二次電源的浪涌電流抑制管的研究

二次電源的浪涌電流抑制管的研究

本文將二次供電的波浪抑制問題提升到“最佳抑制問題”。目的是尋找一種浪涌電流,其幅值限制在允許范圍內(nèi),能在給定的時間內(nèi)完成浪涌過程,而且使浪涌抑制管在這過程中產(chǎn)生的最大瞬時功率值最小。首先證明,當(dāng)輸入電壓Vi和濾波電容C給定,能完成浪涌過程的任何浪涌電流,在浪涌抑制管上產(chǎn)生的瞬時功率對時間的積分值恒定。在這個基礎(chǔ)上,根據(jù)使最大瞬時功率值最小化這一最佳抑制準(zhǔn)則,先求幅值受限制﹑能在給定時間完成浪涌過程的浪涌電流在浪涌抑制管上產(chǎn)生的最佳瞬時功率線。再按這一功率線建立浪涌電流應(yīng)滿足的方程,解此方程得最佳浪涌電流。為便于將最佳浪涌電流和目前常用的線性浪涌電流進行比較,文中對后者也作了分析和討論,并從中找到線性最佳浪涌電流。1用溫升計算熱響應(yīng)曲線二次電源接通一次電源后的啟動過程可依次分為浪涌電流抑制過程和直流變換器的軟啟動過程,它們之間相隔幾毫秒。因此,浪涌電流抑制過程近似發(fā)生在圖1所示的電路中:當(dāng)K接通,浪涌電流抑制管Q在iD(t)抑制器作用下抑制浪涌電流iD(t),在給定的時間T內(nèi)使電容器C的電壓VC(t)由起始的VC(0)=0上升到VC(T)=Vi(一次電源電壓)。在這過程中Q漏源之間電壓等于VDS(t)=Vi-1C∫t0iD(t)dt,t=0~Τ(1)VDS(t)=Vi?1C∫t0iD(t)dt,t=0~T(1)相應(yīng)的瞬時功率由式(2)表示,這個單次脈沖功率在Q內(nèi)部轉(zhuǎn)換為熱功率,由Q的結(jié)傳導(dǎo)至Q的外殼,結(jié)-殼間溫差隨之上升。若結(jié)溫超過允許值,則Q損壞。按現(xiàn)行計算溫升的方法,先求式(2)的瞬時最大值(記為Pmax),然后將Q上發(fā)生的這個單次脈沖功率損耗看成是以Pmax為幅值(等幅)持續(xù)時間為T的過程。這樣,即可根據(jù)Q的單次功率脈沖的熱響應(yīng)曲線,計算結(jié)-殼間溫升值。這個溫升值與Pmax成正比。從計算結(jié)果看使Pmax最小化等效于使溫升最小化。因此本文提出這樣的問題,在圖1中當(dāng)Vi,C,T,Im(iD(t)允許的最大幅值)給定,怎樣的iD(t)(t=0～T)使式(2)的瞬時最大值最小化?這個問題的數(shù)學(xué)形式可表述如下:求函數(shù)iD(t)(t=0～T),它使函數(shù)Ρ(t)=iD(t)?(Vi-1c∫t0iD(τ)dτ),t=0～Τ(2)P(t)=iD(t)?(Vi?1c∫t0iD(τ)dτ),t=0～T(2)滿足準(zhǔn)則minmaxiD(t)Ρ(t)(3)minmaxiD(t)P(t)(3)限制條件為1C∫Τ0iD(t)dt=Vi,iD(t)≥0(4)iD(t)≤Ιm(5)1C∫T0iD(t)dt=Vi,iD(t)≥0(4)iD(t)≤Im(5)我們稱滿足方程(2)～方程(5)的iD(t)為最佳浪涌電流。2浪涌電流vit0id在求解上述最佳問題前,我們先證明任何滿足式(4)的iD(t),它使式(2)的函數(shù)P(t)對t的積分(t=0～T)值恒定,其值與T無關(guān)。由式(2)得∫Τ0Ρ(t)dt=Vi∫Τ0iD(t)dt-1C∫Τ0iD(t)∫t0iD(τ)dτdt(6)∫T0P(t)dt=Vi∫T0iD(t)dt?1C∫T0iD(t)∫t0iD(τ)dτdt(6)引用記號:Q(t)=∫t0t0iD(τ)dτ(7)Q(0)=0(8)Q(0)=0(8)由式(4)得Q(T)=CVi(9)式(7)對t微分得dQ(t)dt=iD(t)(10)dQ(t)dt=iD(t)(10)將式(7)～式(10)代入式(6)得∫Τ0Ρ(t)dt=Vi∫Τ0iD(t)dt-1C∫CVi0Q(t)dQ(t)(11)∫T0P(t)dt=Vi∫T0iD(t)dt?1C∫CVi0Q(t)dQ(t)(11)將式(4)代入式(11)得∫Τ0Ρ(t)dt=12CV2i(12)∫T0P(t)dt=12CV2i(12)由上述證明可得結(jié)論:浪涌電流,不論幅值是否受限,完成浪涌過程的任何浪涌電流在浪涌抑制管上產(chǎn)生的瞬時功率積分值(能量)為常數(shù)(CV2i2i/2),與浪涌過程時間T無關(guān)。3最佳功率線的確定式(12)的幾何意義是,滿足條件(4)的iD(t),它在圖2(a)的P(t)～t平面中t=0～T區(qū)間所形成的P(t)曲線(下稱瞬時功率線)與t軸之間形成的面積不變?；谶@一特征,當(dāng)iD(t)無幅值限制,由式(2)知任一時刻P(t)值不受限制,容易判斷,當(dāng)T給定,最佳瞬時功率線就是圖2(a)中的直線段CDE(等功率線),其幅值等于Ρ(t)=CV2i2Τ?t=0～Τ(13)P(t)=CV2i2T?t=0～T(13)現(xiàn)在討論iD(t)有幅值限制時的最佳瞬時功率線。用物理觀點易于斷定,給定的Im和T應(yīng)滿足條件(14),否則討論的問題無解。0＜CViΙmΤ≤1(14)0＜CViImT≤1(14)引用符號P*表示最佳化問題(2)～問題(5)的最大瞬時功率的最小值,即Ρ*≡minmaxiD(t)Ρ(t),t=0～Τ(15)將式(4)代入式(2)得Ρ(t)=1CiD(t)∫ΤtiD(τ)dτ,t=0～Τ(16)由上式可知,不論iD(t)是t的怎樣的函數(shù),P(t)=0。因此P(T)=0也在最佳功率線上?，F(xiàn)在我們在圖2(a)的P(t)～t平面中以t=T,P(T)=0為“起點”,令t連續(xù)下降(逆向)來思考最佳功率線。在這個逆向過程中,式(16)中的積分是一個由零開始連續(xù)遞增的函數(shù)。另一方面,式(16)中積分號前面的值有限。因此斷定,在t=T附近存在一段時間T*≤t≤T,P(t)<P*。這段時間每個瞬時的最佳P(t)值應(yīng)該是那些時刻瞬時功率能達到的最大值(證明見后)。由式(16)可見,若令iD(t)為最大值,即iD(t)=Ιm,t=Τ*~Τ(17)則P(t)在這段時間的每個瞬間達到能達的最大值。將上式代入式(16)得這段最佳瞬時功率線:Ρ(t)=1CΙ2m(Τ-t),t=Τ*~Τ(18)式(17)在圖2(a)中由直線BDF所示,并設(shè)t=t*時P(t*)=P*,即Ρ*=1CΙ2m(Τ-Τ*)(19)這段時間最佳P(t)線的積分值為∫ΤΤ*Ρ(t)dt=12CΙ2m(Τ-Τ*)2(20)現(xiàn)在繼續(xù)逆向思考t由T*至0的過程。將式(12)與式(18)相減得這段時間的P(t)積分值為∫Τ*0Ρ(t)dt=12CV2i-Ι2m(Τ-Τ*)22C(21)將式(17)代入(16)得這段時間內(nèi)每個瞬間的P(t)Ρ(t)=1CiD(t)(∫Τ*tiD(τ)dτ+Ιm(Τ-Τ*)),t=0～Τ*(22)為試探這段時間內(nèi)P(t)值可能發(fā)生的范圍,令iD(t)=Im,代入上式得Ρ(t)≥Ρ*上式表明這段時間內(nèi)盡管iD(t)幅值受限但滿足P(t)≥P*。按最佳抑制準(zhǔn)則(2),這段時間的最佳P(t)應(yīng)等于P*Ρ(t)=Ρ*,t=0～Τ*(23)即圖2(a)中的直線段AB。這是因為在OG區(qū)間能形成OABG面積的其他任何P(t)線,其最大值均大于P*。將上式代入式(21)得Ρ*Τ*=12CV2i-Ι2m(Τ-Τ*)2C(24)式(24)和式(19)聯(lián)列解得Τ*=Τ√1-(CViΤΙm)2(25a)Ρ*=ΤΙ2mC(1-√1-(CViΤΙm)2)(25b)式(19)和式(25a),式(25b)完全描述了最佳瞬時功率線?，F(xiàn)對圖2(a)中直線BDF是最佳瞬時功率線再做證明。由圖2(b)可見,若t從T至T*這段過程中不是iD(t)=Im,那么從F點出發(fā)形成的P(t)線一定在FB下方(FJ)。這樣,從J開始的逆向過程,為了滿足式(12),P(t)線的積分值應(yīng)等于P*T*加面積BJF。作矩形AMNB,其面積與BJF面積相等。顯然在OG段不可能構(gòu)成這樣的P(t)線:其最大值等于P*,其面積等于OMNG。這即證明BF線最佳。4浪涌電流的確定在圖2(a)的AB段,iD(t)應(yīng)滿足方程iD(t)(Vi-1C∫Τ0iD(τ)dτ)=Ρ*(26)上式兩側(cè)對t微分得1CiD2(t)-(Vi-1C∫t0iD(τ)dτ)diD(t)dt=0(27)將式(26)代入式(27)得diD(t)dt-1CΡ*i3D(t)=0?t=0~Τ*(28a)其起始條件和終端條件分別由式(23)和式(17)給定為iD(0)=Ρ*Vi(28b)iD(Τ)=Ιm(28c)微分方程式(28a)～式(28c)的解是iD(t)=Ρ*Vi√1-2Ρ*CV2it?t=0～Τ*(29a)iD(t)=Ιm,t=Τ*~Τ(29b)式(29a)、式(29b)和式(17)聯(lián)列給出t=0～T整個區(qū)間的最佳浪涌電流。其中T*和P*分別由式(25a)和式(25b)給定。5+1-2t1t1.2.現(xiàn)代二次電源將浪涌電流抑制成恒流或鋸齒波。它們同屬式(30)定義的t的線性函數(shù),其中α為參數(shù)(見圖3)。當(dāng)α=0為鋸齒波,當(dāng)α=0.5為恒流。iD(t)=(α+(1-2α)tΤ)Ιm,t=0~Τ(30)其中α=0～1。這個線性浪涌電流族以相同時間T完成浪涌過程Τ=2CViΙm(31)將式(30)代入式(1)得VGS=Vi(1-2αtΤ-(1-2α)(tΤ)2)(32)式(30)和式(32)相乘得浪涌抑制管瞬時功率表達式Ρ(α,t)=ViΙm(α+(1-2α)tΤ)(1-2αtΤ-(1-2α)(tΤ)2)(33)令上式對t的偏導(dǎo)數(shù)等于0得P(α,t)極大值發(fā)生的時刻(式(34a))及其極大值(式(34b))tΤ=1√31-(1+√3)α1-2α(34a)maxtΡ(α,t)=1-α√3(1-131-2α-2α21-2α)ViΙm(34b)其中:0≤α≤11+√3(34c)由式(34a)知,當(dāng)α在式(35c)定義的區(qū)間P(α,t)在t=0～T之間無極大值。此時P(α,t)的最大值發(fā)生在t=0。代入式(33)得P(α,t)的最大值t=0(35a)maxtΡ(α,t)=αViΙm(35b)其中:11+√3＜α≤1(35c)令式(34b)對α偏導(dǎo)數(shù)等于0,當(dāng)α=0.250(36)maxP(α,t)有極小值,其值等于minαmaxtΡ(α,t)=0.325ViΙm(37)圖4(a)和圖4(b)分別示出式(34b),(35b)和式(34a),(35a)。將式(36)代入式(30)得線性最佳浪涌電流(見圖5中b曲線)的表達式iD(t)=0.250(1+2tΤ)Ιm,t=0~Τ(38)由式(31)知式(30)定義的線性浪涌電流滿足關(guān)系CViΤΙm=12(39)將此代入式(25a)和(25b)得Τ*=0.866Τ(40)Ρ*=0.268ViΙm(41)將這2個值代入滿足條件式(39)的最佳浪涌電流(見圖5中a曲線)iD(t)=0.268Ιm√1-1.072tΤ,0≤t≤0.866Τ(42)iD(t)=Ιm,0.866Τ≤t≤Τ(43)式(41)在圖5中由曲線a示出。6浪涌電流的最大瞬時功率計算圖4(b)所示數(shù)據(jù)表