專題10.1直線的方程(學(xué)生版)

專題10.1直線的方程1.直線的傾斜角=1\*GB2⑴定義：當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.=2\*GB2⑵范圍：直線l傾斜角的范圍是0,π).2.直線的斜率=1\*GB2⑴定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用小寫字母k表示,即k=tanα.傾斜角是90°的直線斜率不存在.

=2\*GB2⑵坐標(biāo)法：經(jīng)過兩點P1x1,y當(dāng)x1=x2=3\*GB2⑶直線的方向向量：若P1(x1，y2)，P2(x2，y3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式y(tǒng)=kx+b(k為斜率，b不包含垂直于x軸的直線點斜式y(tǒng)-不包含垂直于x軸的直線兩點式y(tǒng)不包含與x軸平行或垂直的直線截距式xa+yb=1不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0所有直線【重要結(jié)論】1.傾斜角α與斜率k之間的函數(shù)關(guān)系k=tanα,α∈0,=1\*GB2⑴k∈R;=2\*GB2⑵斜率k在區(qū)間0,π2和π22.特殊位置的直線方程(1)與x軸重合的直線方程為：y=0(2)與y軸重合的直線方程為：x=0(3)經(jīng)過點(a,b)且平行與x軸的直線方程為：y(4)經(jīng)過點(a,b)且平行與y軸的直線方程為：x=a(5)經(jīng)過原點且斜率為k的直線方程為：y=kx.4.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程lll1kAl1kAl1k1=A1Bl1k1=A1B5.兩條直線的交點直線l1:A1x+B1y+C1=0(l1與l2的位置關(guān)系與方程組①相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；②平行?方程組無解；③重合?方程組有無數(shù)個解.6.距離距離公式使用條件兩點P1x1P求任意兩點間的距離點P0(xd=在求點到直線的距離時，直線的方程轉(zhuǎn)化為一般式兩條平行直線Ax+By+d=求平線直線間的距離，方程中x,y前的系數(shù)保持一致7.對稱問題=1\*GB2⑴點關(guān)于點對稱若兩點P1(x1,y1=2\*GB2⑵點關(guān)于線對稱若兩點P1(x1,y1)，P2(x2,=3\*GB2⑶線關(guān)于點對稱直線l1:Ax+By+C1=0A思路1：設(shè)直線l2:Ax+By+C2即:A思路2：從直線l1上任取兩個點M(x1,y1)，N(x=4\*GB2⑷線關(guān)于線對稱直線l1和l2關(guān)于直線=1\*GB3①l1//l2//l，此時直線l到直線l1②直線l1，l2，l三條直線交于一點，設(shè)交點為A，則在直線l1上任取一點P（異于點A），其關(guān)于直線l的對稱點P'在直線【重要結(jié)論】1.若所求直線過點P(x0,y0),且與直線2.若所求直線過點P(x0,y0),且與直線3．直線系方程=1\*GB2⑴與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0=2\*GB2⑵與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R)．=3\*GB2⑶過直線l1:A1x+B1y+C1=04．五種常用對稱關(guān)系(1)點(x,y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y)．(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y)，關(guān)于y軸的對稱點為(-x,y)．(3)點(x,y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y,x)，關(guān)于直線y=-x的對稱點為(4)點(x,y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a-x,y)，關(guān)于直線y＝(5)點(x,y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為1.【人教A版選擇性必修一習(xí)題2.1第4題P58】若點A(a,0)，B(0,b)，C(1,-1)(a>0,b<0)三點共線，則a-b的最小值等于

．2.【人教A版選擇性必修一習(xí)題2.2第13題P68】已知入射光線經(jīng)過點M(-3,4)，被直線l：x-y+?3?=?0反射，反射光線經(jīng)過點N(3,7)，則反射光線所在直線的方程為考點一考點一直線的傾斜角和斜率【方法儲備】1.求直線的斜率與傾斜角的值=1\*GB2⑴求傾斜角：利用k=tanα，已知斜率k求α；=2\*GB2⑵求斜率：=1\*GB3①定義式：已知傾斜角求斜率；=2\*GB3②坐標(biāo)式：已知直線上兩點，求斜率.=1\*GB2⑴數(shù)形結(jié)合：根據(jù)直線旋轉(zhuǎn)的范圍，求斜率的取值范圍；=2\*GB2⑵函數(shù)思想：結(jié)合函數(shù)k=tanα,α∈0,π2∪π2,π的圖象，由k的范圍求α的范圍，由=3\*GB2⑶轉(zhuǎn)化思想：在解決一些求代數(shù)式的取值范圍問題時，遇到形如y2-y1x2-x1結(jié)構(gòu)，可以轉(zhuǎn)化為兩點連線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合求取值范圍.注意：

=1\*GB2⑴直線傾斜角的范圍是0,π,根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時,要分0,π2與π2=2\*GB2⑵若直線的斜率不存在,則直線的傾斜角為π2,此時直線垂直于x軸.3.利用斜率證明三點共線的方法：已知Ax1,y1,Bx2【典例精講】例1.(2022·湖北省孝感市月考)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A(-1,1)，B(1,1)，C(2,3+1).若D為△ABC的邊AB上一動點，則直線CD的傾斜角α的取值范圍是

，直線CD的斜率k的取值范圍是

例2.(2022·浙江省杭州市月考)若ab>0，且A(a,0)，B(0,b)，C(-2,-2)三點共線，則ab的最小值為

．【拓展提升】練11(2023·湖南省郴州市月考)已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0)，若f(π4-x)=f(πA.π4 B.π3 C.2π3練12(2022·河北省石家莊市期中)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為

，

．考點二考點二直線的方程【方法儲備】1.求直線方程的常用方法：=1\*GB2⑴直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．=2\*GB2⑵待定系數(shù)法：=1\*GB3①先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程的恰當(dāng)形式，方程中含有待定的系數(shù)；=2\*GB3②再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，=3\*GB3③最后代入求出直線方程．注意：=1\*GB2⑴在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件.=2\*GB2⑵對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).2.定點問題=1\*GB2⑴直線方程含參數(shù)：可將方程轉(zhuǎn)化為Ax-x0+By-y0=0=2\*GB2⑵若直線過定點x0,y0，則直線的方程可設(shè)為Ax-x0+B【典例精講】

例3.(2023·北京市市轄區(qū)期中)已知直線l過點P(3,3)，且點A(-2,2)，B(4,-2)到直線l的距離相等，則直線l的方程為(

)A.3x-2y-3=0或2x+3y-15=0

B.2x-3y+3=0或3x-2y-3=0

C.2x-3y+3=0或2x+3y-15=0

D.2x+3y-15=0或2x+3y-2=0例4.(2022·安徽省黃山市模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(4,0)，若以線段OA為直徑的圓與直線y=2x在第一象限交于點B，則直線AB的方程是

．例5.(2023·重慶市聯(lián)考)若圓C：x2+(y-2)2=16關(guān)于直線ax+by-12=0對稱，動點P在直線y+b=0上，過點P引圓C的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N，則直線MN恒過定點Q，點A.(1,1) B.(-1,1) C.(0,0) D.(0,12)【拓展提升】練21(2023·甘肅省蘭州市期末)已知直線l的斜率為16，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，則直線l的斜截式方程為

．練22(2022·山東省濟寧市模擬)已知直線l1：kx+y=0過定點A，直線l2：x-ky+22+3k=0過定點B，l1與l2的交點為C，則練23(2022·浙江省溫州市聯(lián)考)（多選）已知直線l:2x+3y-12=0與x軸、y軸分別交于A，B兩點，直線m過AB的中點，若直線l，m及x軸圍成的三角形面積為6，則直線m的方程為(

)A.2x-3y=0 B.2x+9y=0

C.2x+9y-24=0 D.2x+3y=0考點三考點三直線方程的綜合應(yīng)用【方法儲備】直線有關(guān)的最值、范圍問題=1\*GB2⑴數(shù)形結(jié)合：在直角坐標(biāo)系中作出滿足條件的直線，通過直線繞定點旋轉(zhuǎn)，或斜率確定時平移直線，從而求得最值或范圍；=2\*GB2⑵代數(shù)法：=1\*GB3①顯化函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍；=2\*GB3②利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.【典例精講】例6.(2022·湖南省長沙市期末)設(shè)M-1,2，N2,-2，若動點Px,y，滿足PM+PN=5【拓展提升】練31(2022·江蘇省南通市月考)過點P(2,3)作直線分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△ABO面積的最小值為m，|OA|+|OB|的最小值為n，則m+n=

．練32(2023·安徽省蚌埠市月考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸，y軸的正半軸上，點A與坐標(biāo)原點重合，如圖所示．將矩形折疊，使點A落在線段DC上．(1)若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；(2)在(1)的條件下，若-18考點考點四兩直線的位置關(guān)系【方法儲備】1.兩條直線的平行與垂直=1\*GB2⑴當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.=2\*GB2⑵在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，要注意兩直線平行的條件.2.兩直線的交點與距離問題=1\*GB2⑴求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.=2\*GB2⑵求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式；求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.=3\*GB2⑶利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0,y0)到直線x=a的距離②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，3.對稱問題=1\*GB2⑴光的反射問題：轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題.=2\*GB2⑵直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.=3\*GB2⑶求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2：①在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l②設(shè)點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1,y2)(【典例精講】例7.(2023·湖北省武漢市月考)如果直線y=ax+2與直線y=3x-b關(guān)于直線y=x對稱，那么(

)A.a=13,b=6 B.a=13,b=-6例8.(2023·湖南省長沙市月考)（多選）已知直線l1：ax-3y+1=0，l2：x-by+2=0，則(

)A.若l1⊥l2，則ab=-3

B.若l1//?l2，則ab=3

C.若l1例9.(2022·吉林省長春市模擬)直線l的方程為(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R)，當(dāng)原點O到直線l的距離最大時，λ的值為(

)A.-1 B.-5 C.1 D.5【拓展提升】練31(2023·上海市市轄區(qū)期末)已知三條直線l1：x-2y+2=0，l2：x-2=0，l3：x+ky=0將平面分為六個部分，則滿足條件的k的值共有A.1個 B.2

個 C.3個 D.無數(shù)個練32(2023·湖北省荊州市模擬)已知定點A(3,1)，動點M、N分別在直線y=x和y=0上運動，則△AMN的周長取最小值時點M的坐標(biāo)為

．練33(2023·江西省宜春市月考)（多選）如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則下列說法正確的是

(

)

A.直線AB的方程為x+y-4=0

B.原點O到直線AB的距離為2

C.點P關(guān)于直線AB對稱的點的坐標(biāo)為(4,2)

D.光線所經(jīng)過的路程是21.(2023·江蘇省揚州市聯(lián)考)已知A(-1,0)，B(0,2)，直線l：2x-2ay+3+a=0上存在點P，滿足|PA|+|PB|=5，則l的傾斜角的取值范圍是(

)A.[π3,2π3] B.[0,2.(2023·廣東省河源市月考)已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)=x2(x∈[0,+∞))的圖象關(guān)于直線y=x對稱，將函數(shù)g(x)圖象右移2個單位，下移2個單位得到函數(shù)h(x)的圖象，若P，Q分別為函數(shù)f(x)，h(x)圖象上的兩個動點，則這兩點間距離的最小值為

3.(2023·陜西省寶雞市期末)已知點P(x0,y0)不在直線l：Ax+By+C=0上，則點P到直線l的距離d=|Ax0+By0+C|A【答案解析】1.【人教A版選擇性必修一習(xí)題2.1第4題P58】解：因為A(a,0)，B(0,b)，C(1,-1)(a>0,b<0)三點共線，

所以kAC=kBC，

即0+1a-1=b+10-1，化簡可得ab+a-b=0，所以1等號當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=-2時成立，a-b的最小值為4.

故答案為4．2.【人教A版選擇性必修一習(xí)題2.2第13題P68】解：設(shè)M(-3,4)關(guān)于直線l：x-y+3=0的對稱點M'(a,b)，

則反射光線所在直線必過M'，

∴b-4a+3=-1-3+a2-b+42+3=0，即a=1b=0,故M'(1,0)例1.解：如圖，由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=?0，

kBC=3+1-12-1=3，kAC=

3+1-12-(-1)=33．

∴直線BC的傾斜角為60°．

∴直線AC的傾斜角為30°，

∵D為△ABC的邊AB上一動點，

例2.解：因為A，B，C三點共線，所以kAB=kAC，所以-ba=2a+2，所以b=-2aa+2．

所以ab=-2a2a+2>0，所以a<-2.設(shè)練11.解：由fπ4-x=fπ4+x知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=π4對稱，

所以f(0)=fπ2，所以-b=a，

則直線ax-by+c=0的斜率為練12.解：正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ=2由正方形性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ-45°，直線OC的傾斜角為θ+45°，故kOAkOC故答案為：13；-3

例3.解：由題可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-3=k(x-3)，即kx-y+3-3k=0．

由點A(-2,2)，B(4,-2)到直線l的距離相等，得|-2k-2+3-3k|k2+1=|4k+2+3-3k|k2+1，解得k=32或例4.解：因為O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(4,0)，

所以O(shè)A的中點坐標(biāo)為(2,0)，且|OA|=4，

所以以線段OA為直徑的圓的圓心為(2,0)，半徑r=2，

所以圓的方程為(x-2)2+y2=4，

聯(lián)立方程(x-2)2+y2=4y=2x，解得x=0y=0或x=45y=85例5.解：依題可得圓C：x2+(y-2)2=16的圓心C(0,2)在直線ax+by-12=0上，

所以2b-12=0，b=6，

設(shè)點P(t,-6)，則|PC|2=t2+(-6-2)2=t2+64，

故以PC為直徑的圓的方程為(x-t2)2+(y+2)練21.解：設(shè)直線l的方程為：y=16x+b(b≠0)，當(dāng)x=0時，y=b；當(dāng)y=0時，x=-6b；

由題意可得：12?|b|?|-6b|=3，解得：b=±1，

∴直線l的方程為：y=16x+1練22.解：對于直線l1：kx+y=0過定點A(0,0)，

對于直線l2：x-ky+22+3k=0可得x=-22，y=3，故定點(-22,3)，

∵l1與l2的交點為C，且l1⊥l2

∴CA2+CB2=AB2練23.解：由直線l:2x+3y-12=0，可得l與x軸、y軸分別交于A(6,0)，B(0,4)，則AB的中點P的坐標(biāo)為(6+02,0+42)，即P(3,2)．

當(dāng)直線m的斜率不存在時，圍成的三角形面積為3，不符合題意;

當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-3)即y=kx-3k+2且與x軸交于點C(xC,0)，

由直線l，m及x軸圍成的三角形面積為6，可得S△PAC=12|AC||yP|=1即2x-3y=0;

當(dāng)xC=12時，即點C(12,0)，此時k=2-03-12=-29，直線m的方程為2x+9y-24=0．

綜上可得，直線m的方程為例6.解：因為|MN|=(-1-2)2+(2+2)2=5，且|PM|+|PN|=5，

所以點P(x,y)在線段MN上.

方法一：因為kMN=-2-22+1=-43，

所以直線MN的方程為y-2=-43(x+1)，

即y=-43x+23，

所以點P的軌跡為線段：

y=-43x+23(-1≤x≤2)，

所以y+2x=-43x+23+2x=-43+83x，

當(dāng)-1≤x<0時，-43+83x≤-43-8練31.解：過點P(2,3)的直線分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交于A，B兩點，

所以該直線斜率k一定小于0．

設(shè)直線l:y=k(x-2)+3，A為直線與y軸交點，B為直線與x軸交點，

則A(0,3-2k)，B(2-3k,0)，

∴S=12|OA|?|OB|=12(3-2k)(2-3k)=(-2k)+(-92k)+6≥2(-2k)(-92k)+6=12，

當(dāng)且僅當(dāng)練32.解：(1)當(dāng)k=0時，此時點A與點D重合，折痕所在的直線方程為y=1當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后點A落在線段DC上的點記為Ga,1所以點A與點G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOG即1a?k=-1，交點a=-k，故點G的坐標(biāo)為從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)(線段OG的中點)為P-所以折痕所在的直線方程為y-12=k綜上所述，折痕所在的直線方程為y=kx+k(2)當(dāng)k=0時，折痕的長為2；當(dāng)-18≤k<0時，折痕所在的直線交BC交y軸于點N0,k2又因為-18≤k<0，所以綜上所述，折痕長的取值范圍為2,例7.解：在y=ax+2上取一點(0,2)，則由題意可得其關(guān)于直線y=x的對稱點(2,0)在y=3x-b上，

所以0=6-b，得b=6，在y=3x-6上取一點(0,-6)，

則其關(guān)于直線y=x的對稱點(-6,0)在y=ax+2上，所以0=-6a+2，得a=13，綜上a=1例8.解：若l1⊥l2，當(dāng)l2的斜率存在時，a3·1b=-1，則ab=-3；

當(dāng)l2的斜率不存在時，則a=0，b=0，故A錯誤；

若l1//l2，當(dāng)l2的斜率存在時，a3=1b，則ab=3；

當(dāng)l2的斜率不存在時，則b=0，l1，l2不可能平行，不符合題意，故B正確；

直線l1：ax-3y+1=0與x軸，y軸的交點分別為(-1a,0)，(0,13)，

則l1例9.解：由直線l：(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R)，得

λ(x+y-3)+(2x-y)=0，

聯(lián)立x+y-3=02x-y=0，解得x=1y=2,

∴直線l恒過定點(1,2)，

則原點O到直線l的距離的最大值為1-02+2-02=練31.解：因為三條直線l1：x-2y+2=0，l2：x-2=0，l3：x+ky=0將平面分為六個部分，

所以三條直線交于一點或兩條平行線與第三條直線相交，

當(dāng)三條直線交于一點時，聯(lián)立x-2y