-立體幾何中的向量方法(精)講義

1．兩個(gè)重要向量(1)直線的方向向量：直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的向量，一條直線的方向向量有_______個(gè)．(2)平面的法向量：直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有_____個(gè)，它們是共線向量．2．直線的方向向量與平面的法向量在確定直線和平面位置關(guān)系中的應(yīng)用(1)直線l1的方向向量為u1＝(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝λu2?______________________________；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?_____________________.(2)直線l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，則u⊥n?u·n＝0?______________________.若l⊥α，則u∥n?u＝kn?__________________________.(3)平面α的法向量為u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2?u1＝ku2?(a1，b1，c1)＝______________；若α⊥β，則u1⊥u2?u1·u2＝0?________________________.3．利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角：設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則(2)求直線與平面所成的角：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).(3)求二面角的大?。?Ⅰ)若AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))的夾角(如圖①所示)．(Ⅱ)設(shè)n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的大小(如圖②③)． ② ③2平面法向量的求法設(shè)出平面的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，利用其與該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，即數(shù)量積為0，列出方程組，兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，此時(shí)給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一個(gè)非零解，即得到這個(gè)法向量的坐標(biāo)．注意，賦值不同得到法向量的坐標(biāo)也不同，法向量的坐標(biāo)不唯一．2．利用空間向量求角要注意的問題(1)異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角都可以轉(zhuǎn)化成空間向量的夾角來求．(2)空間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同，如兩向量的夾角范圍是[0，π]，兩異面直線所成的角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)用平面的法向量求二面角時(shí)，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補(bǔ)兩種情況．例題1．如右圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1例題2．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC例題3(2012·遼寧卷)如圖，直三棱柱ABC—A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′—MN—C為直二面角，求λ的值．例題4如上右圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F【規(guī)律方法】(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵．(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．(3)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明．【例5】(2013·湖南卷)如右圖，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1變式思考(1)(2012·陜西卷)如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC—A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(2)(2013·全國大綱卷)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于●一種思想：轉(zhuǎn)化思想，即空間平行與垂直關(guān)系，空間角的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為空間向量的幾何運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合．●一個(gè)警示：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量的坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)．(2013·天津卷)如右圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，A