橢圓的簡單幾何性質 市賽獲獎

2.2.2橢圓的簡單幾何性質(三)1-----直線與橢圓的位置關系2-----弦長公式標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系|x|≤a,|y|≤b關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前復習1.點與橢圓的位置關系回憶：直線與圓的位置關系1.位置關系：相交、相切、相離2.判別方法(代數法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二元一次方程組

(1)△>0

直線與圓相交

有兩個公共點；

(2)△=0

直線與圓相切

有且只有一個公共點；

(3)△<0

直線與圓相離

無公共點．通法2，直線與橢圓的位置關系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)

直線與橢圓的位置關系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程組：<0方程組無解相離無交點=0方程組有一解相切一個交點>0相交方程組有兩解兩個交點代數方法=n2-4mp1.位置關系：相交、相切、相離2.判別方法(代數法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二元一次方程組

(1)△>0

直線與橢圓相交

有兩個公共點；

(2)△=0

直線與橢圓相切

有且只有一個公共點；

(3)△<0

直線與橢圓相離

無公共點．通法直線與橢圓的位置關系例1.K為何值時,直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個公共點?有一個公共點?沒有公共點?例2.無論k為何值,直線y=kx+2和曲線交點情況滿足()A.沒有公共點B.一個公共點C.兩個公共點D.有公共點D直線與橢圓的位置關系oxy直線與橢圓的位置關系oxy思考：最大的距離是多少？直線與橢圓的位置關系練習：已知直線y=x-與橢圓x2+4y2=2，判斷它們的位置關系。x2+4y2=2解：聯(lián)立方程組消去y?>0因為所以，方程（１）有兩個根，那么，相交所得的弦的弦長是多少？則原方程組有兩組解….-----(1)由韋達定理直線與橢圓的位置關系設直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點，直線P1P2的斜率為k．弦長公式：3弦長公式例：已知斜率為1的直線L過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦AB之長．3弦長公式解：3.若P(x,y)滿足,求的最大值、最小值.例

：已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被

平分，求此弦所在直線的方程.解：韋達定理→斜率韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來構造弦中點問題例

：已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率．點作差弦中點問題例：已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0從而A,B在直線x+2y-4=0上而過A,B兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，弦中點問題練習：1、如果橢圓被的弦被（4，2）平分，那么這弦所在直線方程為（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、y=kx+1與橢圓恰有公共點，則m的范圍（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）3、過橢圓x2+2y2=4的左焦點作傾斜角為300的直線，則弦長|AB|=_______,DC1、直線與橢圓的三種位置關系及判斷方法；2、弦長的計算方法：弦長公式：

|AB|=

=（適用于任何曲線）

小結3、弦中點問題的兩種處理方法：（1）聯(lián)立方程組，消去一個未知數，利用韋達定理；（2）設兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。

1、直線與橢圓的三種位置關系及判斷方法；2、弦長的計算方法：弦長公式：

|AB|=