二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（同步課件）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精品課堂（北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)）

5.4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.二項(xiàng)式定理的內(nèi)容:(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn2.二項(xiàng)式系數(shù):3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk+1=針對(duì)(a+b)n的標(biāo)準(zhǔn)形式而言(b+a)n，(a-b)n的通項(xiàng)則分別為:溫故知新《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x三角1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律

楊輝三角展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………①每行兩端都是1②從第二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++(1)遞推性:

除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)定義域{0,1,2,…,n}

61420O63r

f(r)令當(dāng)n=6時(shí),其圖象是7個(gè)孤立點(diǎn)（2）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱軸：1、在(a＋b)20展開式中，與第五項(xiàng)的系數(shù)相同的項(xiàng)是().A第15項(xiàng)B第16項(xiàng)C第17項(xiàng)D第18項(xiàng)C2、在(1＋x)10展開式中，與第五項(xiàng)的系數(shù)相同的項(xiàng)是_______.3、(a+b)n展開式中第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等，則n為______.第七項(xiàng)8深化新知（3）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。思考：為什么二項(xiàng)式的系數(shù)具有“先增后降”的增減性？增減性的實(shí)質(zhì)是比較的大小.所以相對(duì)于的增減情況由決定．

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

思考：為什么二項(xiàng)式的系數(shù)具有“先增后降”的增減性？1.在()8展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)_.2.在()15展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)_____深化新知3.展開式中，只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)思考并回答11121133114641151010511615201561172135352171二項(xiàng)式系數(shù)和2.求證：例1、求證：證明：由令a=1，b=1，則即證：證明：在展開式中令a=1，b=－1得

小結(jié)：賦值法在二項(xiàng)式定理中，常對(duì)a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。

例2

證明在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4:(a+b)n的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.性質(zhì)5：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.即：例3、若的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，求它的中間項(xiàng).解：∵展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的的系數(shù)相等∴由已知可得：2n-1=1024解得n=11，∴有兩個(gè)中間項(xiàng)分別為T6=462x-4，T7=462x一般地，

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)

有如下基本性質(zhì)：

（2）（4）（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，最大

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=且最大

（1）（對(duì)稱性）（5）

√鞏固提升×××2．(1－2x)15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是(

)A．1B．－1C．215D．315解析：令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)和為－1.答案：B3．若(1＋3x)n的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第4項(xiàng)的系數(shù)為(

)A．4B．27C．36D．108

答案：D4．(2x－1)6展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為

；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為________．解析：令展開式左、右兩邊x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為1；各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26＝64.答案：1

64賦值法的應(yīng)用—解決二項(xiàng)式系數(shù)問題.賦值法例4.例4小結(jié)：求奇次項(xiàng)系數(shù)之和與偶次項(xiàng)系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解變式AC令x=116例6.在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);(2)系數(shù)最大的項(xiàng);解:(1)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng).則

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以當(dāng)r=8時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（2）因?yàn)橄禂?shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第2r-1項(xiàng)系數(shù)最大。（以下同2）

r=5.例3.在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);(2)系數(shù)最大的項(xiàng);1、在(a＋b)20展開式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是().C課堂練習(xí):A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)2、在(a＋b)11展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)().4，化簡(jiǎn)+++

+=3，已知展開式中只有第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=______。185.(1﹣x)13

的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是（）(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)6.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一個(gè)燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為（）(A)20(B)219

（C）220