2-2 Z變換與逆Z變換

——序列的Z變換數(shù)字信號處理Z變換定義Z變換性質(zhì)Z變換收斂域引入分析介紹掌握Z變換的定義；了解Z變換的基本性質(zhì)；Z變換的定義Z變換收斂域的特點(diǎn)教學(xué)思路重點(diǎn)難點(diǎn)目的要求掌握ROC與序列性質(zhì)的關(guān)系。正變換反變換1.正變換定義式為冪級數(shù)求和，那么要求冪級數(shù)收斂才有意義；2.反變換為求解圍線積分，且c為收斂域內(nèi)的一條閉合曲線；3.x(n)對應(yīng)的Z

變換應(yīng)該為X(z)的表達(dá)式及收斂域共同組成的。收斂域Z變換的定義定義Z平面示意圖復(fù)平面對任意給定序列x(n)，能使X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。級數(shù)收斂的必要且充分條件是滿足絕對可和定義若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)也一定收斂達(dá)朗貝爾判別法收斂域的定義判別方法Z平面示意圖復(fù)平面使分子為零的z值，我們稱為零點(diǎn)，用圓圈表示；使分母為零的z值，我們稱為極點(diǎn)，用叉號表示；Z變換的收斂域（ROC）Z變換的收斂域（ROC）Regionofconvergence使級數(shù)收斂的所有z值的集合定義有限長序列01若Z變換的收斂域（ROC）若Z變換的收斂域（ROC）有限長序列01例1：求序列對應(yīng)的Z變換及收斂域解：因果序列Z變換的收斂域（ROC）右邊序列02系統(tǒng)性質(zhì)-線性解：Z變換的收斂域（ROC）【例2】求的Z變換及其收斂域。零點(diǎn)：極點(diǎn)：Z變換的收斂域（ROC）左邊序列03解：Z變換的收斂域（ROC）【例3】求的Z變換及其收斂域。零點(diǎn)：極點(diǎn)：x(n)對應(yīng)的Z

變換應(yīng)該由X(z)的表達(dá)式及收斂域共同組成.Z變換的收斂域（ROC）比較雙邊序列04為任意值時皆有值Z變換的收斂域（ROC）收斂域的特點(diǎn)解：Z反變換【例4】求x(n)右序列演示因果序列Z反變換長除法因果序列展開式為

z的負(fù)冪次Z反變換長除法2

非因果序列展開式為

z的正冪次Z反變換——部分分式法部分分式法【例】,求對應(yīng)序列。解：序列的Z變換逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圍線積分路徑Z反變換——留數(shù)法如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。逆Z變換對于N階極點(diǎn)，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和。Z反變換——留數(shù)法例

求

，

的反變換。解的反變換為由于收斂域?yàn)?/p>

，所以應(yīng)為因果序列，當(dāng)

時，

不是

的極點(diǎn)。所以，在收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的圍線c內(nèi)只有一階極點(diǎn)、

，則Z反變換——留數(shù)法由此得所求序列為Z反變換——留數(shù)法部分分式展開法

若設(shè)X(z)只有N個一階極點(diǎn)，可展成下式:觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點(diǎn)z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。

Z反變換——留數(shù)法解：Z反變換——留數(shù)法【例】設(shè)，求序列x(n)Z反變換——留數(shù)法Z反變換——留數(shù)法【例】,求序列x(n)Z反變換——觀察法解：將多項(xiàng)式展開并合并解：例：已知，求它的Z變換線性性質(zhì)01疊加原理Z變換的性質(zhì)由歐拉公式可知Z變換的性質(zhì)時移性02序列線性加權(quán)性-z域求導(dǎo)性03Z變換的性質(zhì)乘以指數(shù)序列-z域尺度變換04Z變換的性質(zhì)對序列x(n)乘以指數(shù)序列即可實(shí)現(xiàn)Z域的尺度變換。序列共軛性05若序列為實(shí)數(shù)序列，則實(shí)數(shù)序列的零極點(diǎn)一定共軛成對出現(xiàn)Z變換的性質(zhì)序列對稱性（翻轉(zhuǎn)序列的z變換）06Z變換的性質(zhì)而收斂域?yàn)楣士蓪懗尚蛄袑ΨQ性06Z變換的性質(zhì)若序列x(n)為偶對稱序列，則x(n)=x(-n)若序列x(n)為奇對稱序列，則x(n)=-x(-n)若序列x(n)為對稱序列，則其零極點(diǎn)關(guān)于單位圓鏡像成對出現(xiàn)系統(tǒng)性質(zhì)-線性解：Z變換的性質(zhì)【例】若一對稱實(shí)序列存在一極點(diǎn)為1+j，那么該序列是否還存在

其他極點(diǎn)，若還存在其他極點(diǎn)，它們分別是？序列為實(shí)數(shù)序列，其極點(diǎn)一定共軛成對出現(xiàn)序列為對稱序列，其極點(diǎn)一定關(guān)于單位圓鏡像成對出現(xiàn)時域頻域Z變換的性質(zhì)時域卷積定理07Z域復(fù)卷積定理08時域頻域例：已知系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)：，輸入序列：，

求輸出序列。解：Z變換的性質(zhì)9.初值定理對于因果序列x(n)，即x(n)=0,n<0,有證由于x(n)是因果序列，則有:(2-34)利用Z變換求解差分方程利用單邊Z變換移位性質(zhì)Z變換的性質(zhì)例：若離