微分方程穩(wěn)定性理論 數(shù)學(xué)建模課件

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something雖然動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化規(guī)律一般要用微分方程建立的動(dòng)態(tài)模型來(lái)描述，但是對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，建模的主要目的并不是尋求動(dòng)態(tài)過(guò)程每個(gè)瞬時(shí)的性態(tài)，而是研究某種意義下穩(wěn)定狀態(tài)的特征，特別是當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)以后動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì)。動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì)可能趨于穩(wěn)定，也可能在某些情況下會(huì)不穩(wěn)定。為了分析這種穩(wěn)定和不穩(wěn)定的規(guī)律，常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程的穩(wěn)定性理論，直接研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性即可。常微分方程的定性和穩(wěn)定性理論成為數(shù)學(xué)建模必備的基礎(chǔ)理論知識(shí)。微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介基本概念

考慮n維空間Rn中的向量值函數(shù)當(dāng)、時(shí)我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線，它描述質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位置。許多物理系統(tǒng)或社會(huì)系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡(jiǎn)記為，其中，通常稱之為自治的動(dòng)力系統(tǒng)。稱點(diǎn)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，若。

若為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn),則為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)奇解。

平衡點(diǎn)在對(duì)一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（漸近）穩(wěn)定的，若對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解,均有。稱n維空間Rn為相空間，在相空間確定的曲線稱為相軌線,簡(jiǎn)稱軌線。

例：求解微分方程的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性。

解：易得該微分方程組的唯一平衡點(diǎn)為；

由已知微分方程組可以得到，進(jìn)而，對(duì)該微分方程組的任一解，，因此，因此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。解：易知該微分方程組的唯一平衡點(diǎn)為O(0,0)。該方程組的解很容易求出，為（x(t)=et+C1,

y(t)=et+C2）顯然，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，解并不會(huì)趨于O(0,0)。故平衡點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定的。

例：求解微分方程的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性。

對(duì)于一個(gè)齊次的線性微分方程組

（為一階實(shí)方陣）

有如下結(jié)果：

定理若非退化，則是線性動(dòng)力系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)，且平衡點(diǎn)O是穩(wěn)定的充分必要條件為A的所有特征值的實(shí)部均小于0。

對(duì)于二維平面中（二階方程）的情形，根據(jù)平衡點(diǎn)的局部拓?fù)湫誀羁蓪⑵浞譃榻Y(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)以及中心等四類，其中鞍點(diǎn)、中心這兩種類型的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)類型的平衡點(diǎn)還可以分為穩(wěn)定與不穩(wěn)定的兩種情形。二階方程平衡點(diǎn)的拓?fù)浞诸惻c判別

平衡點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)，圖中箭頭方向表示當(dāng)t增加時(shí)的軌線方向。

1）軌線是拋物線型。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如左圖1（或圖2）的分布情況，稱該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定（或穩(wěn)定）結(jié)點(diǎn)。2）軌線是雙曲線型。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如右圖1（或圖2）的分布情況，稱該平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。

二階方程平衡點(diǎn)的拓?fù)浞诸悎D形3）軌線是以原點(diǎn)為中心的中心直線束。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如左圖1（或圖2）的分布情況，稱該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定（或穩(wěn)定）的臨界結(jié)點(diǎn)。4）軌線是波浪型。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如右圖1（或圖2）的分布情況，稱它是不穩(wěn)定的（或穩(wěn)定的）退化結(jié)點(diǎn)。

5）軌線是軌線是對(duì)數(shù)螺線族。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如左圖上半圖（或左圖下半圖）的分布情況，稱該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定（或穩(wěn)定）的焦點(diǎn)。6）軌線是軌線是以原點(diǎn)為中心的圓族。如果在平衡點(diǎn)附近的軌線具有如上圖的分布情況，稱該平衡點(diǎn)為中心。二階方程平衡點(diǎn)的判別就二階齊次線性微分方程組

下表給出其平衡點(diǎn)O(0,0)的類型和穩(wěn)定性其中A的二特征值λ1λ2p=-(a11+a22)q=|A|平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性λ1<

λ2<0p>0,q>0,p2>4q穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

穩(wěn)定λ1>

λ2>0p<0,q>0,p2>4q不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

不穩(wěn)定λ1<0<

λ2

q<0鞍點(diǎn)不穩(wěn)定λ1=

λ2<0p>0,q>0,p2=4q穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定λ1=

λ2>0p<0,q>0,p2=4q不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定Re(λi)<0,Im(λi)≠0p>0,q>0,p2<4q穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定Re(λi)>0,Im(λi)≠0p<0,q>0,p2>4q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定Re(λi)=0,Im(λi)≠0p=0,q>0中心不穩(wěn)定

例：考慮二階線性微分方程解：作變換，可將它化為下列方程組這里，且detA≠0.顯然原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一奇點(diǎn)。由特征方程得特征根故O(0,0)點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。

對(duì)于一般的非線性微分方程組的討論，由于其平衡點(diǎn)不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部穩(wěn)定的概念：若存在σ>0，對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解X(t),只要存在某t0滿足，均有，則稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是局部（漸近）穩(wěn)定的。

進(jìn)行對(duì)平衡點(diǎn)局部（漸近）穩(wěn)定性的判別，只須對(duì)原微分方程的右端項(xiàng)取一階Taylor展式，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)討論，其中注：非線性平衡點(diǎn)