例談高中數學運算能力的梯度診斷 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選例談高中數學運算能力的梯度診斷摘要：數學運算要求合理、迅速、快捷、準確，掌握運算的技巧性和靈活性。怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想，可以把每一題的主要步驟，分解設計成詳細的四選一試題，有一定的梯度，讓學生作答，從而更精準地了解學生的思考方法、過程等。關鍵詞：數學，運算，能力，診斷，分解，梯度，訓練，提升。引言：筆者在教學中發(fā)現學生的運算能力普遍較差，要想提高他們的運算能力，應找到癥結所在，怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想到必作于細，通過有梯度的一連串問題發(fā)現學生的數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，準確，掌握運算的技巧性和靈活性。怎樣精準診斷學生的運算能力呢？我想，可以把每一題的主要步驟，分解設計成詳細的四選一試題，有一定的梯度，讓學生作答，從而更精準地了解學生的思考方法、過程等。下面以三個解答題為例設計調查問卷，探索學生在解題過程中數學運算能力的掌握情況。一、調查問卷，發(fā)現問題調查問卷共110份，由高三302、307班學生完成，學生數學成績一般，從平時考如果設置一點“小坑就會有一些同學做錯。有一次試卷的題目為：集合,M{yy6xN,yN},x3

,A.2B.4,C.6D.8，本題302班（統(tǒng)招班）有9人做錯，307班有15人做錯。說明同學們的基本運算能力較差。二、試題運算能力分析，精準設計梯度問卷1．例1已知的面積為SRB,C所對的邊分別為a,b,c， ( ) ( ) .2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinB12022年安徽省中小學教育教學論文評選（1）求角C；2( ?S? ( A-sinB-sinC ,a（2）若è2R?試題運算能力分析：

.求c邊及的面積.算求解的能力。第（1）小題要求學生掌握正弦定理與三角形外接圓半徑的關系，由三角形的三邊關系，一個方程中，有a2，b2，c2，ab,想到余弦定理的推論，運用余弦定理求出角C。第（2）小題要求學生掌握三角形的面積公式，運用第（1）小題的結論，方程的思想方法，求出c和三角形的面積。要求學生理解基本概念，熟練地記住公式，這是正確地運算、靈活地運用公式的前提條件。核心素養(yǎng)診斷問題：（1）①從已知“的R，B,C及a,b,c）A.在半徑為R的圓內畫一個三角形，標注B,C及a,b,ca=b =cB.正弦定理：sinA

sinB

sinCa=b =c

=2RC.正弦定理：sinA

sinB

sinCa=2R;b=2R;c =2RD.正弦定理：sinA

sinB

sinC說明：診斷學生是否掌握正弦定理與三角形外接圓半徑的關系，只有5位同學不知道。②從已知“

( ) ( )

）2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinBA.兩邊分別乘進去B.想辦法消去RC.想辦法消去角B,CD.想辦法消去邊a,b,c說明：90人選B，說明同學們想到消去中間的參數。③你解題過程中的做法是（）A.將兩邊乘了進去22022年安徽省中小學教育教學論文評選2R=a

2R=b

2R=cB.利用正弦定理，取

sinA或

sinB或

sinC代入消去了2R.C.利用正弦定理，取

sinA=a2R

,sinB=b2R

,sinC=c2R代入消去了角B,C.D.兩邊同乘以2R，再利用正弦定理同時消去了R和角B,C說明：51人選C，37人選D，規(guī)范做法是C，技巧做法是D，反應素養(yǎng)的差異。④你將

( ) ( )

化簡的的結果是（）2Rsin2A-sin2C=

3a-b

sinBA.

sin2AB-sin2C=

3sinAsinBB.

a2-c2=

3abC.

a2-c2=

3ab-b2D.

sin2A-sin2C=

3sinAsinB-sin2B92人選B，做對。⑤你求得的最終結果是（）cosC=3

C=p

C p C C pA.

2B.

± =6C. 6或

= =6D. 688人做對，選含數值，有5位同學，

cosC=

3π2，寫成 。3（2）①從“若的面積為S）A.

S=12底×高B.

S=1absinC2C.

S=1acsinB2

D.

S=1bcsinA2說明：因為前面已經求出了角C，所以應選B，人數為99位。2( ?S? ( A-sinB-sinC②由“è2R?）32022年安徽省中小學教育教學論文評選A. 代 數 變 換 并 用 正 弦 定 理 可 得 ：2 2 2 2 2S=(2R)

A-(sinB-sinC)

--c)B.將

S=1absinC2

1sinAsinBsinCsin2A-sinB-sinC2代入可得：2C.將

sinA=a2R

,sinB=b2R

,sinC=c 22R代入可得：S-

b-c22R=c

S=c

sin2A-sinB-sinC2ù2D.將2

sinC代入可得：

sin2C? ?91人選R。CpC=③已知

6，且題設：a，你首先想到的求c,S的思路是（）A.根據正弦定理可知：求c需要先求A，求S需要再求bB.根據余弦定理可知：求c需要先求bS=1absinCC.根據D.根據

2S=1acsinB2

可知：求S需要先求b可知：求S需要先求cB④你求解本題的實際過程是（）A.利用題設條件與面積公式列邊長b,c方程組求解b,cB.利用題設條件與面積公式列角B三角函數方程組求解BC.利用正弦定理，求出b,cD.利用余弦定理，求出A,B.方程的思想。92人選A。⑤你求解的本題結果是（）c 15,S

173

16 163= = c=4 4 B.

,S=4 442022年安徽省中小學教育教學論文評選c 17,S

153

18 143= =C、 4 4

c=D.

,S=4 435人做對，選C。2.例22 2已知圓B:(x+

2)+y，定點A(

2,0)，P是圓周上任一點，線段AP的垂直平分線與BP交于點Q.（1）求點Q的軌跡C的方程；（2）直線l過點A且與x軸不重合，直線l交曲線C于M,N兩點，過A且與l垂直的直線與圓B交于D,E兩點，求四邊形MDNE面積的取值范圍.試題運算能力分析：合理選擇運算途徑，合理確定運算的方向。核心素養(yǎng)診斷問題：2 2(1)①由“圓B:(x+

2)+y”你首先想到的是（）圓心A(圓心A(C.圓心A(-D.圓心A(

2,0),半徑42,0),半徑162,0)，半徑42,0),半徑1652022年安徽省中小學教育教學論文評選說明：診斷學生對圓的標準方程的公式。只有6位同學不對。②平面解析幾何，你首先想到的是（）A.作圖，數形結合B.分類討論C.函數與方程D.待定系數說明：主要診斷學生解決平面解析幾何問題常規(guī)的解題思路。有91位同學選A。③由“線段APA.垂直B.平分C.線段的垂直平分線的點到兩個端點的距離相等D.斜率之積等于-1④本題求點的軌跡方程，你想到的方法是：（）A.待定系數法B.定義法C.相關點法D.參數法很容易想到橢圓的定義。有75位同學選B，說明同學們對橢圓的概念的應用不熟練。⑤你求解的本題結果是（）x2 y2+

x2 y2+ A.4 2

B. 4 3x2 y2+

x2 y2+ C.3 2

D.4 5說明：求橢圓的標準方程時，一定要掌握a,b,c的關系，掌握運算的法則。有71位同學做對，選A。(2)①解析幾何，首先想到的是（）A.方程B.不等式C.設出點的坐標，直線的方程D.函數說明：診斷學生解決解析幾何問題時，探究運算思路，選擇運算方法。②由“直線l過點A且與xl方程的形式是（）A.截距式B.兩點式C.斜截式D.反斜截式說明：診斷學生對所設方程的選擇。③四邊形MDNE的特點是（）62022年安徽省中小學教育教學論文評選A.鄰邊相等B.對角線互相垂直C.對角線互相平分D.是矩形④由四邊形MDNE的特點，你首先想到求它的面積的方法是（）A.兩鄰邊之積B.等于兩個圖形面積只差C.對角線乘積的一半D.用個公式說明：診斷學生選擇計算四邊形面積的公式。⑤求圓中弦長的方法，你首先想到的是（）A.一般的弦長公式B.圓中的弦長公式，即半徑，弦長的一般，圓心到直線的距離滿足的勾股關系C.兩點間距離公式D.三角形全等⑥你求解的本題結果是（）A.72)B.2)? ?,,82) ,82)C.? D.8位同學做對。3.例3已知函數f(x)=ln1-ax2.x（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)在定義域上有兩個極點1,2，求證：f(1)+f(2)3-2n2.試題運算能力分析：72022年安徽省中小學教育教學論文評選試題第（1）問，復合函數求導，鏈式法則，學生容易出錯，注意函數的定義域，要通分，構造函數，對參數a分類討論，當參數a不等于0時，要考慮實根的“有無大小”的四種情況，考查學生對含參數的一元二次不等式（方程)的解法，另外注意實根的概念得到只有當0

1時，x,x< < 1 2

是-2ax2-1用韋達定理，要求學生掌握對數的運算法則，配方，運用韋達定理，構造函數，求導，判斷函數的單調性，求函數的最值。這些都要求，學生掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，掌握一定的運算技巧。核心素養(yǎng)診斷問題：（1）①由“討論f）A.作出f(x)的圖像B.對f(x)求導C.基本不等式D.分離常數說明：有102人選B。②對f(x)求導時，你首先想到的是（）A.求函數的定義域B.復合函數求導的鏈式法則C.求導后通分，因式分解D.對參數分類討論說明：考查學生對復合函數求導的法則，有98人答B(yǎng)。2③求導后得到f'(x)=-2ax2-1,xf'(x)

你覺得接下來怎樣做（）A.二次求導B.令 ，解出x。C.令

f'(x)

，解出x。D.構造函數

g(x)=-2ax2-1說明：考查學生構造函數的方法。④對a分類討論時，你首先想到的是（）A.二次項系數正負B.對稱軸位置B. D的符號D.根與定義域的關系82022年安徽省中小學教育教學論文評選⑤對a分類討論的情況有（）A.a,a,aB.a,0

<1 a31<8, 8,

aC.a，0<1 a34，

14，aD.0￡aa（2）①由f(x)在定義域上有兩個極點,x2，你首先想到的是（）f'(x)

方程f'(x)A.方程 有兩個不等的實根B.f(x)=ln1-ax2

有兩個不等的正根C.方程D.方程

xf(x)=ln1-ax2x

有兩個不等的實根有兩個不等的正根說明：考查學生理解函數極值的概念。②由第一小題知，a的取值范圍是（）1aB.0<8

0<14

a314A. .C. D. f(1)+f(2)3-2n2③由“ f(x1)+f(x2)A.求出 的最大值f(x1)+f(x2)B.求出 的最值f(x)+f(xln2C.變形為 1 2f(1)+f(2)-3-2n2D.變形為f(x)+f(x)=ln(2a)+1④若 1 2

4a ，則接下來，你將會怎么做（）A.分離常數B.求導C.基本不等式D.畫函數圖像⑤構造函數

h(a)=ln(2a)+14a，你首先想到的是利用函數的什么性質求值域（）A.單調性B.奇偶性C.周期性D.對稱性92022年安徽省中小學教育教學論文評選三、運算能力提升的策略提出一些粗淺的看法和建議。1.回歸教材，厘清概念，提升運算能力。內功.回歸教材中的經典例題、練習題和習題，充分挖掘典型問題的內在價值與遷移功本質。2.熟記公式，掌握法則，提升運算能力。導。3.掌握運算技巧，學會應用，提升運算能力。有些同學定義、公式、法則是記住了，但是