函數(shù)的極值與最大（?。┲?第一課時(shí))（教學(xué)設(shè)計(jì)）

§5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲担ǖ谝徽n時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：極值的概念，了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)極值.內(nèi)容解析：（1）極值的概念：函數(shù)的極值本質(zhì)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).教學(xué)時(shí)可以用高臺(tái)跳水實(shí)例引入函數(shù)極值的討論，先讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，通過觀察圖形直觀形象的得到“局部最值"的初步想法，通過對(duì)比函數(shù)的最值，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“局部最值”不同于函數(shù)最值，是一個(gè)全新的概念，從而生成函數(shù)極值的概念.（2）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：學(xué)生對(duì)函數(shù)的極值有了初步的了解后，學(xué)生就會(huì)面臨難題，如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值呢？這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識(shí)和新概念的生成，但教師在教學(xué)中依然要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到利用導(dǎo)數(shù)來求極值是通過探究自然而然形成的.先讓學(xué)生觀察函數(shù)極值附近兩側(cè)的圖像變化，認(rèn)識(shí)到函數(shù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)圖像變化趨勢(shì)是相反的.學(xué)生知道圖象的上升與下降是用單調(diào)性來刻畫的，而函數(shù)單調(diào)性又可以用導(dǎo)數(shù)來刻畫的.從而，學(xué)生自然而然地就明白函數(shù)的極值可以借助導(dǎo)數(shù)來求解.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：結(jié)合函數(shù)圖像，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；理解函數(shù)極值的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值.通過觀察具體的函數(shù)圖像，學(xué)生直觀感知極值這一概念的生成過程，并積極主動(dòng)地參與探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)值變化之間的關(guān)系的活動(dòng)，親身經(jīng)歷用導(dǎo)數(shù)研究極值方法的過程.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性和優(yōu)越性，掌握極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)；通過體會(huì)成功，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度；通過規(guī)范地表達(dá)求函數(shù)極值的過程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣.目標(biāo)解析：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：能夠通過函數(shù)圖象判斷函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.能夠通過導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的極值點(diǎn).能夠利用導(dǎo)數(shù)研究解一元三次函數(shù)的極值.三、教學(xué)問題診斷分析1.教學(xué)問題一：為何可以利用導(dǎo)數(shù)直接判斷極值是第一個(gè)教學(xué)問題，也是教學(xué)難點(diǎn)，在沒有教師的引導(dǎo)下，導(dǎo)數(shù)介入函數(shù)的極值中是很難理解.因此，探究的起點(diǎn)應(yīng)從學(xué)生熟悉的公式或概念開始.學(xué)生對(duì)函數(shù)的極值有了初步的了解后，那么困惑產(chǎn)生了：如何求函數(shù)的極值呢?2.教學(xué)問題二：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件，而非充分條件.這個(gè)第二個(gè)教學(xué)問題，也是教學(xué)難點(diǎn).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件，求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.四、教學(xué)策略分析時(shí)，運(yùn)動(dòng)員距水面的高度t=a附近函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)性變化，教學(xué)時(shí)可以采用信息技術(shù)工具，放大函數(shù)在t=a的左側(cè)某點(diǎn)處的切線，當(dāng)切點(diǎn)沿函數(shù)圖象從的左側(cè)移動(dòng)至右側(cè)時(shí)，切線斜率由正數(shù)變到為0，再由0變到負(fù)數(shù).五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情景引入觀察廬山連綿起伏的圖片，思考廬山的山勢(shì)有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：學(xué)生間激烈地爭(zhēng)論著這個(gè)問題，教師再給出這節(jié)課要研究的角度，結(jié)合蘇軾在《題西林壁》中的詩(shī)句“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”，描述的是廬山的連綿起伏.由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的"峰點(diǎn)"與''谷點(diǎn)"，這就象數(shù)學(xué)上要研究的函數(shù)的極值.將學(xué)生從"要我學(xué)"被動(dòng)學(xué)習(xí)情緒激發(fā)到“我要學(xué)”的積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)欲望上來，學(xué)生能夠自覺地參與課堂教學(xué)的過程中來.探究新知探究新知[問題1]觀察下圖，圖1和圖2，函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？[問題2]觀察圖像，找出圖中的極值點(diǎn)，并說明哪些為極大值點(diǎn)，哪些為極小值點(diǎn)？[問題3]函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)唯一嗎？[問題4]區(qū)間的端點(diǎn)能成為極值點(diǎn)嗎？[問題5]極大值一定大于極小值嗎？[問題6]回看問題2的圖象，思考函數(shù)在極值點(diǎn)附近的圖象變化如何？[問題7]函數(shù)圖象的上升與下降可以用什么來刻畫？[問題8]函數(shù)單調(diào)性可以用什么來刻畫呢？[問題9]如何求極大值與極小值呢？教師1：提出問題1.學(xué)生1：學(xué)生觀察分析后發(fā)表自己的見解.師生共同總結(jié)：函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，它是一個(gè)局部的概念，不同于函數(shù)的最值，為了區(qū)分函數(shù)的最值，我們要加以新的定義.教師引導(dǎo)學(xué)生，給出極大值的概念：函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.學(xué)生通過類比，給出極小值的概念：函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.教師再?gòu)?qiáng)調(diào)：（1）極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值、極大值統(tǒng)稱為極值；（2）極值點(diǎn)是橫坐標(biāo),極值是縱坐標(biāo).（3）“在附近”的含義實(shí)際上指的是一個(gè)非常小的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)比小，右端點(diǎn)比“在附近”的含義.教師2：提出問題2.學(xué)生2：極大值點(diǎn)：b,d,f；極小值點(diǎn)：a,c,e.教師3：提出問題3.學(xué)生3：不唯一.教師4：提出問題4.學(xué)生4：不可以.教師5：提出問題5.學(xué)生5：，故極大值不一定大于極小值.教師6：提出問題6.學(xué)生6：在極大值點(diǎn)左側(cè)圖象上升，右側(cè)圖象下降；在極小值點(diǎn)左側(cè)圖象下降，右側(cè)圖象上升.教師7：提出問題7.學(xué)生7：函數(shù)的單調(diào)性.教師8：提出問題8.學(xué)生8：導(dǎo)數(shù)的符號(hào).教師9：提出問題9，利用幾何畫板演示，先作出函數(shù)圖象在t=a的左側(cè)某點(diǎn)處的切線，當(dāng)切點(diǎn)沿函數(shù)圖象從t=a的左側(cè)移動(dòng)至右側(cè)時(shí)，切線斜率由正數(shù)變到為0，再由0變到負(fù)數(shù).放大附近函數(shù)的圖像，請(qǐng)學(xué)生觀察幾何畫板展示的動(dòng)態(tài)過程，得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，.這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有.學(xué)生9:總結(jié)求函數(shù)極值的步驟：（1）先求的零點(diǎn)；（2）再利用口訣：先正后負(fù)是極大值；先負(fù)后正是極小值.讓學(xué)生將觀察分析得到的結(jié)論用科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)出來，有利于學(xué)生思維從感性層面提升到理性層面，培養(yǎng)歸納概括能力.采取問題進(jìn)行遞進(jìn)式分解，有利于學(xué)生思維的有序展開，螺旋上升.追問的設(shè)置有利于學(xué)生對(duì)概念的辨析和理解.讓學(xué)生經(jīng)歷可以利用導(dǎo)數(shù)求極值這一知識(shí)的自主建構(gòu)過程，借助圖象直觀，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象形成極值口訣，乘勢(shì)而上，讓學(xué)生自己總結(jié)求極值的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng).知識(shí)應(yīng)用例1.求函數(shù)的極值.[問題10]導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？易錯(cuò)點(diǎn)例題2：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，試找出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).教師10：展示例1，教師啟發(fā)學(xué)生思考.學(xué)生10：按照提示解題，教師規(guī)范解答過程.引導(dǎo)學(xué)生歸納用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)極值的步驟：第1步，求出函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將函數(shù)f(x)的定義域劃分成若干個(gè)開區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.教師11：提出問題10.學(xué)生11：函數(shù)f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．所以，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)是否相反.故導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).教師12：展示例2.學(xué)生12：利用求極值的三步曲來進(jìn)行判斷函數(shù)的極值點(diǎn).強(qiáng)調(diào)：導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)函數(shù)，它也可以有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).教師通過解答向?qū)W生示范如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.讓學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的良好習(xí)慣，學(xué)會(huì)探索利用列表法簡(jiǎn)潔明了的表達(dá)方式的方法.并讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件.通過該例題，讓學(xué)生能夠通過觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，利用求極值的三步曲，判斷出極值點(diǎn)的位置.也讓學(xué)生明白還可以根據(jù)極值點(diǎn)的定義來進(jìn)行判斷.課堂小結(jié)請(qǐng)學(xué)生總結(jié)一下本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法.教師引導(dǎo)學(xué)