復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題專題

復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)，，且函數(shù)的值域?yàn)槎x域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復(fù)合函數(shù)，記為2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的環(huán)節(jié)：求函數(shù)值遵照“由內(nèi)到外”的次序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計(jì)算解：3、已知函數(shù)值求自變量的環(huán)節(jié)：若已知函數(shù)值求的解，則遵照“由外到內(nèi)”的次序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求解：令，則解得當(dāng)，則當(dāng)，則總而言之：由上例可得，要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對(duì)應(yīng)的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，先回想零點(diǎn)的定義：4、函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè)的定義域?yàn)?，若存在，使得，則稱為的一種零點(diǎn)5、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的特點(diǎn)：考慮有關(guān)的方程根的個(gè)數(shù)，在解這類問題時(shí)，要分為兩層來分析，第一層是解有關(guān)的方程，觀察有幾個(gè)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一種被幾個(gè)對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的技巧：（1）這類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在解決問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范疇，則先預(yù)計(jì)有關(guān)的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn)，分派每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng)，從而擬定的取值范疇，進(jìn)而決定參數(shù)的范疇復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1：設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若有關(guān)的方程由3個(gè)不同的解，則______例2：有關(guān)的方程的不相似實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A.3B.4C.5D.8例3：已知函數(shù)，有關(guān)的方程（）恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范疇是．例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有關(guān)的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.例5：若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則有關(guān)的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相似的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范疇是（）A.B.C.D.例7：已知函數(shù)，若有關(guān)的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范疇是（）A.B.C.D.例8：已知函數(shù)，則下列有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷對(duì)的的是（）A.當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.無(wú)論為什么值，都有2個(gè)零點(diǎn)D.無(wú)論為什么值，都有4個(gè)零點(diǎn)例9：已知函數(shù)，則方程（為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有___________個(gè)例10：已知函數(shù)和在的圖像以下，給出下列四個(gè)命題：（1）方程有且只有6個(gè)根（2）方程有且只有3個(gè)根（3）方程有且只有5個(gè)根（4）方程有且只有4個(gè)根則對(duì)的命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4答案例1：設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若有關(guān)的方程由3個(gè)不同的解，則______思路：先作出的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的，滿足的的個(gè)數(shù)分別為2個(gè)（）和3個(gè)（），已知有3個(gè)解，從而可得必為的根，而另一根為或者是負(fù)數(shù)。因此，可解得：，因此答案：5例2：有關(guān)的方程的不相似實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A.3B.4C.5D.8思路：可將視為一種整體，即，則方程變?yōu)榭山獾茫夯?，則只需作出的圖像，然后統(tǒng)計(jì)與與的交點(diǎn)總數(shù)即可，共有5個(gè)答案：C例3：已知函數(shù)，有關(guān)的方程（）恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范疇是．思路：所解方程可視為，故考慮作出的圖像：，則的圖像如圖，由圖像可知，若有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則必有，因此，解得答案：例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有關(guān)的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.思路：已知方程可解，得，只需統(tǒng)計(jì)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出的圖像，時(shí)，，則的圖像只需將的圖像縱坐標(biāo)縮為二分之一即可。正半軸圖像完畢后可再運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像。通過數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意擬定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則有關(guān)的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6思路：由極值點(diǎn)可得：為①的兩根，觀察到方程①與構(gòu)造完全相似，因此可得的兩根為，其中，若，可判斷出是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)。且，因此與有兩個(gè)交點(diǎn)，而與有一種交點(diǎn)，累計(jì)3個(gè)；若，可判斷出是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)。且，因此與有兩個(gè)交點(diǎn)，而與有一種交點(diǎn)，累計(jì)3個(gè)?？偠灾?，共有3個(gè)交點(diǎn)答案：A例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相似的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范疇是（）A.B.C.D.思路：考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），由于最多只能解出2個(gè)，若要出七個(gè)根，則，因此，解得：答案：B例7：已知函數(shù)，若有關(guān)的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范疇是（）A.B.C.D.思路：，分析的圖像方便于作圖，時(shí)，，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，且當(dāng)，因此正半軸為水平漸近線；當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞減。由此作圖，從圖像可得，若恰有4個(gè)不等實(shí)根，則有關(guān)的方程中，，從而將問題轉(zhuǎn)化為根分布問題，設(shè)，則的兩根，設(shè)，則有，解得答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和核心點(diǎn)來進(jìn)行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而確保圖像的精確。例8：已知函數(shù)，則下列有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷對(duì)的的是（）A.當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.無(wú)論為什么值，都有2個(gè)零點(diǎn)D.無(wú)論為什么值，都有4個(gè)零點(diǎn)思路：所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)，先作出的圖像，直線為過定點(diǎn)的一條直線，但需要對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論。當(dāng)時(shí)，圖像如圖所示，先拆外層可得，而有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的，也有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的，累計(jì)4個(gè)；當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，先拆外層可得，且只有一種滿足的，因此共一種零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A對(duì)的答案：A例9：已知函數(shù)，則方程（為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有___________個(gè)思路：先通過分析的性質(zhì)方便于作圖，，從而在單增，在單減，且，為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實(shí)數(shù)根最多，則要優(yōu)先選用能對(duì)應(yīng)較多的狀況，由圖像可得，當(dāng)時(shí)，每個(gè)可對(duì)應(yīng)3個(gè)。只需判斷中，能在獲得的值的個(gè)數(shù)即可，觀察圖像可得，當(dāng)時(shí)，能夠有2個(gè)，從而能夠找到6個(gè)根，即最多的根的個(gè)數(shù)答案：6個(gè)例10：已知函數(shù)和在的圖像以下，給出下列四個(gè)命題：（1）方程有且只有6個(gè)根（2）方程有且只有3個(gè)根（3）方程有且只有5個(gè)根（4）方程有且只有4個(gè)根則對(duì)的命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4思路：每個(gè)方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能獲