2023學(xué)年完整公開(kāi)課版垂徑定理

24.1.2垂直于弦的直徑如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？?思考·OABCDE活動(dòng)二（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：

AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢茫粒模剑拢摹小邪褕A沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理BAOCDEBAOCDE不是直徑

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

BAOCDEACBDO（不是直徑）根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)。如果具備（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論注意判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧…………..()（2）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心……..()（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧………()××√例1如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑.解：連結(jié)OA。過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE?！逜B＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。.AEBO求圓中有關(guān)線段的長(zhǎng)度時(shí),常借助垂徑定理轉(zhuǎn)化為直角三角形,從而利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.

·OABE若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm。輕松過(guò)關(guān)BAOCD1、同心圓O中，大圓的直徑AB交小圓于點(diǎn)C、D，請(qǐng)問(wèn)AC=BD嗎？2、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圓于點(diǎn)C、D，此時(shí)圖中還有哪些相等的線段？為什么？應(yīng)用：BAOCDE若兩圓半徑分別為5cm和，弦AB=8cm,則AC=

cm.

1在圓中研究有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常過(guò)圓心作垂直于弦的垂線段，利用垂徑定理來(lái)證明線段相等、弧相等,利用勾股定理列方程進(jìn)行計(jì)算.

例2已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。求證：AC＝BD。證明：過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO講解小結(jié):

解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO

趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？問(wèn)題？OABDCr應(yīng)用：OABDCr

如圖用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r.

經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與