利用-穩(wěn)定秩條件證明厄米特1k-群的穩(wěn)定性

利用-穩(wěn)定秩條件證明厄米特1k-群的穩(wěn)定性

為了證明阿迪曼1k組的穩(wěn)定性，a.bak和唐國平在文獻(xiàn)中引入了一種新的穩(wěn)定等級條件，即-穩(wěn)定等級條件。這種新的穩(wěn)定等級條件弱于絕對穩(wěn)定等級條件和絕對穩(wěn)定等級條件。它的使用不僅可以證明和推廣以前的結(jié)果，而且可以極大地簡化以前的證明過程。唐國平在文獻(xiàn)中證明了這組基本子群的正式性、二次空間的消去性以及乙一克-石群的穩(wěn)定性。在這項工作中，我們使用穩(wěn)定等級的條件來證明子群u（m，i，）的正式性。1q的自同構(gòu)群假設(shè)在具有單位元1的結(jié)合環(huán)A上定義一個對合,即一一映射*:aa*,滿足(a+b)*=a*+b*(ab)*=a*b*,a**=a.取ε∈Cen(A)滿足ε*ε=1.設(shè)Λ是A的加法群的一個子群,滿足(1)對任意的a∈A有a*Λa?Λ;我們稱Λ為型參,而(A,Λ)叫型環(huán).令M是一個右(有限生成投射)A-模.如中,定義型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間(M,q)的自同構(gòu)群(即酉群)U(M)為取M中迷向元e(|e|q=0)且與u∈M正交,取|u|q中元r,M到M的Eichler變換τ(e,u,r)∈U(M)由τ(e,u,r)(x)=x+u(e,u)q-eε*(u,x)q-eε*r(e,x)q定義.它滿足下面的常用關(guān)系:設(shè)(A,Λ)是型環(huán),I是環(huán)A的一個理想,滿足I*=I.令ΛI(xiàn)表示加群(A,+)的由{a-a*ε|a∈I}∪{a*λa|a∈A,λ∈Λ}生成的子群.設(shè)Γ是加群(A,+)的一個子群且滿足下列條件:定義1稱型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件ΛSm,如果環(huán)A滿足穩(wěn)定秩條件Sm且對任意的么模向量,存在(m+1)×(m+1)矩陣γ∈Λm+1,使得是么模向量.型環(huán)(A,Λ)的Λ-穩(wěn)定秩ΛS(A,Λ)定義為滿足ΛSk的最小正整k.引理1設(shè)e1,f1,e2,f2是(M,q)中的互相正交的雙曲對,則引理2假設(shè)(M,q)是型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間而且它的Witt指數(shù)ind(q)≥ΛS(A,Λ)+1,則對于任意的雙曲對e,f,EU<e,f>(M)分別傳遞地作用在模M中給定長的所有q-么模向量的集合上以及所有雙曲對的集合上.從而EU<e,f>(M)與e,f的選擇無關(guān)且在U(M)中正規(guī).2eum,i,-----的u-m,----的u-m,---的法定集合定理1設(shè)型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件,(M,q)是型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間且它的Witt指數(shù)n≥ΛS(A,Λ)+1.則對于(M,q)的任意的雙曲對e,f,有定理2設(shè)型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件,(M,q)是型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間且它的Witt指數(shù)n≥ΛS(A,Λ)+1.對于(M,q)的任意的雙曲對e,f,設(shè)M=<e,f>⊥M1,則證顯然U(M)?EU(M)U(M1).因為e,f是雙曲對,所以對于任意的σ∈U(M),σ(e),σ(f)也是雙曲對,由引理2我們可以知道,存在τ∈EU(M),使得σ1=τσ保持e,f不動,所以σ1∈U(M1).這樣σ∈U(M)就可以分解成EU(M)與U(M1)中元的乘積.所以U(M)?EU(M)U(M1).綜上,U(M)=EU(M)U(M1).證畢.根據(jù),我們用U(M,I,Γ)表示下面的集合引理3U(M,I,Γ)是U(M)的正規(guī)子群.本文后面在型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件,(A,Λ)上的二次型空間(M,q)的Witt指數(shù)n≥max{ΛS(A,Λ)+1,3}的條件下,我們都假設(shè)為(M,q)的互相正交的雙曲對.下面的定理給出了在Λ-穩(wěn)定秩條件下,同余子群EU(M,I,Γ)在U(M)中的正規(guī)性.定理3設(shè)型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件,(M,q)是型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間且它的Witt指數(shù)n≥ΛS(A,Λ)+1.則對型環(huán)(A,Λ)的任意的形式理想(I,Γ),EU(M,I,Γ)是U(M)的正規(guī)子群.證由U(M)=EU(M)U(M1)知只需證明對任意的σ∈U(M1)有從而于是所以EU(M,I,Γ)是U(M)的正規(guī)子群.證畢.由定理3容易得到下面的一個推論.推論1設(shè)型環(huán)(A,Λ)滿足Λ-穩(wěn)定秩條件,(M,q)是型環(huán)(A,Λ)上的二次型空間且它的Witt指數(shù)n≥ΛS(A,Λ)+1.則對于型環(huán)(A,Λ)的任意的形式理想(I,Γ),EU(M,I,Γ)是U(M,I,Γ)的正規(guī)子群.(2)對任意的a∈A,有aa*Γ?Γ.則稱(I,Γ)是型環(huán)(A,Λ)的一個形式理想.設(shè).用符號表示