高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)4 第4講　算法初步

第4講算法初步課標(biāo)要求考情分析1.了解算法的含義，了解算法的思想．2．理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)．3．了解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義.主要考查程序框圖、循環(huán)結(jié)構(gòu)和算法思想，并結(jié)合函數(shù)與數(shù)列考查邏輯思維能力，題型主要以選擇題、填空題為主，考查求程序框圖中的執(zhí)行結(jié)果和確定控制條件，難度為低中檔.核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算1．算法與程序框圖(1)算法①定義：算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．②應(yīng)用：算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．(2)程序框圖定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．2．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)語句名稱示意圖相應(yīng)語句順序結(jié)構(gòu)(1)輸入語句：INPUT“提示內(nèi)容”；變量(2)輸出語句：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式(3)賦值語句：變量＝表達(dá)式條件結(jié)構(gòu)IF條件THEN語句體ENDIFIF條件THEN語句體1ELSE語句體2ENDIF循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)WHILE條件循環(huán)體WEND直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件常用結(jié)論1．賦值號左邊只能是變量(不能是表達(dá)式)，在一個賦值語句中只能給一個變量賦值．2．直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”．兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反．【小題自測】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)一個程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)，但不一定包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．()(2)條件結(jié)構(gòu)的出口有兩個，但在執(zhí)行時，只有一個出口是有效的．()(3)輸入框只能緊接開始框，輸出框只能緊接結(jié)束框．()(4)輸入語句可以同時給多個變量賦值．()(5)在算法語句中，x＝x＋1是錯誤的．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：選B.n＝1，S＝0，第1次執(zhí)行循環(huán)體，n＝2，S＝4，不滿足S≥29，第2次執(zhí)行循環(huán)體，n＝3，S＝29，滿足S≥29，退出循環(huán)體，此時n＝3.第2題圖第3題圖3．(不明結(jié)構(gòu)形式致誤)閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是()A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，－1] D．[－2，0]解析：選D.由程序框圖可得分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x∈[－2，2]，,2，x?[－2，2]，))令2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，則x∈[－2，0]，所以輸入的實數(shù)x的取值范圍是[－2，0]．4．如圖所示的程序框圖的運行結(jié)果為________．解析：因為a＝2，b＝4，所以輸出S＝eq\f(2,4)＋eq\f(4,2)＝2.5.答案：2.5第4題圖第5題圖5．如圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是________．解析：根據(jù)程序框圖可知，k＝1時，12－1×6＋5＝0；k＝2時，22－2×6＋5<0；k＝3時，32－3×6＋5<0；k＝4時，42－4×6＋5<0；k＝5時，52－5×6＋5＝0；k＝6時，62－6×6＋5＞0.故輸出的k的值是6.答案：6考點一順序結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)(思維發(fā)散)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－1，3]，則輸出的s屬于()A．[－3，4] B．[－5，2]C．[－4，3] D．[－2，5]【解析】由程序框圖得分段函數(shù)s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，,4t－t2，t≥1.))所以當(dāng)－1≤t<1時，s＝3t∈[－3，3)；當(dāng)1≤t≤3時，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此時3≤s≤4.綜上，函數(shù)的值域為[－3，4]．【答案】A1．若本例的判斷框中的條件改為“t≥1？”，則輸出的s的范圍是________．解析：由程序框圖得分段函數(shù)s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t≥1，,4t－t2，t<1.))所以當(dāng)1≤t≤3時，s＝3t∈[3，9]，當(dāng)－1≤t<1時，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此時－5≤s<3.綜上，函數(shù)的值域為[－5，9]．答案：[－5，9]2．本例框圖不變，若輸出s的值為3，求輸入的t的值．解：由本例解析知s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，,4t－t2，t≥1.))則3t＝3，所以t＝1(舍去)，4t－t2＝3，所以t＝1或3.應(yīng)用順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的注意點(1)順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的．(2)條件結(jié)構(gòu)利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時，重點是判斷框，判斷框內(nèi)的條件不同，對應(yīng)的下一圖框中的內(nèi)容和操作要相應(yīng)地進(jìn)行變化，故要重點分析判斷框內(nèi)的條件是否滿足．[提醒]條件結(jié)構(gòu)的運用與數(shù)學(xué)的分類討論有關(guān)．設(shè)計算法時，哪一步要分類討論，哪一步就需要用條件結(jié)構(gòu)．【對點訓(xùn)練】1．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的x為3，則輸出的y的值為()A．24 B．25C．30 D．40解析：選D.a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.第1題圖第2題圖2．(2022·南昌市一模)如圖，將框圖輸出的y看成輸入的x的函數(shù)，得到函數(shù)y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝1對稱 B．關(guān)于直線x＝－1對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于點(0，0)對稱解析：選D.由程序框圖可知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x＜0,x2－2x，x≥0))，作出其大致圖象，如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0，0)對稱，故選D.考點二循環(huán)結(jié)構(gòu)(多維探究)考向1由程序框圖求輸出(輸入)的值(1)(2021·合肥質(zhì)檢)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖是應(yīng)用秦九韶算法的一個程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入x＝a，n＝2，輸出s＝26，則輸入的實數(shù)a的值為()A．－4或－3 B．－3或4C．－4或3 D．3或4第(1)題圖第(2)題圖(2)(2022·昆明三診一模)如圖所示的程序框圖的算法思路源于歐幾里得在公元前300年左右提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為196和42，則輸出的b＝()A．2 B．7C．14 D．28【解析】(1)初始條件k＝0，s＝0，x＝a，n＝2，依次執(zhí)行如下：s＝0·a＋2＝2，k＝1，s＝2a＋2，k＝2，s＝(2a＋2)a＋2，k＝3，退出循環(huán)，所以(2a＋2)a＋2＝26?a＝－4或a＝3，故選C.(2)第一次循環(huán)：a＝196，b＝42，r＝196－42×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(196,42)))＝196－42×4＝196－168＝28≠0，不滿足r＝0，則a＝42，b＝28；r＝42－28×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(42,28)))＝42－28×1＝14≠0，不滿足r＝0，則a＝28，b＝14；r＝28－14×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,14)))＝28－14×2＝0，滿足r＝0，結(jié)束循環(huán)，輸出b＝14，故選C.【答案】(1)C(2)C考向2完善程序框圖(2022·長春市高三質(zhì)量檢測)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為126，則判斷框內(nèi)的條件可以為()A．n≤5?B．n≤6?C．n≤7?D．n≤8?【解析】初始值，n＝1，S＝0，進(jìn)入循環(huán)，S＝2，n＝2；S＝6，n＝3；S＝14，n＝4；S＝30，n＝5；S＝62，n＝6；S＝126，n＝7，此時退出循環(huán)，輸出S＝126.所以判斷框內(nèi)的條件可以為n≤6？，故選B.【答案】B考向3辨析程序框圖的功能(2022·甘肅名校聯(lián)考)圖①是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖，1號到16號同學(xué)的成績依次為A1，A2，…，A16，圖②是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)的程序框圖，那么該程序框圖輸出的結(jié)果是()A．6 B．10C．91 D．92【解析】A1＝76，i＝1，i≤16成立，A1≥90不成立，i＝1＋1＝2；A2＝79，i＝2，i≤16成立，A2≥90不成立，i＝2＋1＝3；…；A7＝92，i＝7，i≤16成立，A7≥90成立，n＝0＋1＝1，i＝7＋1＝8；…依此類推，可知程序框圖是統(tǒng)計成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)，從莖葉圖中可知，成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)為10，故選B.【答案】B循環(huán)結(jié)構(gòu)的?？碱愋图敖忸}思路(1)確定循環(huán)次數(shù)：分析進(jìn)入或退出循環(huán)體的條件，確定循環(huán)次數(shù)．(2)完善程序框圖：結(jié)合初始條件和輸出結(jié)果，分析控制循環(huán)的變量應(yīng)滿足的條件或累加、累乘的變量的表達(dá)式．(3)辨析循環(huán)功能：執(zhí)行程序若干次，即可判斷．【對點訓(xùn)練】1．(2022·河南新鄉(xiāng)二模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的N＝10，則輸出的X＝()A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,21)C.eq\f(1,19) D.eq\f(1,17)解析：選B.X＝eq\f(1,3)，n＝2；X＝eq\f(1,5)，n＝3；X＝eq\f(1,7)，n＝4；…；X＝eq\f(1,19)，n＝10；X＝eq\f(1,21)，n＝11＞N.故輸出的X＝eq\f(1,21).第1題圖第2題圖2．(2022·山西呂梁孝義模擬)為了計算S＝3＋33＋333＋3333＋33333，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，則①和②處的框內(nèi)可以分別填入()A．S＝S＋3×10i－1和i＝i＋2B．S＝S＋(10i－1)÷3和i＝i＋1C．S＝S＋3×10i和i＝i＋3D．S＝S＋(10i－1－1)÷3和i＝i＋1解析：選B.i為計數(shù)變量，由i＞5？，得執(zhí)行了5次運算，且是逐步進(jìn)行的，所以i＝i＋1，可排除A和C；第一次循環(huán)時S＝3，可排除D.故選B.考點三基本算法語句(師生共研)根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時，輸出y的值為________．【解析】由算法語句讀出其功能，進(jìn)一步利用分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值．由題意，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6（x－50），x＞50.))當(dāng)x＝60時，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.所以輸出y的值為31.【答案】31算法語句應(yīng)用的關(guān)注點【對點訓(xùn)練】下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是________．i＝11S＝1DOS＝S*ii＝i－1LOOPUNTILi<9PRINTSEND解析：程序反映出的算法過程為i＝11?S＝11×1，i＝10；i＝10?S＝11×10，i＝9；i＝9?S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9退出循環(huán)，執(zhí)行“PRINTS”．故S＝990.答案：990[A級基礎(chǔ)練]1．已知一個算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸出的結(jié)果為0時，輸入的實數(shù)x的值為()A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－3或－9解析：選B.當(dāng)x≤0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－8＝0，x＝－3；當(dāng)x>0時，2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，故選B.第1題圖第2題圖2．(2022·山西階段性測評)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，下列說法正確的是()A．若輸入a，b，c的值依次為1，2，3，則輸出的值為5B．若輸入a，b，c的值依次為1，2，3，則輸出的值為7C．若輸入a，b，c的值依次為2，3，4，則輸出的值為8D．若輸入a，b，c的值依次為2，3，4，則輸出的值為10解析：選C.模擬該程序框圖，當(dāng)a＝1，b＝2，c＝3時，1＜2，c＝1，a＝2，b＝1，ac＋b＝2×1＋1＝3，輸出的結(jié)果是3，故A，B錯誤；當(dāng)a＝2，b＝3，c＝4時，2＜3，c＝2，a＝3，b＝2，ac＋b＝3×2＋2＝8，輸出的結(jié)果是8，故C正確，D錯誤．故選C.3．(2022·河南省名校聯(lián)考)如圖所示的程序框圖是為了求出滿足1＋3＋5＋…＋n≤2020的最大正奇數(shù)的值，那么在框中，可以填()A．“輸出i－4” B．“輸出i－2”C．“輸出i－1” D．“輸出i”解析：選A.由于滿足1＋3＋5＋…＋n＞2020后，此時i值比程序要求的i的值多2，又執(zhí)行了一次i＝i＋2，故輸出的應(yīng)為i－4，故選A.第3題圖第4題圖4．(2022·陜西摸底檢測)設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表：x12345f(x)14253執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x的值是()A．4 B．5C．2 D．3解析：選C.設(shè)i＝k時的x值為xk，則由題意可知x0＝3，x1＝2，x2＝4，x3＝5，x4＝3，x5＝2，…，則數(shù)列{xk}是以4為周期的數(shù)列．由程序框圖知當(dāng)i＞2021時，結(jié)束循環(huán)，又x2021＝x1＝2，所以輸出的x的值為2，故選C.5．(2022·江西重點中學(xué)聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝eq\f(4,9)，則輸入的P的取值范圍是()A．(15，16] B．(16，17]C．(17，18] D．(18，19]解析：選B.由程序框圖可知，S＝0＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(4,9)，解得n＝17，即當(dāng)n＝16時是最后一次循環(huán)，當(dāng)n＝17時退出循環(huán)，所以16＜P≤17，故選B.第5題圖第6題圖6．(2022·東北三校聯(lián)考)如圖所示程序框圖的運行結(jié)果為S＝840，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是()A．k＜5? B．k＜4?C．k＜3? D．k＜2?解析：選B.執(zhí)行程序框圖，S＝1，k＝7；S＝7，k＝6；S＝42，k＝5；S＝210，k＝4；S＝840，k＝3，此時滿足運行結(jié)果S＝840，故選B.7．從1，2，3，4，5，6，7，8中隨機取出一個數(shù)，記為x，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于40的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(1,2)解析：選B.由程序框圖，得輸出的結(jié)果為3(3x＋1)＋1，令3(3x＋1)＋1≥40，即9x＋4≥40，解得x≥4，所以x的值可能為4，5，6，7，8，所以輸出的x不小于40的概率P＝eq\f(5,8).第7題圖第8題圖8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則該算法的功能是()A．計算(1＋1)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．計算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．計算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．計算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值解析：選C.初始值k＝1，S＝0.S＝1＋20，k＝2，若滿足k≤n，則S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…當(dāng)k＝n時，S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，退出循環(huán)體，輸出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故選C.9．輸入x＝5，運行如圖所示的程序之后得到的y等于________．解析：由題意，得y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜0，,（x－1）2，x≥0，))所以f(5)＝(5－1)2＝16.答案：1610．已知程序框圖如圖所示，若輸入的S＝1，k＝1，則輸出的S為________．解析：第一次循環(huán)，k＝2，S＝4；第二次循環(huán)，k＝3，S＝11；第三次循環(huán)，k＝4，S＝26；第四次循環(huán)，k＝5，S＝57.此時，終止循環(huán)，輸出的S＝57.答案：57第10題圖第11題圖11．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，問：米幾何？”如圖是類似該問題的程序框圖，若輸出的S＝2.25(單位：升)，則輸入的k的值為________．解析：運行程序，變量的值依次為n＝1，S＝k；n＝2，S＝eq\f(k,2)；n＝3，S＝eq\f(k,3)；n＝4，S＝eq\f(k,4)，此時不滿足循環(huán)條件，輸出S＝eq\f(k,4)＝2.25，解得k＝9.答案：912．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的S的值為________．解析：依題意得，程序運行后輸出的是數(shù)列{an}的第2013項，其中數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，an＜1,\f(1,8)an，an≥1)).注意到a2＝eq\f(1,8)，a3＝eq\f(1,4)，a4＝eq\f(1,2)，a5＝1，a6＝eq\f(1,8)，…，該數(shù)列中的項以4為周期重復(fù)性地出現(xiàn)，且2013＝4×503＋1，因此a2013＝a1＝1，運行程序后輸出的S的值為1.答案：1[B級綜合練]13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，定義一個函數(shù)y＝f(x)，若x∈R，則()A．函數(shù)y＝f(x)的周期為1B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱C．函數(shù)y＝f(f(x))與函數(shù)y＝ex－x＋1的圖象有一個交點D．f(eq\r(2))＋f((eq\r(2))2)＋…＋f((eq\r(2))2020)＝1010解析：選D.由程序框圖知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))可見任意一個