四川省德陽五中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

四川省德陽五中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.82．已知橢圓C：的一個焦點(diǎn)為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.253．已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則（）A. B.C. D.4．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，若橢圓上不存在點(diǎn)，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．中國農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.某小學(xué)三年級共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人6．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.7．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.48．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.10．將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.11．已知直線過點(diǎn)，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動直線，恒過的定點(diǎn)是________14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，若點(diǎn)P滿足，則_______15．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________16．函數(shù)定義域?yàn)開__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值及相應(yīng)的n值18．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，證明：20．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時，求此時圓C的方程.21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).22．（10分）設(shè)函數(shù)過點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.2、A【解析】由題意可得焦點(diǎn)在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點(diǎn)是，∴，∴，故選：A3、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，所以，得故選：C4、C【解析】點(diǎn)P取端軸的一個端點(diǎn)時，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計算公式即可得出【詳解】∵點(diǎn)P取端軸的一個端點(diǎn)時，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、C【解析】根據(jù)頻率計算出正確答案.【詳解】一句也說不出的學(xué)生頻率為，所以估計名學(xué)生中，一句也說不出的有人.故選：C6、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A7、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B8、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A9、A【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為故選：A10、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.11、D【解析】根據(jù)題意和直線的點(diǎn)方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且方向向量為，由直線的點(diǎn)方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D12、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將直線方程轉(zhuǎn)化為，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點(diǎn)（2，2）故答案為：14、【解析】設(shè)，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為?5、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，16、【解析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)或11時，最大值為55.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得方程組，解這個方程組得公差和首項(xiàng)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式n.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次式，將這個二次式配方即可得最大值.【詳解】（1）由題設(shè)，故（舍，此時）或.故，故.（2）由（1）可得，因?yàn)?，對稱方程為，故當(dāng)或時，取最大值，此時最大值為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結(jié)果.（2）根據(jù)等價轉(zhuǎn)換的思想，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并比較的極值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關(guān)于x的方程有一個實(shí)數(shù)根，等價于方程有一個實(shí)數(shù)根，即等價于函數(shù)的圖像只有一個交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式，還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價轉(zhuǎn)換，屬基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即又2個不同實(shí)數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，，所以，即，即得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)?，，所以有，?dāng)P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥枺?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，于是有以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時，此時最小，當(dāng)時，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當(dāng)時，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點(diǎn)；綜合兩種情況可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）橢圓過點(diǎn)，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點(diǎn)；綜上所述：直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.22、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大