泰安市重點中學2024屆高二數學第一學期期末經典試題含解析

泰安市重點中學2024屆高二數學第一學期期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為3∶3∶4，現用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取容量為50的樣本，則應從高三年級抽取的學生數為（）A.10 B.15C.20 D.302．若展開式的二項式系數之和為，則展開式的常數項為（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.4．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.5．若數列的前n項和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.506．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.7．函數區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值8．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.9．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）10．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：311．曲線在點處的切線方程是A. B.C. D.12．已知函數在處取得極小值，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，點E，F，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數表示）14．正方體，點分別是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.15．拋物線C：的焦點F，其準線過（-3，3），過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則p=___________；弦AB的長為___________.16．在等差數列中，，那么等于______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）已知數列滿足（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和19．（12分）已知函數.（1）判斷的單調性.（2）證明：.20．（12分）已知拋物線經過點.（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（Ⅱ）過拋物線C上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積的最小值.21．（12分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）求.22．（10分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應從高三年級抽取的學生數為，故選：C.2、C【解析】利用二項式系數的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數項為.故選：C.3、D【解析】先求得拋物線的焦點坐標，再根據點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準線方程為，故選：D4、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B5、B【解析】由前項和公式直接作差可得.【詳解】數列的前n項和(n∈N*)，所以.故選：B.6、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.7、B【解析】求出得出的單調區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當時，，單調遞減.當時，，單調遞增.所以當時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B8、B【解析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B9、D【解析】根據圖形可得（1）具有函數關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.10、A【解析】求出橢圓的焦點坐標，再根據點在橢圓上，線段的中點在軸上,求得點坐標，進而計算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設點坐標為，線段的中點為，因為線段中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.11、D【解析】先求導數，得切線的斜率，再根據點斜式得切線方程.【詳解】，選D.點睛】本題考查導數幾何意義以及直線點斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎題.12、A【解析】由導數與極值與最值的關系，列式求實數的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗，時，當，得或，函數的單調遞增區(qū)間是和，當，得，所以函數的單調遞減區(qū)間是，所以當時，函數取得極小值，滿足條件.所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：14、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據異面直線所成角的向量求法可求得結果.【詳解】以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體棱長為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.15、①.6；②.48.【解析】先通過準線求出p，寫出拋物線方程和直線方程，聯立得出，進而求出弦AB的長.【詳解】由知準線方程為，又準線過（-3，3），可得，；焦點坐標為，故直線方程為，和拋物線方程聯立，，得，故，又.故答案為：6；48.16、14【解析】根據等差數列的性質得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為數列為等差數列，且，根據等差數列的性質，可得，解答，又由.故答案為：14.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導出，取BC的中點F，連結EF，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標原點，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系(如圖)，則∴設平面的法向量為，則，即得平面一個法向量為由（1）知平面，所以可設平面的法向量為設平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點睛】用空間向量求解立體幾何問題的注意點（1）建立坐標系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準確求得所需點的坐標（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關系，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結論18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數列，再由可得答案.（2）,分為奇數、偶數，分組求和即可求解.【小問1詳解】由，得，故是公差為2的等差數列，故，由，故，于是.【小問2詳解】依題意，，當為偶數時，故，當為奇數時，，綜上，.19、（1）在R上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析】（1）對求導，令并應用導數求最值，確定的符號，即可知的單調性.（2）利用作差法轉化證明的結論，令結合導數研究其單調性，最后討論的大小關系判斷的符號即可證結論.【小問1詳解】由題設，.令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增故，即，則在R上單調遞增，無單調遞減區(qū)間.【小問2詳解】.令，則.令，則，顯然在R上單調遞增，且，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增.故，即，在R上單調遞增，又，∴當時，，；當時，，；當時，.綜上，，即.【點睛】關鍵點點睛：第二問，應用作差法有，構造中間函數并應用導數研究單調性，最后討論的大小證結論.20、（1），；（2）.【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）設出點坐標，根據切線長相等以及切線垂直于半徑將四邊形的面積表示為，然后根據三角形面積公式將其表示為，根據點到點的距離公式表示出，然后結合二次函數的性質求解出四邊形面積的最小值.【詳解】（1）因為拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為，即；（2）設，因為為圓的切線，所以，且，所以，又因為，所以，當時，四邊形的面積有最小值且最小值為.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于根據圓的切線的性質將四邊形面積轉化為三角形的面積，再通過三角形的面積公式將其轉化為二次函數求最值的問題模型，對于轉化的技巧要求較高.21、（1）（2）【解析】（1）設的公比為，根據題意求得的值，即可求得的通項公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比數列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設的公比為，因為，，則，又因為，解得，所以的通項公式為.