3.2.2解析函數(shù)的無(wú)窮可微性

解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性

問(wèn)題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。1.解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理3.3在定理3.1條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且有注上式也可寫成該公式在求積分是常用到先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。是D內(nèi)另一點(diǎn)。證明只需證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，下式也趨近于0

現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個(gè)圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當(dāng)時(shí)設(shè)|f(z)|在C上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)C的長(zhǎng)度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時(shí)，要證的積分趨于0。至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]注3.高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.例1解例2解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得例3解根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,例4解分幾種情況同理有根據(jù)復(fù)周線Cauchy積分定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,2解析函數(shù)的無(wú)窮可微性定理3.4設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且它們也在D內(nèi)解析.證明在數(shù)學(xué)分析中，我們知道一個(gè)在區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)的實(shí)變函數(shù)f(x)在這區(qū)間內(nèi)不一定有二階導(dǎo)數(shù)。但在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，即只設(shè)有一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)卻具有任意階導(dǎo)數(shù)。可見(jiàn)復(fù)變函數(shù)在一區(qū)域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)是很強(qiáng)的條件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。課堂練習(xí)答案四、小結(jié)與思考高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式思考題解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說(shuō)明解析函數(shù)的