相似三角形-基本知識點+經(jīng)典例題(完美打印版)

...wd......wd......wd...第四章《圖形的相似》知識點與經(jīng)典題型〔2015.7.28〕知識點1有關相似形的概念(1)形狀一樣的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.(2)如果兩個邊數(shù)一樣的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識點2比例線段的相關概念〔1〕如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或寫成．注：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一?！?〕在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項,a、c叫比例前項，b、d叫比例后項，d叫第四比例項，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項，此時有?！?〕黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．即簡記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形知識點3比例的性質〔注意性質立的條件：分母不能為0〕〔1〕根本性質：①；②．注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．〔2〕更比性質(交換比例的內(nèi)項或外項)：〔3〕反比性質(把比的前項、后項交換)：．．〔4〕等比性質：如果，那么．注：性質的證明運用了“設法〞〔即引入新的參數(shù)k〕這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關比例計算變形中一種常用方法．應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質也成立．如：；其中．知識點4比例線段的有關定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例②平行線的應用：在證明有關比例線段時，輔助線往往做平行線,但應遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.AD∥BE∥CF,可得等.【典型例題示范】1、假設2x－5y=0，求的值。2、：＝=2求的值。3、線段AB=18，點C是AB一個黃金分割點,求AC的長。4、用平行線分線段成比例定理求線段的長度：如圖，ABC中，DE∥BC〔1〕假設AD=4BD=2AE=7求EC?！?〕假設AD=4AB=7EC=10求AE?！?〕假設AB=10AE=3EC=4求DB。〔4〕假設AD:AB=4:5,AE－EC=3求AE，EC的長。分析：平行出比，有下面的比①上：下=上：下②上：全=上：全③下：全=下：全④左：右=左：右【達標測評】1、等腰RtΔABC的直角邊與斜邊之比是_______2、以下各組線段長度成比例的是〔〕〔A〕2cm，3cm，4cm，1cm〔B〕1.5cm，2.5cm，〔C〕1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm〔D〕1cm，2cm，2cm，4cm3、點M將線段AB黃金分割，且AM＞BM,則以下各式中不正確的選項是〔〕(A)AM：BM=AB：AM(B)AM=AB(C)BM=AB(D)AM≈0.618AB4、.現(xiàn)有三個數(shù)1，，2，請你再添上一個數(shù)使它們成為比例式，想一想這樣的比例式唯一嗎5、：，求的值。6、假設,且2a－b+3c=21.試求a∶b：c.7、：，求k的值。能力題〔師生共作〕例1、運用平行線分線段解決“知二求二〞這類題的解法。如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過B作射線BE分別交AC、AD于E、F，,求的值思路點撥：由為線段的比，需作恰當平行線，構造線段的比，產(chǎn)生含的比例線段，并設法溝通比例式與未知比例式的聯(lián)系。解：小結：當利用圖中的線段無法得到比例線段時，可考慮添加平行線，其方法是添加成A字圖或X字圖?！具_標測評】如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，AB=5，CE=1，那么AC=______________.如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果，那么=__________________.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE∥BC，交AB于點E，假設AB=6，DE=4，則BC=_______.如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=______________.5、直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=3，BC=6，CD=4，則AO=________6、如圖，平行四邊形ABCD中,G是DC延長線上一點，AG交BD和BC于E,F，求證：EQ\F(AE,EF)=EQ\F(EG,AE)7.：如圖，AB∥EF∥CD,求證：第四章《圖形的相似》知識點與經(jīng)典題型〔2015.7.29〕知識點5相似三角形的概念相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對應角相等，對應邊成比例．注：①對應性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比擬容易找到相似三角形的對應角和對應邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．知識點6三角形相似的等價關系與三角形相似的判定定理的預備定理(1)相似三角形的等價關系：①反身性：對于任一有∽．②對稱性：假設∽，則∽．③傳遞性：假設∽，且∽，則∽(2)三角形相似的判定定理的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似．定理的根本圖形：用數(shù)學語言表述是：，∴∽．知識點7三角形相似的判定方法1、定義法：三個對應角相等，三條對應邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。知識點8相似三角形常見的圖形1、下面我們來看一看相似三角形的幾種根本圖形：如圖：稱為“平行線型〞的相似三角形〔有“A型〞與“X型〞圖〕(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型〞的相似三角形?！灿小胺碅共角型〞、“反A共角共邊型〞、“蝶型〞〕如圖：稱為“垂直型〞“雙垂直共角型〞、“雙垂直共角共邊型〔也稱“射影定理型〞〕〞“三垂直型〞也稱K字圖〕(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉型〞的相似三角形。2、幾種根本圖形的具體應用：〔1〕假設DE∥BC〔A型和X型〕則△ADE∽△ABC〔2〕射影定理假設CD為Rt△ABC斜邊上的高〔雙直角圖形〕則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；〔3〕滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．〔4〕當或AD·AB=AC·AE時，△ADE∽△ACB．知識點9：全等與相似的比擬：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應相等(ASA)

兩角一對邊對應相等(AAS)

兩邊及夾角對應相等(SAS)

三邊對應相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對應相等(HL)兩角分別相等

兩邊成比例，且夾角相等

三邊成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對應成比例知識點10相似三角形的性質(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例．(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．知識點11相似三角形中有關證〔解〕題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預備定理(3)利用相似三角形的性質(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關系

2、證明題常用方法歸納：〔1〕總體思路:“等積〞變“比例〞，“比例〞找“相似〞

(2)找相似：通過“橫找〞“豎看〞尋找三角形，即橫向看或縱向尋找的時候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應邊成比例即可證的所需的結論.

(3)找中間比：假設沒有三角形(即橫向看或縱向尋找的時候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進展“轉移〞(或“替換〞)，常用的“替換〞方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②③(4)添加輔助線：假設上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構成比例.以上步驟可以不斷的重復使用，直到被證結論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標系中通常是作垂線〔即得平行線〕構造相似三角形或比例線段?！?〕比例問題：常用處理方法是將“一份〞看著k;對于等比問題，常用處理方法是設“公比〞為k。〔6〕．對于復雜的幾何圖形，通常采用將局部需要的圖形〔或根本圖形〕“別離〞出來的方法處理?？谠E：1、遇乘積化比例，橫找豎找定相似，不相似，不著急，等線等比來代替2、幾何證明題：分析從求證入手，做題從出〔分析在草稿上完成〕知識點12相似多邊形的性質(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問題往往要轉化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是根基和關鍵．【典型例題示范】【例1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18m，小明的身高是1.6m，他的影長是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

【例2】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，假設，求.

解【變式1】：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC

類型六、綜合探究【達標檢測】1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，BE與AC相交于P，與CD延長線相交于Q，EF∥AB，交AC于F，求證：〔1〕AF·DQ=AB·CF〔2〕AP2=PF·PC9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點E，

(1)設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；

(2)請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構成矩形如果能，求出AP的長；如果不能，請說

明理由.

解：(1)∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D

又∵PE⊥BP，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，

∴△ABP∽△DPE

∴，即∴

(2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得∵，∵均符合題意，故AP=1或4.三．能力訓練：1.如圖5，中，是高，是邊的中點的延長線交的延長線于，求證〔1〕，〔2〕2..如圖6在中點從點A開場沿邊向點B以秒的速度移動，點從點開場沿邊向點以/秒的速度移動，如果分別從同時出發(fā)，那么經(jīng)過幾秒鐘，與相似第四章《圖形的相似》知識點與經(jīng)典題型〔2015.7.29〕知識點13位似圖形有關的概念與性質及作法1、如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.2.這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.注：〔1〕位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點.〔2〕位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.〔3〕位似圖形的對應邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖形的所有性質.4.畫位似圖形的一般步驟：〔1〕確定位似中心〔位似中心可以是平面中任意一點〕〔2〕分別連接原圖形中的關鍵點和位似中心，并延長〔或截取〕.〔3〕根據(jù)的位似比，確定所畫位似圖形中關鍵點的位置.〔4〕順次連結上述得到的關鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上〔圖形邊上或頂點上〕。②外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外，稱為“外位似〞〔即同向位似圖形〕③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上，稱為“內(nèi)位似〞〔即反向位似圖形〕〔5〕在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點O為位似中心，相似比為k〔k>0〕,原圖形上點的坐標為〔x,y〕,那么同向位似圖形對應點的坐標為(kx,ky),反向位似圖形對應點的坐標為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念1．判斷對錯：

(1)兩個直角三角形一定相似嗎為什么

(2)兩個等腰三角形一定相似嗎為什么

(3)兩個等腰直角三角形一定相似嗎為什么

(4)兩個等邊三角形一定相似嗎為什么

(5)兩個全等三角形一定相似嗎為什么

思路點撥：要說明兩個三角形相似，要同時滿足對應角相等，對應邊成比例.要說明不相似，則只要否認其中的一個條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個直角，其他的兩對角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個等腰三角形中有兩邊對應成比例，兩底邊的比不一定等于對應腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中

設AB=a，A′B′=b，則BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴∴ABC∽A′B′C′(4)一定相似.

因為等邊三角形各邊都相等，各角都等于60度，所以兩個等邊三角形對應角相等，對應邊成比例，因此兩個等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對應角相等，對應邊相等，所以對應邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】兩個相似比為1的相似三角形全等嗎

解析：全等.因為這兩個三角形相似，所以對應角相等.又相似比為1，所以對應邊相等.

因此這兩個三角形全等.

總結升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個直角三角形，兩個等腰三角形不一定相似.

(2)兩個等腰直角三角形，兩個等邊三角形一定相似.

(3)兩個全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個相似三角形全等.

【變式2】以下能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個角對應相等，三條對應邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對應相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對應邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對應邊的比也相等.答案選C.

類型二、相似三角形的判定2．如以下圖，中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.思路點撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴當△BEF∽△CDF時，相似比；當△BEF∽△AED時，相似比；

當△CDF∽△AED時，相似比.

總結升華：此題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構成三對相似三角形.求相似比不僅要找準對應邊，還需注意兩個三角形的先后次序，假設次序顛倒，則相似比成為原來的倒數(shù).

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎為什么思路點撥：△ABC和△EDF都是直角三角形，且兩邊長，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對應成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三邊對應成比例，兩三角形相似).

總結升華：

(1)此題易錯為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應看三角形的三邊是否對應成比例，而不是兩邊.

(2)此題也可以只求出AC的長，利用兩組對應邊的比相等，且夾角相等，判定兩三角形相似.

4．如以下圖，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相似試分別加以列舉.思路點撥：此題屬于探索問題，由相似三角形的識別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識別方法尋找一個條件即可.

解：當滿足以下三個條件之一時，△ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：，即.

總結升華：此題的探索鑰匙是相似三角形的識別方法.在探索兩個三角形相似時，用分析法，可先假設△ACD∽△ABC，然后尋找兩個三角形中邊的關系或角的關系即可.此題易錯為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化〞原則，因為條件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯誤的.

舉一反三

【變式1】：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點．

求證：△ADQ∽△QCP．

思路點撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個角對應相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點，而BP=3PC，所以可用對應邊成比例夾角相等的方法來判定．具體證明過程如下：

證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點，求證：.

思路點撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉化為比例式，從而找到應證哪兩個三角形相似.同時圓當中同弧或等弧所對的圓周角相等要會靈活應用.

證明：連接，.

在∴∽∴.

【變式3】：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點．

求證：△DFE∽△ABC．

思路點撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對應成比例的兩個三角形相似．證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

總結升華：此題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．

類型三、相似三角形的性質5．△ABC∽△DEF，假設△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎試說明理由.思路點撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進展討論.

解：設另兩邊長是xcm，ycm，且x<y.

(1)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.

綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

總結升華：一定要深刻理解“對應〞，假設題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.

6．如以下圖，△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，假設BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.思路點撥：利用條件及相似三角形的判定方法及性質求出矩形的長和寬，從而求出矩形的面積.

解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形兩鄰邊之比為1：2，設EF=xcm，則EH=2xcm.

由相似三角形對應高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

總結升華：解決有關三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計算問題，經(jīng)常利用相似三角形“對應高的比等于相似比〞和“面積比等于相似比的平方〞的性質，假設圖中沒有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，假設，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴∵M為DE中點，∴∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴∴=1：2.總結升華：圖中有兩個“〞字形，線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個“〞字形，利用M為DE中點的條件將條件由一個“〞字形轉化到另一個“〞字形，從而解決問題.

類型四、相似三角形的應用

7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應兩點A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法

方案1：如上左圖，構造全等三角形，測量CD，得到AB=CD，得到河寬.

方案2：

思路點撥：這是一道測量河寬的實際問題，還可以借用相似三角形的對應邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標桿，然前方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉90°，沿CD方向再走17m到達D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河寬為85m．

總結升華：方案2利用了“〞型根本圖形，實際上測量河寬有很多方法，可以用“〞型根本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18m，小明的身高是1.6m，他的影長是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴∴DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC

思路點撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則，利用邊的比例關系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.因為AD∥BE，所以又因為，

所以，所以.

因為AB∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.

所以m.

類型五、相似三角形的周長與面積8．：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．思路點撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關的條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

總結升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對應底邊的比．當兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

解：設原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【變式2】如圖，：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上．

(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；

(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；

解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×，∴CP=.

(2)∵S△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長)=6

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴，即：

解得，CP=總結升華：

(1)求以線段長為變量的兩個函數(shù)間的關系時，常常將未知線段和線段作為三角形的邊，利用相似

三角形的知識解決.

(2)解決第(2)小問時要充分挖掘運動變化過程中點的特殊位置，再轉化為具體的數(shù)值，通過建設方程

解決，表達了數(shù)形結合的思想.

10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)設BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍；

(2)當P在BC邊上什么位置時，值最大.解：(1)∵BC=2，BC邊上的高AD=1

∴△ABC的面積為1

∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

∴，∴

同理△CEP∽△CAB

∴，

∴∵PE∥AB，PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形

∴∴.

(2)∴當時，即P點在BC邊的中點時，值最大.

總結升華：建設三角形的面積與線段長之間的函數(shù)關系，可考慮從以下幾方面考慮：

(1)從面積公式入手；

(2)從相似三角形的性質入手；將面積的比轉化為相似比的平方；

(3)從同底或等高入手，將面積比轉化為底之比或高之比.八年級下冊直線形復習成都航天中學唐德瑞審核人巫英相【學習課題】第11課時比例的性質【學習目標】1、理解線段比、比例、比例中項、黃金分割等概念；熟練記憶比例的根本性質、合比性質、等比性質會用比例性質求比值、進展比例變形。2、會用“k值法〞解決比例問題?！緦W習重點】會用比例性質和“k值法〞解決比例問題。【學習難點】根據(jù)需要比照例式變形。【學習過程】知識構造1、線段的比：如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比AB∶CD=m∶n，或寫成=。2、比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做__________，簡稱比例線段.。特別地，假設，則稱線段是線段和的__________。3、性質：〔1〕根本性質：在比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，.用式子表示就是：如果〔b,d都不為0〕，那么ad=bc.。〔2〕合比性質：，則?！?〕等比性質：如果那么。4、點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果=，那么稱線段AB被點C，點C叫做線段AB的，AC與AB的比叫做。AC：AB=。典例示范1、.小明身高1.65m,臂長60cm,則小明身高與臂長的比值是_____。2、在，求BC:CA:AB.3、假設2x－5y=0，求、、的值。4、：＝=2求：〔1〕，〔2〕的值。5、線段AB=18，點C是AB一個黃金分割點,求AC的長。反思提煉1、、線段的比、比例線段的順序性①,問這四條線段成比例嗎〔答：成比例。，這里與順序無關〕。②假設a、b、c、d是成比例線段，是指不能寫成〔在說四條線段成比例時，一定要將這四條線段按順序列出，這里與順序有關，線段的比有順序性，四條線段成比例也有順序性.如是a、b、c、d線段成比例，而不是線段成比例.2、比例根本性質的記憶及重要作用在比例線段中，比例式常寫成分式形式，它的內(nèi)項、外項位置不如橫式好觀察、判斷。對此，最好記成〞穿插位置兩條線段的積相等〞。今后，解決比例問題，一般用根本性質與“k值法〞結合進展。3、合比性質、等比性質的作用與“k值法〞。在例3中，由根本性質易得：再由合比性質就得到=，也可以由設、求得。但是，求的值，就只好用后一種方法。在例4中，〔1〕小題用等比性質方便，〔2〕小題用“k值法〞容易。所以，比例根本性質結和“k值法〞可以代替這兩個性質。但是，在幾何圖形中，熟悉這兩個性質，比照例式的觀察、分析、證明都是必要的。【達標測評】1、等腰RtΔABC的直角邊與斜邊之比是_______2、以下各組線段長度成比例的是〔〕〔A〕2cm，3cm，4cm，1cm〔B〕1.5cm，2.5cm，〔C〕1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm〔D〕1cm，2cm，2cm，4cm3、點M將線段AB黃金分割，且AM＞BM,則以下各式中不正確的選項是〔〕(A)AM：BM=AB：AM(B)AM=AB(C)BM=AB(D)AM≈0.618AB4、、求以下各式中的x〔1〕〔2〕〔3〕【課后練習】1、：，求的值。2、假設,且2a－b+3c=21.試求a∶b：c3、：，求k的值。4、.現(xiàn)有三個數(shù)1，，2，請你再添上一個數(shù)寫出一個比例式，這樣的比例式唯一嗎5、如圖：，，求證：?！举Y源鏈接】1、黃金矩形：如果一個矩形的寬與長之比為：：1〔近似比0.618：1〕，那么這個矩形常說成是黃金矩形。如果在黃金矩形里畫出一個正方形，證明余下的矩形仍然是黃金矩形。2、黃金三角形：在等腰三角形ABC中，頂角，這樣的底三角形叫黃金三角形。如圖，角平分線BD交AC于D，可得D是線段AC的黃金分割點。請證明它。八年級下冊直線形復習成都航天中學巫英相審核人巫英相【學習課題】第12課平行線分線段成比例【學習目標】1、熟記常見平行線中比例線段的結論并靈活應用。2、了解“知二求二〞這類題的解法?！緦W習重點】平行線分線段成比例【學習難點】平行線分線段成比例在組合圖形中應用.【學習過程】知識構造：平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長線〕，所得的對應線段成比例．：__________________：________________：______________則：__________________________則：__________________________則：__________________________典例示范：例1、用平行線分線段成比例定理求線段的長度：如圖，ABC中，DE∥BC〔1〕假設AD=4BD=2AE=7求EC?！?〕假設AD=4AB=7EC=10求AE?！?〕假設AB=10AE=3EC=4求DB。〔4〕假設AD:AB=4:5,AE－EC=3求AE，EC的長。分析：平行出比，有下面的比①上：下=上：下②上：全=上：全③下：全=下：全④左：右=左：右解:例2、運用平行線分線段成比例定理解決求證比例式或乘積式的題型〔1〕：E為ABCD邊CD延長線上的一點，聯(lián)結BE交AC于O，求證：BO2=OF·OE分析:表達式BO2=OF·OE為乘積形式,可適當變形改寫成比例形式,再利用平行線分線段成比例可證。證明：〔2〕：如圖，AB∥EF∥CD,求證：例3、運用平行線分線段解決“知二求二〞這類題的解法。如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過B作射線BE分別交AC、AD于E、F，,求的值思路點撥：由為線段的比，需作恰當平行線，構造線段的比，產(chǎn)生含的比例線段，并設法溝通比例式與未知比例式的聯(lián)系。解：過點D作DG∥BE交AC于G∵FE∥DG且∴則又∵D是BC上的中點，且DG∥BE∴DG是△BEC的______線，則：EG=_______=____AE故=反思提煉:通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲，還有哪些疑問我的收獲____________________________________________________________________________我的疑問____________________________________________________________________________【達標測評】如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，AB=5，CE=1，那么AC=______________.如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果，那么=__________________.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE∥BC，交AB于點E，假設AB=6，DE=4，則BC=_______.如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=______________.【課后練習】1、如圖，在△ABC中，DE∥BC，AB=4，AC=8，DB=AE，則AE=________.2、如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，假設DE：FG：BC=2：5：9，則AD：DF：FB=_________________.3、直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=3，BC=6，CD=4，則AO=________4、如圖，平行四邊形ABCD中,G是DC延長線上一點，AG交BD和BC于E,F，求證：EQ\F(AE,EF)=EQ\F(EG,AE)5、如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D,BM=3MC,AD=DM求的值.【資源鏈接】〔三角形外角平分線定理〕△ABC中，AD為∠BAC的外角∠EAC的平分線，D為平分線與BC延長線交點。求證：證明：八年級下冊直線形復習成都航天中學潘昌玲審核人巫英相【學習課題】第13課相似三角形的判定【學習目標】1、正確理解三角形相似的判定方法2、熟悉判別三角形相似的根本思路。3、能夠運用三角形相似的判定方法解決簡單的問題，開展合情推理能力?！緦W習重點】三角形相似的判定。【學習難點】尋找三角形相似的條件以及證明過程的正確書寫?！緦W習過程】知識構造：相似三角形的概念：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形是相似比為1的全等三角形。相似三角形的判定方法：兩角對應相等兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似。三邊對應成比例４．寫相似三角形時，注意把表示對應頂點的字母寫在對應位置上。二．典型例析：例1．判定ABC與DEF滿足以下條件時是否相似〔1〕〔2〕〔3〕根據(jù)題意：1、畫出草圖；2、標出；3、計算并得出結果。例2．如圖1在中，點在上且，點在上，連接，假設要使與原三角形相似，則請注意解題格式的書寫請注意解題格式的書寫分析：由于不明確的位置，所以可能有如圖2的的兩種可能解：〔1〕當時，要使需使，〔2〕當不平行于時，要使，因,需使故答案為2或例3．如圖2在正方形網(wǎng)格上有兩個三角形和，問這兩個三角形相似嗎分析：利用勾股定理易證這兩個三角形的三邊對應成比例。證明例4．，如圖3矩形中，點在上，且求證：分析：由矩形知，再加上條件中涉及線段關系，因此去證夾的兩邊與夾的兩邊對應成比例。證明：〔由學生獨立完成證明過程的書寫，待學生完成后，師生針對證明過程中存在的問題加以糾正〕例5．如圖4，為的高，與相似嗎為什么分析：要說明相似，可找對應角相等，因為為公共角，可考慮再找一對角對應相等，但這樣做比擬困難，故轉為找公共角的夾邊對應成比例。即去證,從橫向看，利用三點定形法確定出與，因，易證，于是問題可以解決了。證明：三．能力訓練：1.如圖5，中，是高，是邊的中點的延長線交的延長線于，求證〔1〕，〔2〕2..如圖6在中點從點A開場沿邊向點B以秒的速度移動，點從點開場沿邊向點以/秒的速度移動，如果分別從同時出發(fā)，那么經(jīng)過幾秒鐘，與相似四．反思總結：判別三角形相似的根本思路為，先找兩個角對應相應相等的條件，因為用它來判別三角形相似較為簡單；假設只找到一對對應角相等，可再找相等的角的兩邊對應成比例；假設已有兩邊對應成比例的條件，應再找它們的夾角相等；以上均不奏效，就只能找三邊對應成比例的條件了?！具_標檢測】以下各組三角形中，兩個三角形能夠相似的是〔〕△ABC中，∠A＝42o，∠B＝118o，△A`B`C`中，∠A`＝118o，∠B`＝15o△ABC中，AB=8，AC=4,∠A＝105o，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100o△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70△ABC和△A`B`C`中，有，∠C＝∠C`。如圖，△ABC中∠ACB＝90o，CD⊥AB于D。則圖中能夠相似的三角形共有〔〕A．1對B．2對C．3對D．4對△ABC中，D是AB上一固定點。E是AC上的一個動點，假設使△ABC和△ADE相似，則這樣的點E有〔〕A．1個B．2個C．3個D．很多4．以下說法①所有等腰三角形都相似；②有一個底角相等的兩個等腰三角形相似；③有一個角相等的等腰三角形相似；④有一個角為60o的兩個直角三角形相似，其中正確的說法是〔〕A．②④B．①③C．①②④D．②③④5．如圖，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，則當BD＝_________時，△ABC∽△DBC。6．如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，AB上的點，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，則AD·AC＝_______.6題圖7題圖8題圖9題圖7．如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，BF＝BC，那么圖中與△ADE相似的三角形有___________.8．如圖，〔1〕假設___________,則△ABC∽△AEF；〔2〕假設∠E＝_________，則△ABC∽△AEF。9．如圖，假設∠B＝∠C，則_________∽_________,理由是__________,且_________∽_________,理由是_________。10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90o對角線BD⊥DC，試問：〔1〕△ABD與△DCB相似嗎請說明理由?！?〕如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的長嗎10題圖【資源鏈接】相似三角形的開放探索題：條件型開放題1．如圖，分別是的邊上的點，請你添加一個條件使與相似，你添加的條件是。二．結論型開放探索題：2．如以下圖，是平行四邊形的邊的延長線上的一點，連接交于，則圖中共有相似三角形〔〕。A.1對B.2對.C.3對.D.4對.三．存在性開放探索題：3．如圖是中位線，，，在射線上是否存在點，使相似假設存在，請先確定，并說明這兩個三角形為什么相似，假設不存在，也請說明理由。八年級下冊直線形復習成都航天中學鄧莉審核人巫英相【學習課題】第14課：相似三角形性質【學習目標】1.通過一些具體的情境和應用深化對相似三角形的理解和認識。2.進一步體會數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認識特殊與一般之間的辯證關系。【學習重點】相似三角形的特征〔性質〕【學習難點】應用相似三角形的特征解決問題〔性質〕【學習過程】學習準備知識要點1.相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的三角形,△ABC和△DEF相似，記作△ABC∽△DEF2.性質：對應角相等，對應邊成比例。3.相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似三角形的相似比。相似三角形對應高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。對應練習：寫出以下各組相似三角形的對應邊的比例式?！?〕如圖〔1〕，：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應邊?！?〕如圖〔2〕，：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED。點評：此題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的根本圖形。第一類為平行線型，第二類是相交線型。典例分析例1如圖,DE//BC,D是AB的中點,DC、BE相交于點G，求：〔1〕〔2〕例2：如圖，分別取等邊三角形ABC各邊的中點D、E、F，得△DEF.假設△ABC的邊長為a.〔1〕△DEF與△ABC相似嗎如果相似，相似比是多少〔2〕分別求出這兩個三角形的面積.〔3〕這兩個三角形的面積比與邊長之比有什么關系嗎例3．如圖，梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于E,過E作FG∥BC交AB、CD于F、G。求證:EF=EG.變式：如圖，EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(BC,DE)=EQ\F(AC,AE)，求證：∠BAD=∠CAE。例4.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數(shù)可保存)．例5：如圖4-26，：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．【達標測評】1.如圖1，在△ABC中，∠ACD＝∠B，則_________∽_________，AD：AC＝_______：_________。2.如圖2，AB、CD相交于點O，且AC∥BD，則_________∽_________，AO：BO＝_________：_________，OA·OD＝_________·_________。3.如圖3，請?zhí)砑右粋€條件，使△ADC∽△AEB。___________________________圖1圖2圖34、兩個三角形周長之比為9：5，則面積比為〔〕〔A〕9∶5〔B〕81∶25〔C〕3∶eq\r(5)〔D〕不能確定【課后作業(yè)】1、RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相似但不全等的三角形共有〔〕(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個2、在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，以下等式中錯誤的選項是〔〕〔A〕AD?BD=CD2〔B〕AC?BD=CB?AD〔C〕AC2=AD?AB〔D〕AB2=AC2+BC23、在平行四邊形ABCD中，E為AB中點，EF交AC于G，交AD于F，eq\f(AF,FD)=eq\f(1,3)則eq\f(CG,GA)的比值是〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕54、在RtΔABC中，AD是斜邊上的高，BC=3AC則ΔABD與ΔACD的面積的比值是〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕85、在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則BD∶AD等于〔〕〔A〕a∶b〔B〕a2∶b2〔C〕eq\r(a)∶eq\r(b)〔D〕不能確定6、邊長為a的等邊三角形被平行于一邊的直線分成等積的兩局部，則截得的梯形一底的長為〔〕〔A〕eq\f(1,2)a〔B〕eq\r(2)a〔C〕eq\f(eq\r(2),2)a〔D〕eq\f(2,3)a【資源鏈接】關于多種情況問題的探討：例：在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，點P在AC上〔與點A、C不重合〕，點Q在BC上。試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形假設不存在，請簡要說明理由；假設存在，請求出PQ的長。八年級下冊直線形復習成都航天中學熊緒安審核人巫英相【學習課題】第15課相似三角形應用(一)【學習目標】1、會用比例式尋找所用相似三角形。2、會通過作輔助線解決相似三角形問題?！緦W習重點】能從圖中找出相似三角形【學習過程】知識構造相似三角形的判定方法有：。相似三角形性質有：①；②；③；通過相似三角形可以求解線段、角；證明角相等；證明線段成比例或證明線段相等。例題解析例1：如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于O,OF⊥AC于O,交AB于E,交CB的延長線于F,求證:OB2=OE·OF分析：要證OB2=OE·OF，化等積式為_______________。由“三點定型〞知道該證明△∽△。證明：∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠OAB=∠OBA∵∠OAB+∠ACB=900∴∠OBA+∠ACB=900∵OF⊥AC∴∠F+∠ACB=900∴∠OBA=∠F且∠BOE=∠FOB∴△OBE～△OFB∴∴OB=OE·OF變式1.如圖，平行四邊形ABCD中，E是CB延長線上一點，DE交AB于F,求證:AD·AB＝AF·CE例2：在△ABC中，AD是角平分線，求證。分析：中，三個不同字母B、D、C在同一直線上，不能構成一個三角形三個頂點，因此，作CE∥AD交BA延長線于E。證明：【達標檢測】1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，BE與AC相交于P，與CD延長線相交于Q，EF∥AB，交AC于F，求證：〔1〕AF·DQ=AB·CF〔2〕AP2=PF·PC2．如圖，AB=AC，DE為直線AB上的兩點，∠DCB=∠ECB，求證：AB2=AD·AE3.如圖，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，假設BC=3cm,則DE=________cm.4.如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端分別在CB、CD上滑動，當△ADE與△MNC相似時,求CM的長度．【課后反思】八年級下冊直線形復習成都航天中學熊緒安審核人巫英相【學習課題】第16課相似三角形應用(二)Q_A_C_DQ_A_C_D_B_PEA12.會用相似三角形有關知識解決其他計算問題.【學習重點】理解折疊問題中的等量關系_CD__CD_A_B_E_A1知識構造：1、折疊問題〔圖一〕〔圖二〕圖一中折痕為DE，點A落在BD上，△BEA1∽，圖二中折痕為PQ，點A落在CD上，△AEP∽。2、動點問題〔1〕注意根據(jù)動點的位置確定對應元素?！?〕根據(jù)動點位置確定變量取值范圍。例題解析：例1：在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,折疊AD，使點A落在BD上的點F，得