第4章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4函數(shù)單調(diào)性與極值

1§4.3函數(shù)的單調(diào)性與極值一.函數(shù)單調(diào)性的判定方法二.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用三.函數(shù)的極值2

在第一章,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或減少)的幾何解釋:在某個(gè)區(qū)間上對(duì)應(yīng)曲線是上升或下降的.

如

單調(diào)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一,也是本章主要內(nèi)容.它既決定著函數(shù)遞增和遞減的狀況,又有助于我們研究函數(shù)的極值、證明某些不等式、分析描繪函數(shù)的圖形等.一.函數(shù)單調(diào)性的判定方法3

用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的有比較法、比值法等.下面討論如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.y=?(x)oxxyyoy=?(x)4y=?(x)oxxyyoy=?(x)若y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增若y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減5

定理4.3.1(函數(shù)單調(diào)性判定法則)

設(shè)y=?(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則有即函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間保號(hào)從而此函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一定單調(diào).證則?(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增性;則?(x)

在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞減性.根據(jù)拉格朗日中值定理,有6

注

1

定理4.3.1的結(jié)論對(duì)其他各種區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間)也成立.內(nèi)單調(diào)遞增;內(nèi)單調(diào)遞減.7

注2函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．解所以函數(shù)單調(diào)減少；所以函數(shù)單調(diào)增加；例1討論的單調(diào)性.在內(nèi)，在內(nèi)，8oxy

此定理可完善為充要條件.即若?(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加(或減少),則?(x)在(a,b)內(nèi)必有單調(diào)增加.若則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).注3

如果函數(shù)且等號(hào)僅在個(gè)別點(diǎn)處成立,則定理4.3.1仍成立.如9

從例1可知，我們可以根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

又如，函數(shù)y=|x|,x=0為其連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn).而在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；

結(jié)論:

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),那么只要用方程.(稱為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn))來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間,就能10保證函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào),從而可得單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)定理4.3.1,確定函數(shù)y=?(x)的單調(diào)性的一般步驟是:(1)確定函數(shù)定義域;

(2)確定函數(shù)的駐點(diǎn)的點(diǎn),以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分定義域?yàn)槎鄠€(gè)子區(qū)間;

(3)確定

在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),從而定出?(x)在各子區(qū)間的單調(diào)性.11解

函數(shù)f(x)定義域?yàn)?/p>

例2

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.x

列表討論如下:將分成12

故

是?(x)的遞增區(qū)間.[1,2]是遞減區(qū)間.(端點(diǎn)可包括也可不包括)解函數(shù)定義域?yàn)樗詘=0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn).例

討論函數(shù)的單調(diào)性.在?(x)是單調(diào)遞增的；內(nèi)，在內(nèi)，?(x)是單調(diào)遞減的；13例3證明不等式

下面利用函數(shù)的單調(diào)性,來(lái)證明不等式和判斷方程的根的存在性及其個(gè)數(shù).

關(guān)鍵是根據(jù)所證不等式及所給區(qū)間構(gòu)造輔助函數(shù),并討論它在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.1.證明不等式證二.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用14單增.證15單減.證(1)設(shè)例4證明方程有且僅有一個(gè)正根.

若y=?(x)單調(diào)且變號(hào),則方程?(x)=0

一定有根,而函數(shù)曲線與

x

軸的交點(diǎn),就是方程的根.2.討論方程根的問(wèn)題

16且僅有一個(gè)正根.單調(diào)增加.證因當(dāng)x>a時(shí),

有內(nèi)單調(diào)增加.(其中k為常數(shù)).

則?(x)

在例5

設(shè)?(x)在內(nèi)連續(xù),?(a)

<0,當(dāng)

x>a時(shí),有求證:在內(nèi),方程?(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根.在區(qū)間上由拉格朗日中值定理得17oxy=?(x)ay由介值定理知方程?(x)

=0在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.故結(jié)論得證.18oxyy=?(x)Mmab設(shè)函數(shù)y=?(x)在(a?b)內(nèi)圖形如下圖:

但它們又不是整個(gè)定義區(qū)間上的最小、最大值,

而且

三.函數(shù)的極值比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要小;而在處的函數(shù)值比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要大;19為此,我們引入函數(shù)極值與極值點(diǎn)的概念.1.極值的定義x=x0稱為?(x)的極大值點(diǎn).稱為?(x)的極小值點(diǎn).

定義4.3.1,則稱

為函數(shù)?(x)的極大值.內(nèi)有定義，設(shè)y=?(x)在鄰域?qū)阌?則稱

為函數(shù)?(x)的極小值.20

我們將函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn).

問(wèn)題:請(qǐng)指出右圖中的極值及極值點(diǎn).oxyy=?(x)Mmab

由極值定義知:極值是函數(shù)的局部性態(tài).它只是極值點(diǎn)的函數(shù)值與極值點(diǎn)附近的函數(shù)值相比較而言的,故它只可能在(a,b)的內(nèi)點(diǎn)處取得.同時(shí),一個(gè)函數(shù)可能有若干個(gè)極小值或極大值.而且從21圖得出但在定義區(qū)間內(nèi)卻最多只有一個(gè)最大值M與最小值m.定理4.3.2(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)

y=?(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo).2.極值的必要條件證設(shè)為極值(不妨設(shè)為極大值),則存在x0的一鄰域當(dāng)

時(shí),有處極大值卻比處的極小值還小.若x0為的極值點(diǎn),(即為極值).則x0

為函數(shù)的駐點(diǎn),即22當(dāng)

時(shí),有當(dāng)

時(shí),有注4可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn).23

從而有幾何意義:可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處的切線是與x

軸平行的(羅爾定理).

注5

對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō),駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即曲線上有水平切線的地方,

函數(shù)不一定有極值.如oxy則x=0

為

f(x)=x3

的駐點(diǎn).如圖:x=0

不是f(x)=x3

的極值點(diǎn).24

注6

對(duì)于函數(shù)y=|x|,

我們已知x=0是函數(shù)的連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn).但x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn).如圖.oxy=|x|也就是說(shuō),連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).從直觀圖形看,不難得出如下的結(jié)論:那么如何判斷駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處是否為極值點(diǎn)呢?y

結(jié)論:

對(duì)于可微函數(shù)來(lái)講“極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn),

但駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)”.從而,可微函數(shù)的極值點(diǎn)必在其駐點(diǎn)之中。25

定理4.3.3(極值存在的第一充分條件)設(shè)函數(shù)y=?(x)在

3.極值存在的充分條件內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).26因此求極值的一般步驟為:此定理可簡(jiǎn)單敘述為:設(shè)x0為連續(xù)函數(shù)?(x)的可能極值點(diǎn),若當(dāng)x從x0左側(cè)變到右側(cè)時(shí),

(2)考察這些點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)(方法:特殊取點(diǎn)),從而確定極值點(diǎn);(3)求出極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為極值.值點(diǎn).證

由極值的定義及定理1可證.變號(hào),則x0為?(x)的極

(1)確定函數(shù)定義域,確定函數(shù)的駐點(diǎn)及連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn);在x0的兩側(cè)保號(hào),

則x0不是?(x)的極值點(diǎn).若27不是極值點(diǎn),故只有極小值解例6

求函數(shù)的極值.28例7

求函數(shù)此函數(shù)的單調(diào)性在前面已討論,現(xiàn)重新列表如下:x

故函數(shù)有極大值?(0)=0.

函數(shù)有極小值解

當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為0時(shí),也可用下面定理來(lái)判定?(x)在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值.29定理4.3.4(極值存在的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)存在,若證及極限的保號(hào)性定理知?jiǎng)tx0是函數(shù)?(x)的極值點(diǎn);

值.且只證(1)由于為函數(shù)的極時(shí),則x0處為極小值點(diǎn);

為極小值;時(shí),則x0處為極大值點(diǎn);

為極大值.30的鄰域內(nèi)由負(fù)變到正,則由定理4.3.2知,?(x)在x0處取得極小值.31(3)求出極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為極值.注7運(yùn)用定理4.3.4求極值的步驟是:(1)給出定義域,并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)的全部駐點(diǎn),和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(2)考察在駐點(diǎn)處的符號(hào),從而確定極值點(diǎn);32例8