第講矩陣的初等變換及線性方程

Ch3矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換

本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效法．再利用矩陣的秩反過(guò)來(lái)研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．內(nèi)容豐富，難度較大.

引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．二、矩陣的初等變換換法變換倍法變換消法變換矩陣的初等行變換（i）對(duì)調(diào)兩行（i

i）以數(shù)乘某一行中的所有元素（i

i

i）把某一行所有元素的倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去矩陣的初等列變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．逆變換初等變換注：二、幾種特殊的矩陣1.等價(jià)矩陣行等價(jià)矩陣如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成矩陣，則稱與行等價(jià)，記作：列等價(jià)矩陣如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等列變換變成矩陣，則稱與列等價(jià)，記作：反身性傳遞性對(duì)稱性等價(jià)矩陣如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，則稱與等價(jià)，記作：例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)用矩陣的初等行變換解方程組（1）：特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．2.行（列）階梯形矩陣b.這些非零元所在列的其它元素都為0．3.行（列）最簡(jiǎn)形矩陣特點(diǎn)：a.非零行的第一個(gè)非零元為1;分析B5，注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0．如，4.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形特點(diǎn)：例如，注：5.增廣矩陣系數(shù)矩陣常數(shù)項(xiàng)特點(diǎn)：所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換思考題已知四元齊次方程組及另一四元齊次方程組的通解為思考題解答解三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：三、初等矩陣的概念定義：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方

陣稱為初等矩陣.第二節(jié)課：初等矩陣性質(zhì)：

性質(zhì)：性質(zhì)：

初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣注：

定理1：設(shè)是一個(gè)矩陣，四、主要結(jié)論（i）對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；（ii）對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.

定理2：存在有限個(gè)初等矩陣方陣可逆推論1：五、初等矩陣的應(yīng)用利用初等變換求逆矩陣解：例１注：10本題也可用初等列變換法求解，即：構(gòu)造，對(duì)實(shí)施初等列變換，20用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆即初等行變換2.例２解：列變換行變換注：小結(jié)：1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.行等價(jià)矩陣、列