04空間的曲線及其方程

高等數(shù)學(xué)北京工商大學(xué)楊益民11/12/20231回顧1.三元方程F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2.表示一張球面。3.表示空間的一張平面。4.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面5.xoy平面上的準(zhǔn)線方程母線平行于z軸的柱面方程為：11/12/20232四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。（一）橢球面11/12/20233橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓或繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。球面方程可寫為11/12/20234（二）拋物面（p與q同號）（1）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面xoy

(z=0)去截；設(shè)p與q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐標(biāo)面xoz

或yoz

去截；（4）用平面去截；yoxz11/12/20235zxyo橢圓拋物面的圖形如下：xyzo特殊地：當(dāng)p=q時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面11/12/20236（2）雙曲拋物面（馬鞍面）(p與q同號)用截痕法討論：設(shè)xzyo11/12/20237（三）雙曲面單葉雙曲面xyoz（1）zoxy.11/12/20238雙葉雙曲面xyo（2）xoyz11/12/20239空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間兩曲面的交線：注意：空間曲線的曲線方程不是唯一的。一、空間曲線的一般方程第四節(jié)空間曲線及其方程C11/12/202310例1

下列方程組表示怎樣的曲線？11/12/202311例2

方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖。11/12/202312空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程（2）消去參數(shù)t，可得到兩個(gè)柱面方程，因此空間曲線的參數(shù)方程也可視為兩張柱面的交線。注：（1）隨著參數(shù)t的變化可得到曲線上的全部點(diǎn)(x,y,z)。例3

設(shè)空間一動(dòng)點(diǎn)M在圓柱面上以角速度ω繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于z軸的正方向上升，試求該動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。11/12/202313螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，動(dòng)點(diǎn)M從A(a,0,0)點(diǎn)出發(fā)解經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M(x,y,z)處在圓上，所以11/12/202314螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比，即上升的高度螺距Pyz0xatMNQ螺距11/12/202315三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影1.空間曲線C的投影曲線與投影柱面CSC’xyozC’稱為曲線C在xoy平面上的投影曲線。S稱為曲線C關(guān)于xoy平面的投影柱面2.空間曲線C的投影曲線與投影柱面的方程設(shè)空間曲線C的一般方程：11/12/202316消去z得：表示：以曲線C(或C’)為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面——曲線C關(guān)于xoy平面的投影柱面。表示：曲線C的投影柱面與xoy平面的交線——曲線C在xoy平面上的投影曲線。類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線面上的投影曲線11/12/202317如圖:投影曲線的研究過程空間曲線投影曲線投影柱面11/12/202318例4

求曲線在坐標(biāo)面上的投影。解（1）消去變量z后得在面上的投影為11/12/202319所以在xoz面上的投影為線段:（3）同理在yoz面上的投影也為線段:（2）因?yàn)榍€在平面上，11/12/202320截線方程為解xyz11/12/202321補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面11/12/202322例6設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面解半球面和錐面的交線為所圍成，求它在xoy平面上的投影。11/12/202323思考題求橢圓拋物面與拋物柱面的交線關(guān)于xoy平面的投影柱面和在xoy平面上的投影曲線的方程。解交線方程為在xoy面上的投影為11/12/202324

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