小波分析30道題

從Fourier變換到小波變換的三個階段：*）信號加窗；**）基加窗；***）小波基；=1\*GB2⑴Fourier變換是一個強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號的Fourier變換表示信號的頻譜。正是Fourier變換的這種重要的物理意義，決定了Fourier變換在信號分析和信號處理中的獨(dú)特地位，特別是作為平穩(wěn)信號分析的最重要的工具。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的信號大多數(shù)并不是平穩(wěn)的。所以，隨著應(yīng)用范圍的逐步擴(kuò)大和理論分析的不斷深入，F(xiàn)ourier變換的局限性就漸漸展示出來了：首先，從理論上說，為了由Fourier變換研究一個時(shí)域信號的頻譜特性，必須獲得信號在時(shí)域中的全部信息，以致于包括將來的信息；其次，F(xiàn)ourier變換對信號的局部畸變沒有標(biāo)定和度量能力。但是，在許多實(shí)際應(yīng)用中，畸變正是我們所關(guān)心的信號在局部范圍內(nèi)的特征；再次，F(xiàn)ourier變換不能反映信號在局部時(shí)間范圍內(nèi)和局部頻帶上的譜信息分析，或稱為局部化時(shí)-頻分析，而這正是許多實(shí)際應(yīng)用最感興趣的問題之一；最后，因?yàn)橐粋€信號的頻率與它的周期長度成反比，因而要給進(jìn)行分析的一個靈活多變的時(shí)間和頻率的“窗口”，使其在“中心頻率(或稱為平均頻率、主頻)”高的地方，時(shí)間窗自動變窄，而在“中心頻率”低的地方，時(shí)間窗應(yīng)自動變寬。=2\*GB2⑵時(shí)間加窗：Gabor在1946年的論文中，為了提取信號的局部信息，這包括時(shí)間和頻率兩方面的局部信息，引入了一個時(shí)間局部化的“窗口函數(shù)”，其中參數(shù)用于平行移動窗口，以便于覆蓋整個時(shí)域。Gabor變換繼承了Fourier變換所具有的“信號頻譜”這樣的物理解釋，同時(shí)，它克服了Fourier變換只能反映信號的整體特征而對信號的局部特征沒有任何分析能力的缺陷，大大地改進(jìn)了Fourier變換的分析能力，為信號處理提供了一種新的分析和處理工具，即信號的時(shí)-頻分析。Gabor變換的技術(shù)、工程含義：由于我們對信號一段時(shí)間內(nèi)的譜感興趣，就采用信號加窗技術(shù)，從本質(zhì)上來講還是用譜分析技術(shù)去分析信號，屬于工程、技術(shù)上的方法。這種方法可能在這個問題中有效，在另外的問題中是否有效還是未知數(shù)。=3\*GB2⑶基加窗：其變換的表達(dá)形式與信號加窗一樣，但是蘊(yùn)含的意義卻發(fā)生重大的改變。在基加窗變換中對信號沒有任何限制，只對分析用的基進(jìn)行處理（加窗）。反映了對基本處理工具的加工，將信號加窗這種技術(shù)方法變?yōu)榱艘话愕臄?shù)學(xué)方法，應(yīng)用范圍更廣，更一般化。=4\*GB2⑷小波基：在前面，對一組基用窗函數(shù)作用得到局部化的基，這是不得已而為之。以前，使用Fourier基，應(yīng)用范圍有限，F(xiàn)ourier基的缺點(diǎn)很明顯，如Fourier基是嚴(yán)格周期函數(shù)，在許多實(shí)際問題的處理中，如對某段范圍內(nèi)的信號進(jìn)行處理，使其缺點(diǎn)表現(xiàn)得更為明顯?；哟暗哪康氖剐盘栂拗圃诜治龇秶鷥?nèi)。在基加窗基礎(chǔ)上，對基的處理進(jìn)一步一般化，將基和窗函數(shù)兩部分看作一個整體，不對基作任何限制，只說明其具有哪些性質(zhì)。這種方法體現(xiàn)了一般分析問題的方式，把復(fù)雜的信號投影到結(jié)構(gòu)簡單、清晰、且具有一定聯(lián)系的一組基上。是一種科學(xué)思想的體現(xiàn)。

Shannon小波的計(jì)算：*）Shannon采樣定理；**）采樣定理與尺度函數(shù)；***）寫出Shannon小波的時(shí)域和頻域表達(dá)式；****）寫出兩個不同的Shannon小波，并說明它們都是正交小波；=1\*GB2⑴Shannon采樣定理：設(shè)信號，如果存在B>0，使a.e.這里是f(x)的Fourier變換，則稱f(x)是B頻率截?cái)嗟?，這時(shí)，只要采樣間隔，信號f(x)按間隔進(jìn)行采樣就不會損失信息，而且，利用采樣序列可按如下公式構(gòu)造原信號上式稱為Shannon插值公式。=2\*GB2⑵采樣定理與尺度函數(shù)尺度函數(shù)為：=3\*GB2⑶寫出Shannon小波的時(shí)域和頻域表達(dá)式頻域形式為在時(shí)間域可表示為這就是一個Shannon小波。=4\*GB2⑷寫出兩個不同的Shannon小波，并說明它們都是正交小波定義函數(shù)則這時(shí)，函數(shù)族是中的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族。構(gòu)造必生成的閉子空間，?？梢则?yàn)證是上的一個正交多分辨分析，這就是Shannon的多分辨分析。事實(shí)上，這里的閉子空間可以具體寫成，即由那些截止頻率不超過的能量有限的信號組成。這時(shí)，雙尺度方程可由Shannon插值公式表示為故系數(shù)列為因此，構(gòu)造方程的系數(shù)可寫成由構(gòu)造方程得到相應(yīng)的正交小波函數(shù)為在構(gòu)造過程中涉及到的低通濾波器是高通濾波器是相應(yīng)的矩陣也是酉矩陣。為了得到正交小波函數(shù)，利用頻域計(jì)算比較方便。實(shí)際上，正交小波函數(shù)的頻域形式可寫成于是，利用Fourier變換的性質(zhì)可得它和前面的Shannon小波函數(shù)相比較，只是在時(shí)間軸上有半個單位的移動。但是，它們是完全不同的兩個Shannon小波。因?yàn)?，它們生成空間的兩個正交小波基是沒有相同基函數(shù)的。

描述MRA；分析和說明MRA構(gòu)造正交小波的關(guān)鍵步驟；能想到多少與MRA相關(guān)的東西；

5．說明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；=1\*GB2⑴直接說明Haar小波是正交小波Haar小波是法國數(shù)學(xué)家A.Haar在二十世紀(jì)三十年代給出的。具體定義是對任意，有以為例進(jìn)行驗(yàn)證，如下圖所示即，函數(shù)族構(gòu)成函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，Haar函數(shù)h(x)是正交小波，稱為Haar小波。=2\*GB2⑵定義函數(shù):它是的特征函數(shù)，構(gòu)造生成的閉子空間，。容易驗(yàn)證，是上的一個正交多分辨分析，這就是Haar的多分辨分析。實(shí)際上，這里的閉子空間具有如下的具體表表達(dá)形式即由能量有限的臺階函數(shù)組成，這些臺階函數(shù)的跳躍點(diǎn)至多出現(xiàn)在這樣的點(diǎn)上，其中是任意整數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)族是標(biāo)準(zhǔn)正交系，從而它必是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這時(shí)，雙尺度方程是因此，，所以，，這樣得到如下構(gòu)造方程是一個正交小波，容易看出，她與前面的Haar小波函數(shù)相差一個符號。構(gòu)造過程中相應(yīng)的低通濾波器是高通濾波器是而且是酉矩陣

Meyer小波的構(gòu)造方法；

構(gòu)造Daubechies系列小波中的一個或兩個；

給出Malvar小波的構(gòu)造方法（共有3種）；強(qiáng)調(diào)兩個方面：1）小波與譜分析有很大的差異，改進(jìn)了對信號的描述。但是用Fourier思想來理解小波，應(yīng)從哪個角度來理解？-〉Malvar小波2）可構(gòu)造一種小波，與Fourier變換的頻率有對應(yīng)關(guān)系，（利用尺度變化和中心的位移）。

說明正交小波包的思想（空間再分割）；回顧構(gòu)造正交小波的多分辨分析知，如果空間上的一列閉子空間和一個函數(shù)構(gòu)成上的正交多分辨分析，記為，那么，對于函數(shù)，存在唯一的序列，稱為低通濾波器系數(shù)，使得(5.2.1)這就是雙尺度方程。這時(shí)，取，稱為高通濾波器系數(shù)，則函數(shù)(5.2.2)是一個正交小波。這就是Mallat和Meyer的正交多分辨分析。這個結(jié)果還可以從另一角度來理解。這時(shí)，對于任意的整數(shù)，由函數(shù)和構(gòu)造的兩個函數(shù)族和都是空間上的標(biāo)準(zhǔn)正交系，以它們?yōu)榛鶚?gòu)成的兩個函數(shù)空間列(5.2.3)和(5.2.4)具有關(guān)系：(1)，；(2)，與正交。對于這個特例，有關(guān)系，這時(shí)，尺度方程(5.2.1)和構(gòu)造方程(5.2.2)可以重新解釋如下：函數(shù)空間上的閉子空間具有標(biāo)準(zhǔn)正交基，把它和已知的低通濾波器系數(shù)及高通濾波器系數(shù)進(jìn)行線性組合，具體形式由尺度方程(5.2.1)和構(gòu)造方程(5.2.2)限定，這樣可以構(gòu)造得到兩個函數(shù)和，它們的整數(shù)平移族都是上的標(biāo)準(zhǔn)正交系，這兩個族張成的子空間和是的兩個正交的互補(bǔ)子空間，通過這種處理實(shí)現(xiàn)了空間的正交直和分解。這啟發(fā)我們想到，關(guān)系式(5.2.1)和(5.2.2)也許是實(shí)現(xiàn)較大子空間之正交直和分解的有效工具。具體地說，如果與低通濾波器系數(shù)及高通濾波器系數(shù)進(jìn)行線性組合的函數(shù)族是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么，按上述方式處理的結(jié)果也許正好是的正交直和分解，通過這種方式的處理，有望將對應(yīng)的頻帶分割得更精細(xì)，提高信號處理的頻率分辨率。這就是正交小波包分析的基本思想。

正交小波包的定義；引入符號(5.2.5)和(5.2.6)于是，尺度方程(5.2.1)和構(gòu)造方程(5.2.2)的頻域形式可寫成(5.2.7)其中和分別是和的Fourier變換。這樣，由尺度函數(shù)所確定的小波包定義為函數(shù)列(5.2.8)顯然，對任意的非負(fù)整數(shù)，的Fourier變換可以寫成(5.2.9)

小波包的頻域表達(dá)形式；首先計(jì)算小波包函數(shù)的Fourier變換之表達(dá)式。對，將寫成二進(jìn)制形式(5.3.1)其中，。這時(shí)的Fourier變換可表為(5.3.2)在這里我們用歸納法進(jìn)行說明。當(dāng)和時(shí)，重復(fù)使用尺度方程和構(gòu)造方程的頻域形式并利用歸一化條件得即(5.3.2)成立。假設(shè)(5.3.2)對的成立，當(dāng)滿足條件時(shí)，不妨把它寫成。這樣，，其中表示不超過的最大整數(shù)。于是顯然，所以，根據(jù)歸納假設(shè)有最終得到這就是(5.3.2)。根據(jù)歸納法原理知，命題對非負(fù)整數(shù)都成立。

小波包的兩種正交性；5.4.1第一種正交性對，函數(shù)族是標(biāo)準(zhǔn)正交系。即(5.4.1)用歸納法驗(yàn)證。首先，當(dāng)時(shí)，由于尺度函數(shù)的整數(shù)平移族是標(biāo)準(zhǔn)正交系，所以，(5.4.1)成立。假設(shè)當(dāng)滿足條件時(shí)(17)成立，對于可得其中因?yàn)椋杂蓺w納假設(shè)得。根據(jù)歸納法原理，對任何非負(fù)整數(shù)，結(jié)論成立。5.4.2對，函數(shù)族與是相互正交的，即(5.4.2)事實(shí)上，根據(jù)小波包的第一種正交性可得再由正交多分辨分析中高低通濾波器的性質(zhì)最后得到。上述分析表明，正交小波包的性質(zhì)與多分辨分析之尺度函數(shù)和小波函數(shù)是很相似的。

小波空間的小波包再分割；重復(fù)使用正交直和分解關(guān)系就可得到小波空間的正交小波包直和分解，即對，有如下正交直和分解其中和，而且以右邊的函數(shù)族為標(biāo)準(zhǔn)正交基。(24)給出的分解稱為完全分解。其實(shí)，在具體應(yīng)用時(shí)，在(24)的分解過程中，某些子空間到某一步之后就不再需要分解了，只有一部分需要再分解，這樣一來，子空間的可能分割就大大增加了，為時(shí)-頻分析提供了極大的選擇余地。圖7.小波包變換對應(yīng)的空間分割及重組關(guān)系圖

小波算法：分解和合成；矩陣形式；小波包算法：分解和合成；