常微分方程25一階隱式微分方程

§2.5

一階隱式微分方程一階顯式微分方程一階隱式微分方程例

求解微分方程1解：方程右端分解因式，得從而得到兩個方程故原方程的通解可以表示為通解也可以表示為2一、可解出y或x的方程與微分法從方程中解出得到這里設有連續(xù)偏導數,關于

解法：引進參數則方程變?yōu)?/p>

將上式兩邊對求導，得3若求出方程的通解為代入原方程得通解為若還有解代入得特解情形1：情形2：4情形3：若能求出通積分，同理若解出x，完全類似。則得到參數形式的通積分其中是參數。則得到參數形式的解如果還有解5例１(微分法)：求解方程解：令則原方程可寫成兩邊對x求導得到整理化簡后得方程6對

積分得該方程的通解為得原方程的一個解又從

得另一個解

又得方程的一個解

7Clairaut方程特點：關于能解出的一階隱式方程，二階連續(xù)可微，且利用微分法求解此方程.令

,對x求導得

當時,有,因此通解為

時,得到方程的一個特解

當8二、不顯含x或y的方程與參數法若方程

的左端不顯含x，解法：引進參數則方程變?yōu)?/p>

引入參數t將上式用參數曲線表示為就可以得出微分方程用參數形式表示的解。下面只須求出x關于t的參數方程9由參數的微分法知

故

積分得方程的解為10例(參數法)求微分方程

解：令

解得

由于

積分得

故原方程參數形式的通解為消去此參數t,得到通解為11三、奇解與包絡在P

點任何一個鄰域內方程如果對每一點的解在P

點與相切，都有一個不同于

則稱為微分方程的奇解。設一階隱式方程有一個特解

12奇解存在的必要條件：定理2.4設對連續(xù)，且對有連續(xù)的偏導數和是微分方程的一個奇解，并且若函數P-判別式。則奇解滿足一個聯(lián)立方程組：消去得到方程在平面上確定的曲線稱為P-判別曲線。13奇解存在的充分條件：定理2.5設對二階連續(xù)可微,且由微分方程的P--判別式得到的函數是微分方程的解.若條件是微分方程的奇解.成立,則14例：討論方程的奇解。解：對方程有

它的P

判別式為

又從兩個方程消去p

得是奇解。因此是方程的解。顯然15例：單參數曲線族

表示圓心為（a,0）在L上每一點都有曲線族上的某一曲線與之相切，給定以c為參數的曲線族及曲線L，如果并且在L的每一段上都有曲線族的無窮多條曲線與之相切。我們就把這條曲線L稱為曲線族的包絡。半徑為定長r

的一族圓。

此曲線族有包絡及16例：求曲線

的包絡。

解：命

則

為了消去c將二式代入一式得由

得再由

得因此由C判別曲線分解成兩條直線，

和

不是包絡，

是包絡。

17內容小結隱式方程可解的形式P831（3,5），2（1,6），4（1,3）作業(yè)奇解和包絡或或18§2.7一階微分方程的應用1.曲線族的等角軌線設給定一個平面上以C

為參數的曲線族（2.7.1）我們設法求出另一個以k

為參數的曲線族（2.7.2）使得曲線族（2.7.2）中的任一條曲線與曲線族（2.7.1）中的每一條曲線相交時成定角樣的曲線族（2.7.2）是已知曲線族（2.7.1）則稱這的等角軌線族。19當時，稱曲線族例如：曲線族是曲線族的正交軌線族。例求拋物線族的正交軌線族。解：對方程兩邊關于x求導得由解出C

代入上式得曲線族在點處切線斜率為正交軌線族。是的20由于所求曲線族的曲線與中的曲線在正交，故滿足方程