高二數(shù)學復習考點知識精講與練習15-導數(shù)應用的經(jīng)典題型突破

1/57高二數(shù)學復習考點知識精講與練習專題15導數(shù)應用的經(jīng)典題型突破（單調(diào)性、不等式、零點、恒成立）題型一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題1．（2022·北京八十中高二期中）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.2．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高二期中（理））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明.題型二、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題3．（2022·北京一七一中高二月考）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.4．（2019·福建三明·高二期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．（1）設g（x）＝f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求證：x1+x2＞2．題型三、利用導數(shù)研究恒成立問題5．（2020·甘肅省岷縣第一中學高二開學考試（理））已知函數(shù)，．Ⅰ討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；Ⅱ當時，求證：恒成立．6．（2019·河北·滄縣中學高二期末（文））已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線平行.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型四、利用導數(shù)研究不等式問題7.已知函數(shù)滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值.8．（2020·湖南·長沙縣第九中學高二月考）設函數(shù).（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.專題強化訓練一、單選題7．（2022·廣東·汕頭市東方中學高二期中）已知函數(shù)滿足滿足9．（2019·福建·莆田一中高二期中（文））已知，，若成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10．（2022·廣西河池·高二月考（理））若函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，則常數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．（2022·全國·高二課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則m的值為()A．3 B．1 C．2 D．12．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點，則實數(shù)a的取值范圍是()．A． B．C． D．13．（2022·全國·高二課時練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．14．（2022·全國·高二單元測試）函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．15．（2022·全國·高二）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．16．（2022·江蘇·高二課時練習）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．17．（2022·廣東實驗中學高二月考）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件18．（2022·全國·高二課時練習）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（）A． B． C． D．19．（2020·全國·高二課時練習）已知函數(shù)在上有兩個極值點，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．20．（2020·黑龍江·牡丹江一中高二月考（文））定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題21．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二月考）對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A．在處取得極大值B．有兩不同零點C．D．若在上恒成立，則22．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．23．（2022·全國·高二課時練習）關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是的極小值點；B．函數(shù)有且只有1個零點；C．存在正整數(shù)，使得恒成立；D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.24．（2022·江蘇·南京市寧海中學高二期中）關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．當時，在處的切線方程為B．若函數(shù)在上恰有一個極值，則C．對任意，恒成立D．當時，在上恰有2個零點25．（2022·江蘇省外國語學校高二期中）已知函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（）A．存在唯一極值點，且B．存在實數(shù)，使得C．方程有且僅有兩個實數(shù)根，且兩根互為倒數(shù)D．當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點26．（2022·河北·遷安三中（高中）高二期中）已知函數(shù)，，則（）A．1是函數(shù)的極值點 B．當時，函數(shù)取得最小值C．當時，函數(shù)存在2個零點 D．當時，函數(shù)存在2個零點27．（2022·江蘇省蘇州第一中學校高二期中）已知函數(shù)，若關于x的方程恰有兩個不同解，則的取值可能是（）A． B． C．0 D．228．（2020·廣東東莞·高二期末）已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．當時，三、填空題29．（2022·全國·高二單元測試）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．30．（2022·重慶市江津第五中學校高二期中）若函數(shù)在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍______.31．（2022·福建省泉州第一中學高二期末）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最小值為___________.32．（2022·全國·高二單元測試）已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足，，則不等式的解集為__________.33．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學高二月考）已知函數(shù)．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為________．34．（2022·河北·辛集中學高二月考）已知在單調(diào)遞減，則的取值范圍為______．35．（2020·全國·高二課時練習）若函數(shù)有唯一一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________.四、解答題36．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二月考（文））已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個零點．37．（2022·湖北·武漢市實驗學校高二月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，證明：．38．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.39．（2022·寧夏·青銅峽市高級中學高二月考（文））已知函數(shù)．當時，求的單調(diào)增區(qū)間；若在上是增函數(shù)，求得取值范圍．40．（2022·全國·高二課時練習）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．41．（2020·浙江·瑞安市上海新紀元高級中學高二期末）已知函數(shù).（1）當時，證明：有唯一零點；（2）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.42．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）設，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．參考答案1．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求得再根據(jù)1,0,2a的大小進行分類確定的單調(diào)性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）問的結(jié)論,通過分類討論函數(shù)的單調(diào)性,確定零點個數(shù),從而可得a的取值范圍為.試題解析：（Ⅰ）（Ⅰ）設，則當時，；當時，.所以f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（Ⅱ）設，由得x=1或x=ln（-2a）.①若，則，所以在單調(diào)遞增.②若，則ln（-2a）＜1,故當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.③若，則，故當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（Ⅱ）（Ⅰ）設，則由（Ⅰ）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，取b滿足b＜0且，則，所以有兩個零點.（Ⅱ）設a=0，則，所以只有一個零點.（iii）設a＜0，若，則由（Ⅰ）知，在單調(diào)遞增.又當時，＜0，故不存在兩個零點；若，則由（Ⅰ）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又當時＜0，故不存在兩個零點.綜上，a的取值范圍為.【考點】函數(shù)單調(diào)性，導數(shù)應用【名師點睛】本題第（Ⅰ）問是用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,對含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的確定,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；第（Ⅱ）問是求參數(shù)取值范圍,由于這類問題常涉及導數(shù)、函數(shù)、不等式等知識,越來越受到高考命題者的青睞,解決此類問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.2．（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先求函數(shù)導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當時，，則在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設g（x）=lnx-x+1，利用導數(shù)易得，即得證.【詳解】（1）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當時，時；當x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設g（x）=lnx-x+1，則.當x∈（0,1）時，；當x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時，，即.【點睛】利用導數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).3．(1)時,在是單調(diào)遞增；時,在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當時在無最大值,當時最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當時,,當時,因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域為,,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當時,當時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當時在無最大值,當時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當時,,當時,因此a的取值范圍是.考點：本題主要考查導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應用及分類討論思想.4．（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）見解析【分析】（1）先得到解析式，然后對求導，分別解和，得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導數(shù)證明在（0，1）上單調(diào)遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.【詳解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），∴g'（x）令g'（x）＝0，則x＝1，∴當x＞1時，g'（x）＜0；當0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是g（x）的兩零點，則g（x1）＝g（x2）＝0，不妨設0＜x1＜1＜x2，∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，∵g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），則，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，即g（2﹣x1）＞g（x2）∴x1+x2＞2．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)證明極值點偏移問題，屬于難題.5．Ⅰ見解析；（Ⅱ）見解析.【分析】Ⅰ求出函數(shù)導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；Ⅱ代入a的值，令，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，，從而證明結(jié)論．【詳解】Ⅰ，當時，，在遞減，當時，時，，時，，故在遞減，在遞增.Ⅱ當時，，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，顯然成立，故恒成立．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．6．（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.【分析】（1）根據(jù)切線的斜率可求出,得，求導后解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間.（2）原不等式可化為恒成立，令，求導后可得函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，又曲線在點處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化為恒成立即恒成立令當時，，在上單調(diào)遞減.當時，，在上單調(diào)遞增.所以時，函數(shù)有最小值由恒成立得，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，恒成立問題，屬于中檔題.7．（1）的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）時，的最大值為【詳解】（1）令得：得：在上單調(diào)遞增得：的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得①當時，在上單調(diào)遞增時，與矛盾②當時，得：當時，令；則當時，當時，的最大值為8．（1）2；（2）當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3）.【詳解】試題分析：（1）當m=e時，＞0，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，則h（1）=，h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）-零點的個數(shù)；（3）（理）當b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍試題解析：（1）由題設，當時，易得函數(shù)的定義域為當時，，此時在上單調(diào)遞減；當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，取得極小值的極小值為2（2）函數(shù)令，得設當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，，此時在上單調(diào)遞減；所以是的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是的最大值點，的最大值為又，結(jié)合y=的圖像（如圖），可知①當時，函數(shù)無零點；②當時，函數(shù)有且僅有一個零點；③當時，函數(shù)有兩個零點；④時，函數(shù)有且只有一個零點；綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.（3）對任意恒成立，等價于恒成立設，在上單調(diào)遞減在恒成立恒成立（對，僅在時成立），的取值范圍是考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；根的存在性及根的個數(shù)判斷；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值9．B【分析】由奇偶性的定義得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導數(shù)知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式變形為，利用單調(diào)性得出，從而可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，由偶函數(shù)的性質(zhì)得，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，整理得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選B.【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，解題的關鍵在于考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)來求解，可簡化計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個交點，利用導數(shù)研究的極值或最值即可得到答案.【詳解】令，則，因為函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點則函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個交點又，在上單調(diào)遞增，則故選：C.11．B【分析】利用導函數(shù)求出在上的單調(diào)性，然后結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】，令，解得或，當時，；當時，或，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則，所以在區(qū)間上的最大值為，解得．故選：B．12．A【分析】令，結(jié)合已知條件可知，數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在唯一的變號零點，然后利用零點存在的基本定理求解實數(shù)a的取值范圍，然后通過a的取值范圍檢驗在區(qū)間上最值點的唯一性即可.【詳解】令，若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點，則函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，從而在區(qū)間上存在唯一一個變號零點，故，即，解得，此時在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上存在唯一一個零點，即在上恰有一個最值點．從而實數(shù)a的取值范圍是．故選：A.13．C【分析】根據(jù)題意，當時，通過分離參數(shù)得，換元，令，則，則，構(gòu)造函數(shù)并通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得出；同理當時，得出；當時，可知恒成立；綜合三種情況即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題可知，時，不等式恒成立，當時，得，令，則，，令，，則，顯然在上，，所以單調(diào)遞減，，因此；當時，得，令，則，，令，，則，顯然在上，，所以單調(diào)遞減，，因此；由以上兩種情況得：.顯然當時，得恒成立，綜上得：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.14．C【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負，得出函數(shù)的單調(diào)性，再由特殊點的函數(shù)值的正負，運用排除法，可得選項.【詳解】當時，則．當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，排除A，B．又，排除D．故選：C．15．B【分析】求出導函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而得出，分析不具有單調(diào)性，從而可得.【詳解】由題意，得，又在上恒成立，所以.而當時，恒為0，此時（），不具有單調(diào)性，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：B16．D【分析】由題設，由已知得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式可得選項.【詳解】由題可設，因為，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，不等式可轉(zhuǎn)化為，∴，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：D.17．A【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增有恒成立，進而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求的范圍，即可判斷條件間的充分、必要性.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則對任意的恒成立，∴有對任意的恒成立，即，而當且僅當時等號成立，則.∴“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A．18．D【分析】函數(shù)在上時單調(diào)函數(shù)，等價于導函數(shù)大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范圍即可．【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，即或(舍)在上恒成立，解得故選：D【點睛】本題考查導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．19．C【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)在上有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為在上有不等于的解，令，利用奧數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到且，又由在上單調(diào)遞增，得到在上恒成立，進而得到在上恒成立，借助函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，求得，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，又由函數(shù)在上有兩個極值點，則，即在上有兩解，即在在上有不等于2的解，令，則，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，又由在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，綜上所述，可得實數(shù)的取值范圍是，即，故選C.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.20．B【分析】結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關系,構(gòu)造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.21．ACD【分析】A?根據(jù)極值的定義求解判斷；B?令，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷；C?利用函數(shù)的圖象，結(jié)合判斷；D?根據(jù)在上恒成立，由求解判斷.【詳解】A?函數(shù)的導數(shù)，令，得，則當時，，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，函數(shù)為減函數(shù)，則當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，故A正確；B?當時，，時，，則的圖象如圖：由，得，得，即函數(shù)只有一個零點，故B錯誤；C?由圖象知，，故成立，故C正確；D?若在上恒成立，則，設，則，當時，，當時，，即當時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值，為，∴，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是利用導數(shù)法，得到函數(shù)的圖象而得解.22．AD【分析】求導數(shù),利用零點存在定理,可判斷A,B;,可判斷C，D.【詳解】函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點，∴，即，

,當時，,,即A選項正確,B選項不正確;

,即D正確,C不正確.

故答案為:AD.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查學生的計算能力,屬于中檔題.23．ABD【分析】利用導數(shù)求函數(shù)的極值可判斷A選項；求出函數(shù)的單調(diào)性利用特殊值可判斷B；轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)并求函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；利用已知得出，構(gòu)造函數(shù)證明不等式可判斷D.【詳解】對于A選項，函數(shù)的的定義域為，函數(shù)的導數(shù)，∴時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點，故A正確；對于B選項，，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，，∴函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于C選項，若，可得，令，則，令，則，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，上，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)，使得成立，故C錯誤；對于D選項，由，結(jié)合A選項可知，要證，即證，且，由函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，由于，所以，即證明，令，則，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即成立，故成立，所以D正確.故選：ABD.【點睛】函數(shù)中涉及極值、零點，不等式恒成立，一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法.24．ABD【分析】直接逐一驗證選項，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項；利用分離參數(shù)法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項；通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)來解決零點個數(shù)問題，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，當時，，，所以，故切點為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對于B，，，則，若函數(shù)在上恰有一個極值，即在上恰有一個解，令，即在上恰有一個解，則在上恰有一個解，即與的圖象在上恰有一個交點，，，令，解得：，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當時，與的圖象在上恰有一個交點，即函數(shù)在上恰有一個極值，則，故B正確；對于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設，，則，，令，解得：，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，，所以在上的最大值為，所以時，在上，恒成立，即當時，才恒成立，所以對任意，不恒成立，故C不正確；對于D，當時，，，令，則，即，作出函數(shù)和的圖象，可知在內(nèi)，兩個圖象恰有兩個交點，則在上恰有2個零點，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查函數(shù)和導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法的應用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點等，考查化簡運算能力和數(shù)形結(jié)合思想.25．ACD【分析】對進行求導可得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐個判斷即可得解.【詳解】對進行求導可得：，顯然為減函數(shù)，，故存在，使得，并且，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，故為極大值點，所以A正確；所以，可得：，因為，所以，故B錯誤，若是的一解，即，則，故和都是的解，故C正確，由，可得，令，，令，因為，所以，故為減函數(shù)，而，所以當，，即，為增函數(shù)，，即，為減函數(shù)，所以，故當，有兩個解，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了方程雙根問題，同時考查了虛設零點問題以及二次求導問題，是導數(shù)作為選擇題壓軸題的典型題型，對思路要求和計算能力要求非常高，屬于難題.26．AD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷AB的正誤，根據(jù)零點存在定理和最值的符號可判斷CD的正誤.【詳解】，令可得，當時，；當時，，故為的極大值點，故A正確.又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當時，函數(shù)取得最大值，故B錯誤.當時，，又，而，故且，令，則，故在上為減函數(shù)，故，由零點存在定理及的單調(diào)性可得有兩個不同的零點，故D正確.而當時，當時，恒成立，故在最多有一個零點，故C錯誤.故選：AD【點睛】方法點睛：導數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明，注意需選擇特殊點的函數(shù)值，使得其函數(shù)值的符號符合預期的性質(zhì)，選擇特殊點的依據(jù)有2個方面：（1）與極值點有明確的大小關系；（2）特殊點的函數(shù)值較易.與零點有關的不等式問題，可依據(jù)零點的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建新函數(shù)來證明.27．BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，求導，利用導函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出取值范圍.【詳解】因為的兩根為，所以，從而．令，則，．因為，所以，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求取值范圍是解決本題的關鍵.28．AD【分析】設，函數(shù)單調(diào)遞增，可判斷A；設，則不是恒大于零，可判斷B；，不是恒小于零，可判斷C；當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，由此可判斷D.得選項.【詳解】設，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即有，故A正確；設，則不是恒大于零，所以不恒成立，故B錯誤；，不是恒小于零，所以不恒成立，故C錯誤；當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，又，所以，所以，所以有，故D正確.故選：AD.【點睛】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷不等式是否成立，屬于較難題.29．.【詳解】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點睛：對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．30．【分析】因為函數(shù)在定義域的子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以根據(jù)題意可知函數(shù)的極值點在區(qū)間內(nèi)，列出不等式，即可求解．【詳解】因為f（x）定義域為（0，+∞），又f′(x)=4x-，由f'（x）=0，得x=1/2．當x∈（0，1/2）時，f'（x）＜0，當x∈（1/2，+∞）時，f'（x）＞0據(jù)題意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0，解得1≤k＜3/2.31．【分析】先將不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后求出函數(shù)的最小值，即解出．【詳解】由題意，不等式可變形為，得對任意恒成立.設，則對任意恒成立，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時，，因為求實數(shù)的最小值，所以考慮的情況，此時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，兩邊取對數(shù)，得上，由于，所以.令，則，令，得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以實數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：求解不等式問題的關鍵：（1）適當變形，靈活轉(zhuǎn)化，結(jié)合題設條件，有時需要對不等式進行“除法”變形，從而分離參數(shù)，有時需要進行移項變形，可使不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解，若分離參數(shù)，則直接構(gòu)造函數(shù)，并借助導數(shù)加以求解，若轉(zhuǎn)化為不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，并借助導數(shù)加以求解.32．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析得出函數(shù)在上為增函數(shù)，然后得出或，解這兩個不等式組即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)在上為增函數(shù)，且.①當時，由可得，即，即，可得，解得，此時；②當時，由可得，即.即，可得，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)不等式求解函數(shù)不等式，思路如下：（1）根據(jù)導數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造原函數(shù)；（2）分析原函數(shù)的奇偶性，并利用導數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性；（3）將所求不等式變形為或（偶函數(shù)）；（4）利用函數(shù)的單調(diào)性可得出關于、的不等式進行求解.33．6【分析】求導函數(shù)，令恒成立，變量分離轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值.【詳解】，，可得，令，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，即當時，單調(diào)增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為:6【點睛】關鍵點睛：變量分離，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進而求又一函數(shù)的最值.34．【分析】由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，得到在恒成立，進而可得的取值范圍.【詳解】在單調(diào)遞減，在恒成立，又是開口向上的二次函數(shù)，為使在恒成立，只需，即，則.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用已知函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)時，通常需要對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，得到導函數(shù)在給定區(qū)間的符號（正負），由此列出不等式求解即可.35．【分析】求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)在上只有一個極值點，故在上只有一個根且不是重根．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，定義域為令，令，可得令在上只有一個極值點，在上只有一個根且不是重根．所以，解得．實數(shù)的取值值范圍是：，故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．36．（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）見解析.【詳解】分析：（1）將代入，求導得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.詳解：（1）當a=3時，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f′（x）>0；當x∈（，）時，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）由于，所以等價于．設=，則g′（x）=≥0，僅當x=0時g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．綜上，f（x）只有一個零點．點睛：（1）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③由（或）解出相應的的取值范圍，當時，在相應區(qū)間上是增函數(shù)；當時，在相應區(qū)間上是減增函數(shù).（2）本題第二問重在考查零點存在性問題，解題的關鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求證函數(shù)有唯一零點，可先證明其單調(diào)，再結(jié)合零點存在性定理進行論證.37．（1）見解析；（2）見解析【詳解】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導，之后對進行分類討論，從而確定出導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，從而求得函數(shù)對應的單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)存在兩個極值點，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.詳解：（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，.所以，即.點睛：該題考查的是應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導數(shù)的符號對單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權，先確定函數(shù)的定義域，要對參數(shù)進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關注第一問對第二問的影響，再者就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確.38．（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導，然后確定導函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導函數(shù)研究構(gòu)造所得