蘇教版數(shù)學(xué)選修2-1講義第3章3.13.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示W(wǎng)ord版含答案

3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握空間向量的基本定理及其推論，理解空間向量的正交分解，掌握用基底表示空間向量的方法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.理解空間向量坐標(biāo)的定義，能用坐標(biāo)表示空間向量，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷兩個(gè)空間向量平行．(重點(diǎn))3.基向量的選取及應(yīng)用．(易錯(cuò)點(diǎn))1.借助空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2.通過(guò)空間向量基本定理的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．基底、基向量在空間向量基本定理中，e1，e2，e3是空間不共面的三個(gè)向量，則把{e1，e2，e3}稱為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作為基向量．3．正交基底、單位正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底．特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示．4．空間向量基本定理的推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\a\vs4\al(y\o(OB,\s\up8(→)))＋zeq\o(OC,\s\up8(→)).5．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；當(dāng)空間向量a的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)．(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量的加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量的減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R思考：(1)零向量能不能作為一個(gè)基向量？(2)當(dāng)基底確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組{x，y，z}是否唯一？[提示](1)不能．因?yàn)?與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面．(2)唯一確定．1．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1A.eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→)) B.eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AB1,\s\up8(→))C.eq\o(D1A1,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(D1D,\s\up8(→)) D.eq\o(AC1,\s\up8(→))，eq\o(A1C,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))C[由題意知，eq\o(D1A1,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(D1D,\s\up8(→))不共面，可以作為空間向量的一個(gè)基底．]2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2bA．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4) D．(8,0,4)D[4a＝(12，－8,4)，2b∴4a＋2b＝(8,0,4)．]3．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標(biāo)分別為_(kāi)_______．a(chǎn)＝(4，－8,3)b＝(－2，－3,7)[由題意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]4．設(shè)a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，則k＝________.－1[ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，∴eq\f(k＋2,－1)＝eq\f(2k－2,4)＝3k＋2，解得k＝－1.]基底的判斷【例1】(1)若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是________(填序號(hào))．①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．(2)若{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝2e1＋e2＋e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝e1－e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝ke1＋3e2＋2e3不能作為空間的一組基底，則k＝________.[思路探究](1)看各組向量是否共面，共面不能作為基底，否則可作基底；(2)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，利用共面向量定理求解．[解析](1)若c，a＋b，a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a，b，c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底．(2)因?yàn)閑q\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不能作為空間向量的一組基底，故eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面．由共面向量定理可知，存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OC,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2x＋y，,3＝x－y，,2＝x＋2y，))解得x＝eq\f(8,3)，y＝－eq\f(1,3)，k＝5.[答案](1)③(2)5基底的判斷判斷某一向量組能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見(jiàn)的幾何圖形進(jìn)行判斷．用基底表示空間向量【例2】如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(GH,\s\up8(→)).[思路探究]eq\x(\o(GH,\s\up8(→))＝\o(OH,\s\up8(→))－\o(OG,\s\up8(→)))→eq\x(用\o(OD,\s\up8(→))表示\o(OH,\s\up8(→)))→eq\x(用\o(OB,\s\up8(→))，\o(OC,\s\up8(→))表示\o(OD,\s\up8(→))，用\o(OA,\s\up8(→))，\o(AG,\s\up8(→))表示\o(OG,\s\up8(→)))→eq\x(用\o(AD,\s\up8(→))表示\o(AG,\s\up8(→)))→eq\x(用\o(OD,\s\up8(→))，\o(OA,\s\up8(→))表示\o(AD,\s\up8(→)))→eq\x(用\o(OB,\s\up8(→))，\o(OC,\s\up8(→))表示\o(OD,\s\up8(→)))[解]eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\o(OH,\s\up8(→))－eq\o(OG,\s\up8(→))，∵eq\o(OH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up8(→))，∴eq\o(OH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(b＋c)，eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)(b＋c)，∴eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)(b＋c)＝－eq\f(1,3)a，即eq\o(GH,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)a.用基底表示向量的技巧1．定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．2．找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變換、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．3．下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．1．如圖所示，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，P是CA1的中點(diǎn)，M是CD1的中點(diǎn)．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up8(→))；(2)eq\o(AM,\s\up8(→)).[解]如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，連接AC，AD1，(1)eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算[探究問(wèn)題]1．如何建立空間直角坐標(biāo)系？[提示](1)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題的前提是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，為便于坐標(biāo)的求解及運(yùn)算，在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要充分分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，應(yīng)使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，在能建系的情況下盡量建系化為坐標(biāo)運(yùn)算，并且按照右手直角坐標(biāo)系建系，如圖所示．2．如何運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題？[提示]運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)寫(xiě)出向量的坐標(biāo)；(4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．【例3】如圖，在長(zhǎng)方體OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點(diǎn)P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上，且SB1＝2BS，點(diǎn)Q，R分別是棱O1B1，AE的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.[思路探究]以O(shè)為原點(diǎn)，以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OO1,\s\up8(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，確定eq\o(PQ,\s\up8(→))，eq\o(RS,\s\up8(→))的坐標(biāo)，利用向量共線證明．[解]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分別是棱O1B1，AE的中點(diǎn)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).于是eq\o(PQ,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))＝eq\o(RS,\s\up8(→))，∴eq\o(PQ,\s\up8(→))∥eq\o(RS,\s\up8(→)).∵R?PQ，∴PQ∥RS.兩向量平行的充要條件有兩個(gè)：①a＝λb，②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2，,z1＝λz2，))依此既可以判定兩向量共線，也可以通過(guò)兩向量平行求待定字母的值．2．已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求證：四邊形ABCD是一個(gè)梯形．[證明]∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴eq\f(－2,4)＝eq\f(3,－6)＝eq\f(－3,6)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))共線，即AB∥CD.又∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴eq\f(0,－2)≠eq\f(－4,－1)≠eq\f(1,－2)，∴eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))不平行．∴四邊形ABCD為梯形．1．基底中不能有零向量．因零向量與任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量．2．空間幾何體中，要得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段所在直線為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo)．3．用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則．逐步向基向量過(guò)渡，直到全部用基向量表示．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若{a，b，c}為空間一個(gè)基底，且p＝xa＋yb＋zc.若p＝0，則x＝y(tǒng)＝z＝0.()(2)若三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面．()(3)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量eq\o(OP,\s\up8(→))的坐