理想氣體的壓強(qiáng)與溫度公式

collegephysics第六章平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律TheStatisticalLawofEquilibriumState玻爾茲曼(1844-1906)

從微觀角度研究分子的熱運(yùn)動(dòng)必須建立理想的微觀模型。本章將提出理想氣體的模型，推導(dǎo)出壓強(qiáng)、溫度與微觀量的關(guān)系，并介紹麥克斯韋所導(dǎo)出的分子速率分布規(guī)律。其中重點(diǎn)是壓強(qiáng)、溫度公式，三個(gè)速率公式。collegephysics6.1理想氣體的壓強(qiáng)和溫度

本節(jié)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，導(dǎo)出平衡態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的統(tǒng)計(jì)表述。一、理想氣體的微觀模型1.理想氣體分子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)假設(shè)①分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。②分子不停地運(yùn)動(dòng)，分子間以及與器壁的碰撞是完全彈性的，單個(gè)分子運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)。③除碰撞瞬間外,分子之間的作用,重力可忽略不計(jì)。collegephysicscollegephysics2.平衡態(tài)理想氣體分子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)①分子在容器中的空間分布平均來(lái)說(shuō)是均勻的，分子數(shù)密度：N表示容器體積V內(nèi)的分子數(shù)。②具有相同速率的分子，向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均分子數(shù)是相等的：統(tǒng)計(jì)結(jié)果collegephysics二、理想氣體的壓強(qiáng)公式

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容器中氣體宏觀上施于器壁的壓強(qiáng)是大量分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。

無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的分子不斷與器壁相碰，對(duì)個(gè)別分子它與器壁的碰撞是隨機(jī)的斷續(xù)的，但對(duì)大量分子整體而言，每時(shí)刻都有許多分子與器壁相碰，所以宏觀上表現(xiàn)為一個(gè)恒定的持續(xù)的壓力，就好比雨天打傘，每一滴雨落在何處，沖量多大都是不同的，但由于雨滴數(shù)眾多，每時(shí)刻總有許多雨滴落在傘上，傘面將受到一個(gè)持續(xù)的壓力。推導(dǎo)推導(dǎo)分子數(shù)密度玻爾茲曼常數(shù)單個(gè)分子的壓強(qiáng)毫無(wú)意義collegephysics如：給自行車打氣增加壓強(qiáng)，從微觀上講是增加了分子數(shù)密度；籃球在太陽(yáng)底下曬一曬后可以鼓起來(lái)，從微觀上講是平動(dòng)動(dòng)能增大了。①宏觀量p與微觀量之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。說(shuō)明：

P是宏觀量，平均平動(dòng)動(dòng)能是不可測(cè)量的，但據(jù)此得到的各種結(jié)果都與實(shí)際相一致。②壓強(qiáng)P是統(tǒng)計(jì)平均量。壓強(qiáng)公式不是單純的力學(xué)規(guī)律，而是統(tǒng)計(jì)平均的關(guān)系式。分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能collegephysics①揭示了宏觀量

與微觀量之間的關(guān)系。三、理想氣體的溫度公式

1.溫度的微觀本質(zhì)：溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度；它反映著分子做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的情況。②溫度T是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量。2.絕對(duì)零度不可能實(shí)現(xiàn)!③④對(duì)任何氣體只要T相等，其平均平動(dòng)動(dòng)能就一定相等。collegephysics例1：氣體分子間的平均距離與壓強(qiáng)p、溫度T的關(guān)系為

，在壓強(qiáng)為1atm、溫度為00C的情況下，氣體分子間的平均距離？

m。（k=1.38×10-23J/K）

解：collegephysics

在熱動(dòng)平衡條件下，氣體分子的運(yùn)動(dòng)是雜亂無(wú)章的，若考慮某一分子在某一時(shí)刻的速度大小和方向是隨機(jī)偶然的，是不容易也沒(méi)有必要去掌握的。但就大量分子的整體，在熱平衡時(shí)，分子的速率（速度）分布有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的分子占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律——速率分布律。一、Maxwell速率分布函數(shù)1.條件：理想氣體在熱動(dòng)平衡狀態(tài)下，不考慮重力?！?-2麥克斯韋速率分布律collegephysics

1859年，Maxwell首先推導(dǎo)出理想氣體的速率分布函數(shù)。2.定義:如果分子速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為，設(shè)速率分布函數(shù)為3.麥克斯韋速率分布函數(shù)：即為概率。概率對(duì)應(yīng)圖中小矩形的面積速率分布函數(shù)快減快增兩者相乘2v曲線麥克斯韋速率分布律4em2dNNdvpm23/2T2vTpfv2v（函數(shù)）kk若m、T

給定，fv2vev2玻耳茲曼常數(shù)，函數(shù)的形式可概括為kabaev2曲線ba2vev2曲線有單峰，不對(duì)稱vp速率分布曲線abfvOv速率恒取正vcollegephysics[討論]①②滿足歸一化條件：表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。④速率在之間的分子數(shù)目vv12S1S2S1S2(v)fvovv12線，小面積，大面積的物理意義？S1=S2時(shí),大于v0的分子數(shù)?collegephysics三、三種重要的速率最概然速率:（最可幾速率）2.平均速率：3.方均根速率：[附2]三種速率大小的比較[附1]變換式推導(dǎo)collegephysics最概然速率fvOvvp最可幾速率edNNdvm22vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函數(shù)與此函數(shù)的極大值對(duì)應(yīng)的速率稱為最可幾速率vpkk1vpm2T41RmTvp8mT或Tmk令fvddv02vev2ddv0即易得vp1因m2T則kabbbcollegephysics不同條件比較m（或）mT不同的速率分布曲線的比較O1m2mvvp1p2v相同T1m2mT1OT2vp1p2vvm相同T2T11vpm2T41RmT最概然速率用進(jìn)行比較kcollegephysics平均速率平均速率（算術(shù)平均速率）v()fxxxdx根據(jù)某連續(xù)變量

x的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。

在討論氣體分子平均自由程問(wèn)題時(shí)涉及到分子的算術(shù)平均速率概念；在討論平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)涉及到方均根速率概念。麥克斯韋速率分布函數(shù)就是計(jì)算此類速率的概率密度函數(shù)。1vmTRmTp8068mT