成4塊的面的對面應(yīng)是陰影，這就可排除B、C，所以選D．【總結(jié)升華】培養(yǎng)空間想想能力的方法有兩種，一是通過動手操作來解決；二是通過想象進(jìn)行確定．正方體沿著棱展開，把各種展開圖分類，可以總結(jié)為如下11種情況．舉一反三：【變式】宜黃素有“華南虎之鄉(xiāng)”的美譽(yù)．將“華南虎之鄉(xiāng)美”六個字填寫在一個正方體的六個面上，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體中，和“虎”相對的字是________．【答案】“美”．類型四、點(diǎn)、線、面、體5．如圖，一個正五棱柱的底面邊長為2cm，高為4cm．（1）這個棱柱共有多少個面？計算它的側(cè)面積；（2）這個棱柱共有多少個頂點(diǎn)？有多少條棱？（3）試用含有n的代數(shù)式表示n棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)與棱的條數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形可得側(cè)面的個數(shù)，再加上上下底面即可；（2）頂點(diǎn)共有10個，棱有5×3條；（3）根據(jù)五棱柱頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)與棱的條數(shù)進(jìn)行總結(jié)即可．【答案與解析】解：（1）側(cè)面有5個，底面有2個，共有5+2=7個面；側(cè)面積：2×5×4=40（cm2）．（2）頂點(diǎn)共10個，棱共有15條；（3）n棱柱的頂點(diǎn)數(shù)2n；面數(shù)n+2；棱的條數(shù)3n．【總結(jié)升華】此題主要考查了認(rèn)識立體圖形，關(guān)鍵是掌握常見的立體圖形的形狀．6.將如右圖所示的兩個平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，對其所得的立體圖形，下列說法正確的是（）A．主視圖相同B．左視圖相同C．俯視圖相同D．三種視圖都不相同【答案】D【解析】首先考慮三角形和長方形旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的形狀，然后再根據(jù)兩種幾何體的三視圖做出判斷．【總結(jié)升華】“面動成體”，要充分發(fā)揮空間想象能力判斷立體圖形的形狀．舉一反三：【變式】（2015春?海安縣校級期中）將如圖所示放置的一個直角三角形ABC，（∠C=90°），繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的正視圖是下面四個圖中的（） A． B． C． D． 【答案】C二、直線、射線、線段基礎(chǔ)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解直線、射線、線段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2.利用直線、線段的性質(zhì)解決相關(guān)實際問題；3．利用線段的和差倍分解決相關(guān)計算問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直線1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實際事物進(jìn)行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點(diǎn)的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線．要點(diǎn)詮釋：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．（2）直線沒有粗細(xì)．（3）兩點(diǎn)確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個交點(diǎn)．4.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A．（2）點(diǎn)在直線外，如圖4，點(diǎn)B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點(diǎn)B．要點(diǎn)二、線段1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點(diǎn)的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．3.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．如圖6所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．圖6圖6要點(diǎn)詮釋：（1）線段是直的，它有兩個端點(diǎn)，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．（2）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．（3）線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點(diǎn)重合，另一個端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．5.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖7所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．圖圖7要點(diǎn)詮釋：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．要點(diǎn)三、射線1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)．如圖8所示，直線l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)．圖8圖82.特征：是直的，有一個端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點(diǎn)，另一個是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．要點(diǎn)詮釋：(1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線．圖9圖9(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖10圖10要點(diǎn)四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表要點(diǎn)詮釋：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．【典型例題】類型一、相關(guān)概念1.下列說法中，正確的是()A．射線OA與射線AO是同一條射線B．線段AB與線段BA是同一條線段C．過一點(diǎn)只能畫一條直線D．三條直線兩兩相交，必有三個交點(diǎn)【答案】B【解析】射線OA的端點(diǎn)是O，射線AO的端點(diǎn)是A，所以射線OA與射線AO不是同一條射線，故A錯誤；過一點(diǎn)能畫無數(shù)條直線，所以C錯誤；三條直線兩兩相交，有三個交點(diǎn)或一個交點(diǎn)(三條直線相交于一點(diǎn)時)，所以D錯誤；線段AB與線段BA是同一條線段，所以B正確．【總結(jié)升華】直線和線段用兩個大寫字母表示時，與字母的前后順序無關(guān)，但射線必須是表示端點(diǎn)的字母寫在前面，不能互換．舉一反三：【變式1】以下說法中正確的是

（）A．延長線段AB到CB．延長射線ABC．直線AB的端點(diǎn)之一是AD．延長射線OA到C【答案】A【變式2】如圖所示，請分別指出圖中的線段、射線和直線的條數(shù)，并把它們分別表示出來.【答案】解：如下圖所示，在直線上點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)C右側(cè)分別任取點(diǎn)X和Y.圖中有6條射線：射線AX、射線AY、射線BX、射線BY、射線CX、射線CY.有3條線段：線段AB(或BA)、線段BC(或CB)、線段AC(或CA)有1條直線：直線AC(或AB，BC).類型二、有關(guān)作圖2．如圖所示，線段a，b，且a＞b．用圓規(guī)和直尺畫線段：(1)a+b；(2)a-b．【答案與解析】解：(1)畫法如圖(1)，畫直線AF，在直線AF上畫線段AB＝a，再在AB的延長線上畫線段BC＝b，線段AC就是a與b的和，記作AC＝a+b．(2)畫法如圖(2)，畫直線AF，在直線AF上畫線段AB＝a，再在線段AB上畫線段BD＝b，線段AD就是a與b的差，記作AD＝a-b．【總結(jié)升華】在畫線段時，為使結(jié)果更準(zhǔn)確，一般用直尺畫直線，用圓規(guī)量取線段的長度．舉一反三：【變式1】如圖，C是線段AB外一點(diǎn)，按要求畫圖：（1）畫射線CB；（2）反向延長線段AB；（3）連接AC，并延長AC至點(diǎn)D，使CD=AC．【答案】解：【變式2】用直尺作圖：P是直線a外一點(diǎn)，過點(diǎn)P有一條線段b與直線a不相交.【答案】解：類型三、有關(guān)條數(shù)及長度的計算3.如圖，A、B、C、D為平面內(nèi)任意三點(diǎn)都不在同一條直線上的四點(diǎn)，那么過其中兩點(diǎn)，可畫出條直線.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線即可計算出直線的條數(shù)．【答案】6條直線【解析】由兩點(diǎn)確定一條直線知，點(diǎn)A與B,C,D三點(diǎn)各確定一條直線，同理點(diǎn)B與C、D各確定一條直線，C與D確定一條直線，綜上：共有直線：3+2+1=6（條）.【總結(jié)升華】平面上有個點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：．舉一反三：【變式1】如圖所示，已知線段AB上有三個定點(diǎn)C、D、E．(1)圖中共有幾條線段？(2)如果在線段CD上增加一點(diǎn)，則增加了幾條線段？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【答案】解：(1)線段的條數(shù)：4＋3＋2＋1＝10(條)；(2)如果在線段CD上增加一點(diǎn)P，則P與其它五個點(diǎn)各組成一條線段，因此，增加了5條線段.（注解：若在線段AB上增加一點(diǎn)，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點(diǎn)，則又增加了3條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當(dāng)線段AB上增加到n個點(diǎn)(即增加n－2個點(diǎn))時，線段的總條數(shù)為1＋2＋……＋(n－1)＝n(n－1).）【變式2】)如圖直線m上有4個點(diǎn)A、B、C、D，則圖中共有________條射線．【答案】84.（2016春?啟東市月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC=7cm，BC=5cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求MN的長度．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)AC、BC的長求出MC與CN的長，由MC+CN求出MN的長即可．【答案與解析】解：∵AC=7cm，BC=5cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=3.5cm，CN=BC=2.5cm，則MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm）．【總結(jié)升華】此題考查了線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)定義是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】在直線l上按指定方向依次取點(diǎn)A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4，如圖所示，若AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是15cm，求AB的長.【答案】解：依題意，設(shè)AB＝2xcm，那么BC＝3xcm，CD＝4xcm．則有：MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15解得：所以AB=2x=cm.類型四、最短問題5.（2015?新疆）如圖所示，某同學(xué)的家在A處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線（） A．A→C→D→B B． A→C→F→B C． A→C→E→F→B D． A→C→M→B【答案】B．【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的線段最短，可得C、B兩點(diǎn)之間的最短距離是線段CB的長度，所以想盡快趕到書店，一條最近的路線是：A→C→F→B．【總結(jié)升華】“兩點(diǎn)之間線段最短”在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，此類問題要與線段的性質(zhì)聯(lián)系起來，這里線段最短是指線段的長度最短，連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離，線段是圖形，線段長度是數(shù)值．舉一反三：【變式】(1)如圖1所示，把原來彎曲的河道改直，A、B兩地間的河道長度有什么變化?(2)如圖2，公園里設(shè)計了曲折迂回的橋，這樣做對游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響?與修一座直的橋相比，這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程?說出上述問題中的道理．【答案】解：(1)河道的長度變小了．(2)由于“兩點(diǎn)之間，線段最短”，這樣做增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞湖面風(fēng)光，起到“休閑”的作用．【典型例題】類型一、有關(guān)概念1.如圖所示，指出圖中的直線、射線和線段．【思路點(diǎn)撥】從圖上看，A、D、F分別是線段CB、BC、BE的延長線上的點(diǎn)，也就是說，A、D、F三點(diǎn)的位置并不是完全確定的．此時，我們也就能分清楚圖中的直線、射線和線段了．【答案與解析】解：直線有一條：直線AD；射線有六條：射線BA、射線BD、射線CA、射線CD、射線BF、射線EF；線段有三條：線段BC、線段BE、線段CE．【總結(jié)升華】在表示線段和直線時，兩個大寫字母的順序可以顛倒．然而，在敘述線段的延長線的時候，表示線段的兩個大寫字母的順序就不能顛倒了，因為線段向一方延伸后就形成了射線(延長部分已不再是線段本身了)，而表示射線的兩個大寫字母的順序是不能顛倒的，只能用第一個字母表示射線的端點(diǎn)，第二個字母表示射線方向上的任一點(diǎn)．舉一反三：【變式】兩條不同的直線，要么有一個公共點(diǎn)，要么沒有公共點(diǎn)，不能有兩個公共點(diǎn).這是為什么?畫圖說明.【答案】解：∵過兩點(diǎn)有且只有一條直線.（或兩點(diǎn)確定一條直線.）∴兩條不同的直線，要么有一個公共點(diǎn)，如圖（1）；要么沒有公共點(diǎn)，如圖（2）；不能有兩個公共點(diǎn).類型二、有關(guān)作圖2．（2016春?高青縣期中）已知平面上四點(diǎn)A、B、C、D，如圖：（1）畫直線AD；（2）畫射線BC，與AD相交于O；（3）連結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)F．【思路點(diǎn)撥】（1）畫直線AD，連接AD并向兩方無限延長；（2）畫射線BC，以B為端點(diǎn)向BC方向延長交AD于點(diǎn)O；（3）連接各點(diǎn)，其交點(diǎn)即為點(diǎn)F．【答案與解析】解：如圖所示：【總結(jié)升華】本題主要考查直線、射線、線段的認(rèn)識，掌握直線、射線、線段的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列說法正確的有()①射線與其反向延長線成一條直線；②直線a、b相交于點(diǎn)m；③兩直線相交于兩個交點(diǎn)；④直線A與直線B相交于點(diǎn)MA．3個B．2個C．1個D．4個【答案】C【變式2】下列說法中，正確的個數(shù)有()①已知線段a，b且a-b＝c，則c的值不是正的就是負(fù)的；②已知平面內(nèi)的任意三點(diǎn)A，B，C則AB+BC≥AC；③延長AB到C，使BC＝AB，則AC＝2AB；④直線上的順次三點(diǎn)D、E、F，則DE+EF＝DF．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C類型三、個（條）數(shù)或長度的計算3.根據(jù)題意，完成下列填空．如圖所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個交點(diǎn)，如果在這個平面內(nèi)，再畫第3條直線，那么這3條直線最多有________個交點(diǎn)；如果在這個平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有________個交點(diǎn)．由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有________個交點(diǎn)，n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有________個交點(diǎn)(用含有n的代數(shù)式表示)．【答案】3，6，15，.【解析】本題探索過程要分兩步：首先要填好3條直線最多可有2+1＝3個交點(diǎn)，再類推4條直線，5條直線，6條直線的情形所得到的和式，其次再研究這些和式的規(guī)律，得出一般性的結(jié)論．【總結(jié)升華】n(n為大于1的整數(shù))條直線的交點(diǎn)最多可有：個舉一反三：【變式1】平面上有個點(diǎn)，最多可以確定條直線【答案】【變式2】一條直線有個點(diǎn)，最多可以確定條線段，條射線【答案】，【變式3】一個平面內(nèi)有三條直線，會出現(xiàn)幾個交點(diǎn)?【答案】0個，1個，2個，或3個.4.已知線段AB＝14cm，在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC＝4cm，M是線段AC的中點(diǎn)，求線段AM的長．【思路點(diǎn)撥】題目中只說明了A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，無法判定點(diǎn)C在線段AB上，還是在線段AB外(也就是在線段AB的延長線上)．所以要分兩種情況求線段AM的長．【答案與解析】解：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，如圖所示．因為M是線段AC的中點(diǎn)，所以．又因為AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，所以．②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時，如圖所示．因為M是線段AC的中點(diǎn)，所以．又因為AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，所以9(cm)．所以線段AM的長為5cm或9cm．【總結(jié)升華】在解答沒有給出圖形的問題時，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當(dāng)我們面臨的教學(xué)問題無法確定是哪種情形時，就要分類討論．舉一反三：【變式】（2015秋?泰安校級月考）已知A，B，C為直線l上的三點(diǎn)，線段AB=9cm，BC=1cm，那么A，C兩點(diǎn)間的距離是．【答案】8cm或10cm．解：分兩種情況：①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，則AC=AB﹣BC=9﹣1=8（cm）；②如圖2，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，AC=AB+BC=9+1=10（cm）．故答案為：8cm或10cm．類型四、路程最短問題5.（2015春?嵊州市期末）某公司員工分別在A、B、C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有30人，C區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（） A．A區(qū) B． B區(qū) C． C區(qū) D． A、B兩區(qū)之間【答案】B．【解析】解：①設(shè)在A區(qū)、B區(qū)之間時，設(shè)距離A區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30x+30（100﹣x）+10（100+200﹣x），=30x+3000﹣30x+3000﹣10x，=﹣10x+6000，∴當(dāng)x最大為100時，即在B區(qū)時，路程之和最小，為5000米；②設(shè)在B區(qū)、C區(qū)之間時，設(shè)距離B區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200﹣x），=3000+30x+30x+2000﹣10x，=50x+5000，∴當(dāng)x最大為0時，即在B區(qū)時，路程之和最小，為5000米；綜上所述，?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在B區(qū)．【總結(jié)升華】本題是線段的概念在現(xiàn)實中的應(yīng)用，根據(jù)題意分別計算?？奎c(diǎn)分別在各點(diǎn)時員工步行的路程和，選擇最小的即可得解.舉一反三：【變式】如圖，從A到B最短的路線是（）A．A-G-E-BB．A-C-E-BC．A-D-G-E-BD．A-F-E-B【答案】D三、角基礎(chǔ)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3．會利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進(jìn)行有關(guān)計算；5.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算；6．了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時要向高一位進(jìn)位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分線從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補(bǔ)角，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α)．顯然一個銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。要點(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【典型例題1】類型一、角的概念及表示1.下列語句正確的是()．A．兩條直線相交，組成的圖形叫做角．B．兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角．C．兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角．D．過同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個重要元素，即兩條射線間的相對位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要區(qū)別．舉一反三：【變式】判斷下列說法是否正確(1)兩條射線組成的圖形叫做角()(2)平角是一條直線()(3)周角是一條射線()【答案】(1)×(2)×(3)×2.寫出圖中(1)能用一個字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角；(3)圖中共有幾個角(小于180°).【答案與解析】解：(1)能用一個字母表示的角∠A、∠C．(2)以B為頂點(diǎn)的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)圖中共有7個角．【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個角時，才可以用一個字母表示；(2)一般數(shù)角時不包括平角和大于平角的角．類型二、角度制的換算3.(1)把25.72°用度、分、秒表示；(2)把45°12′30″化成度（精確到百分位）．【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72°中含有兩部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)題中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已經(jīng)是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案與解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)，所以45°12′30″≈45.21°．【總結(jié)升華】無論由高級單位向低級化還是由低級單位向高級化，都必須逐級進(jìn)行，“越級”化單位容易出錯．舉一反三：【變式】(1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″轉(zhuǎn)化成度表示的形式．【答案】解：(1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°提示：在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計算。類型三、角的比較與運(yùn)算4.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大?。?用“＞”連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角∠α、∠β均為銳角，因此，在不能測量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，讓∠α與∠β始邊重合，觀察終邊的位置來比較角的大小．圖2中的三個角按角的分類，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來．【答案與解析】解：(1)如圖所示，將∠α平移使∠α的始邊與∠β的始邊重合，發(fā)現(xiàn)∠α落在∠β內(nèi)部，因此∠β＞∠α．(2)由圖可知∠1是銳角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是鈍角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形觀察角的不同分類，按照常見的銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角來比較大?。e一反三：【變式】已知∠AOB(如圖所示)，畫一個角等于這個角．【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；(2)畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧l，交O′A′于點(diǎn)C′；(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧l于點(diǎn)D′；(4)過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．5.如圖所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分線，求∠AOD的度數(shù)．【答案與解析】解：因為OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分線，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時根據(jù)兩點(diǎn)：若OB是∠AOC的平分線，則①∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解題時要學(xué)會靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠AOC=80°，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分線的定義)∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=×80=40.即∠MON=40.類型四、余角和補(bǔ)角6.（2016春?曹縣校級月考）一個角的補(bǔ)角比這個角的余角的2倍還多40°，求這個角的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】這類題目要先設(shè)出這個角的度數(shù)．設(shè)這個角為x°，分別寫出它的余角和補(bǔ)角，根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個角的度數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這個角為x°，則其余角為（90﹣x）°，補(bǔ)角為（180﹣x）°，依題意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：這個角的度數(shù)是40°．【總結(jié)升華】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2015?金華）已知∠α=35°，則∠α的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A．55° B． 65° C． 145° D． 165°【答案】C．類型五、方位角7.A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是()．A．南偏東60°B．南偏西60°C．南偏東30°D．南偏西30°【答案】D【解析】依題意畫出示意圖．由圖可知，圖中∠1即表示從A看B的北偏東30°，∠2是從B看A的方位角．由此可確定從B看A是南偏西30°．【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程，其方向是一種“相反”的對應(yīng)關(guān)系．方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來．舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時小王家在小軍家的________方向．【答案】北偏西30°類型六、鐘表上有關(guān)夾角問題8.（2015?丹東模擬）如圖是一個時鐘的鐘面，下午1點(diǎn)30分，時鐘的分針與時針?biāo)鶌A的角等于．【答案】135°．【解析】解：30°×（4+）=30=135°.【總結(jié)升華】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份30°，根據(jù)每份的度數(shù)乘以時針與分針相距的份數(shù)，可得答案．本題考查了鐘面角，每份的度數(shù)乘以時針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】2時48分時針與分針的夾角．【答案】解法1：如圖(2)，設(shè)2時48分時針與分針的夾角為∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)＝360°-204°＝156°解法2：如圖(2)∠BOD＝30°×4＝120°，∠COD＝2×6°＝12°，∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2時48分時針與分針的夾角為156°．【典型例題2】類型一、角的比較與運(yùn)算1.利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180°的角，試一一畫出來．【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案與解析】解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七個度數(shù)的角，畫法如圖所示．【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫出11個度數(shù)的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．2.計算下列各題：(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．【答案與解析】解：(1)解法一：∵20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵152°49′12″＝152.82°，∴152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)將82°化為81°59′60″，則∴82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″，324′+7′＝5°31′，∴35°36′47″×9＝320°31′3″．∴41°37′÷3=13°52′20″．【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60″進(jìn)1′，滿60′進(jìn)1°；對于除法運(yùn)算則是從度開始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入．舉一反三：【變式】計算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．3.（2016春?龍口市期中）如圖，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度數(shù)；（2）若∠AOB=α其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（3）若∠AOC=β（β為銳角）其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從上面結(jié)果中看出有什么規(guī)律？【思路點(diǎn)撥】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根據(jù)角平分線的概念分別進(jìn)行計算即可求得；（2）和（3）均根據(jù)（1）的計算方法進(jìn)行推導(dǎo)即可．（4）根據(jù)（2）和（3）中的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)．【答案與解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）從上面的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)：∠MON的大小只和∠AOB得大小有關(guān)，與∠A0C的大小無關(guān)．【總結(jié)升華】能夠結(jié)合圖形表示角之間的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線的概念運(yùn)用幾何式子表示角之間的倍分關(guān)系．舉一反三：【變式】如圖，∠AOB的平分線OM,ON為∠MOA內(nèi)的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線。某同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真分析，得到一個關(guān)系式是∠MON=（∠BON－∠AON），你認(rèn)為這個同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請把得到這個結(jié)論的過程寫出來。【答案】解：正確，理由如下：∵∠AOB的平分線OM，∴∠AOM=∠MOB又∵∠MON=∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON)－∠AON即有∠MON=∠BON－∠MON－∠AON∴2∠MON=∠BON－∠AON∴∠MON=（∠BON－∠AON）類型二、余角與補(bǔ)角4.已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線．(1)當(dāng)點(diǎn)C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖①所示)時．試說明∠BOE＝2∠COF；(2)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E、F在直線AB的兩旁(如圖②所示)時(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請給出你的結(jié)論并說明理由；(3)將如圖②中的射線OF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)m°(0＜m＜180)，得到射線OD，設(shè)∠AOC＝n°，若∠BOD＝，則∠DOE的度數(shù)是多少?(用含n的式子表示)【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來說明理由．【答案與解析】解：(1)如圖①，設(shè)∠COF＝α，則∠EOF＝90°-α因為OF是∠AOE的平分線所以∠AOF＝90°-α所以∠AOC＝(90°-α)-α＝90°-2α∠BOE＝180°-∠COE-∠AOC＝180°-90°-(90°-2α)＝2α即∠BOE＝2∠COF(2)成立．如圖2設(shè)∠AOC＝β，則，所以∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-(90°-β)＝90°+β所以∠BOE＝2∠COF(3)因為∠DOE＝180°-∠AOE-∠BOD.故的度數(shù)是.【總結(jié)升華】根據(jù)角平分線，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計算．有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力．舉一反三：【變式1】如圖，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OD平分DAOB，OE在DBOC內(nèi)，且DBOE＝DEOC，DDOE＝70°，求DEOC的度數(shù).【答案】解：設(shè)∠EOC=°，則DBOE＝DEOC＝°，根據(jù)題意可得：.解得：.∴DEOC＝2DBOE＝80°.【變式2】（2015?百色）一個角的余角是這個角的補(bǔ)角的，則這個角的度數(shù)是（）A．30° B． 45° C． 60° D． 70°【答案】B．解：設(shè)這個角的度數(shù)為x，則它的余角為90°﹣x，補(bǔ)角為180°﹣x，依題意得：90°﹣x=（180°﹣x），解得x=45°．類型三、方位角5.（2015?浦東新區(qū)三模）已知小島A位于基地O的東南方向，貨船B位于基地O的北偏東50°方向，那么∠AOB的度數(shù)等于．【答案】85°．【解析】解：如圖：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案為：85°．【總結(jié)升華】本題主要考查了方位角的概念，根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出A，B的方位，注意東南方向是45度是解答此題的關(guān)鍵．類型四、鐘表上有關(guān)夾角問題6.在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線?【答案與解析】解：設(shè)7時x分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得：，．答：7時分鐘時針與分針成一條直線．【總結(jié)升華】時鐘上的分針與時針繞著中心順時針均勻轉(zhuǎn)動，在不同時刻，兩針之間形成一定的角度．如果把單位時間分針和時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)當(dāng)作它們的速度則：分針的速度為＝6°/分；②時針的速度為＝0.5°/分．故分針?biāo)俣仁菚r針?biāo)俣鹊?2倍．舉一反三：【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購物，表上的時針和分針的夾角恰為110°，下午近7點(diǎn)回家時，發(fā)現(xiàn)表上的時針和分針的夾角又是110°，試算出此人外出用了多長時間?【答案】解法一：設(shè)此人外出用了x分鐘，則分針轉(zhuǎn)了6x度，時針轉(zhuǎn)了0.5x度．根據(jù)題意得：6x-0.5x＝110×2，解之得x＝40．答：此人外出購物用了40分鐘的時間．解法二：設(shè)時針從某人外出到回家走了x°，則分針走了（110＋110+x）°，則：

110＋x＋110＝12x，

解得x＝20．

又∵時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，

∴此人外出用的時間為：20÷0.5＝40（分鐘）．

答：此人外出購物用了40分鐘的時間．四、《幾何圖形初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．認(rèn)識一些簡單的幾何體的平面展開圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫法；3．初步學(xué)會應(yīng)用圖形與幾何的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題；4．逐步掌握學(xué)過的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語句畫出相應(yīng)的圖形，會用語句描述簡單的圖形．【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、多姿多彩的圖形幾何圖形的分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形要點(diǎn)詮釋：在給幾何體分類時，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果.2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來．要點(diǎn)詮釋：①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉，例如正方體的11種展開圖，三棱柱，圓柱等的展開圖；②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實物，展開想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動手實踐.（2）從不同方向看：主（正）視圖---------從正面看幾何體的三視圖左視圖-----從左（右）邊看俯視圖---------------從上面看要點(diǎn)詮釋：①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)動成線，線與線相交成點(diǎn)；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.要點(diǎn)二、直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．要點(diǎn)詮釋：①本知識點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)間的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：要點(diǎn)詮釋：①線段中點(diǎn)的等價表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).要點(diǎn)三、角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個角的頂點(diǎn)有多個角的時候，不能用頂點(diǎn)的一個大寫字母來表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．角的互余互補(bǔ)關(guān)系余角補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角(或補(bǔ)角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.4．方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.本套“基礎(chǔ)知識詳解”資料特色是知識點(diǎn)分析匯總，題目比較基礎(chǔ)，完全不同于《初中數(shù)學(xué)典型題思路分析》，是購買典型題書贈送的資料之一。贈送文本為word，按照課本章節(jié)分類，有初中全套且群內(nèi)會陸續(xù)分享，敬請關(guān)注！《初中數(shù)學(xué)典型題思路分析》說明

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