線性代數(shù)第1講

線性代數(shù)第1講行列式本文件可從網(wǎng)址(單擊'ppt講義'后選擇'工程數(shù)學(xué)'子目錄)11/10/20231介紹線性代數(shù)的重要目標(biāo)是解線性方程組而解線性方程組經(jīng)常要用到行列式的概念1.1n階行列式的定義和性質(zhì)11/10/20232對于一個二元一次方程組當(dāng)a11a22-a12a210時,用消元法求解,得其解為(1.1)(1.2)11/10/20233如果記(1.3)(1.2)式可以表示為二階行列式11/10/20234三階行列式的定義---+++(1.4)(1.5)11/10/20235例如11/10/20236如果三元線性方程組的系數(shù)行列式11/10/20237用消元方可解得(1.6)其中11/10/20238二階和三階行列式都可按第一行展開余子式代數(shù)余子式（1.7）11/10/20239同樣其中

A11=(-1)1+1|a22|=a22,

A12=(-1)1+2|a21|=-a21這里|a22|,|a21|是一階行列式不是絕對值.11/10/2023101.1.1n階行列式的定義定義由n2個數(shù)aij(i,j=1,2,...,n)組成的n階行列式（1.9)當(dāng)n=1時D=a11;當(dāng)n2時,定義(1.10)11/10/202311其中 A1j=(-1)1+jM1j,M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后,按原順序排成的n-1階行列式,即稱M1j為元素a1j的余子式,A1j為元素a1j的代數(shù)余子式11/10/202312例(未寫出的元素都是0)11/10/202313例11/10/202314下三角行列式等于對角線元素之積11/10/202315例11/10/2023161.1.2n階行列式的性質(zhì)(證明不重要,但必須記住并用它們來計算行列式)11/10/202317性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等11/10/202318性質(zhì)2

行列式按任一行(列)按下式展開,其值相等其中 Aij=(-1)i+jMij,Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原順序排成的n-1階行列式,稱為aij的余子式,Aij稱為aij的代數(shù)余子式.(1.12)11/10/202319例如,假設(shè)11/10/202320例設(shè)11/10/202321性質(zhì)3

(線性性質(zhì))有以下兩條:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.(1.13)11/10/20232211/10/202323(1.14)11/10/202324推論1某行元素全為零的行列式其值為零11/10/202325性質(zhì)4行列式中兩行對應(yīng)元素全相等,其值為零,即當(dāng)ail=ajl(l=1,2,...,n)時,有(1.15)11/10/202326推論2行列式中兩行對應(yīng)元素成比例(即ail=kajl,i

j,l=1,2,...,n,k是常數(shù)),其值為零11/10/202327性質(zhì)5行列式中某各元素乘常數(shù)k加到另一行對應(yīng)元素上,行列式的值不變(簡稱:對行列式做倍加行變換,其值不變),即11/10/202328性質(zhì)6(反對稱性質(zhì))行列式的兩行對換,行列式的值反號.第i行第j行11/10/202329性質(zhì)7行列式某一行的元素乘另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零,即這是因為(1.17)第i行第j行=011/10/202330可將(1.10),(1.12),(1.17)式統(tǒng)一地寫成其中同樣,行列式對列展開,也有(1.18)(1.19)11/10/202331行列式按某k行(列)展開

在n階行列式D=中,任意選定k行k列(1k

n),位于這些行和列交叉處的k2個元素,按原來的順序構(gòu)成一個k階行列式M,稱為D的一個k階子式.劃去這k行k列,余下的元素按原來的順序構(gòu)成一個n-k階行列式,在其前面冠以符號稱為M的代數(shù)余子式,其中i1,i2,...,ik為k階子式M在D中的行標(biāo),j1,j2,...,jk為M在D中的列標(biāo).11/10/202332定理(拉普拉斯定理)

在n階行列式中,任意取定k行(列)(1

k

n-1),由這k行(列)組成的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D.11/10/202333例

下式按第一行和第二行展開11/10/202334例11/10/202335例11/10/202336計算行列式的常用方法:首先盡量尋找行與列的公因子,將其提到行列式外面.如果發(fā)現(xiàn)行列式有兩行或者兩列成比例,則行列式的值為0.然后利用性質(zhì)5總能將行列式變換成上三角或者下三角行列式,再計算其對角線上的乘積.或者利用性質(zhì)5將行列式的某行(某列)變換成只有一個元素不為0,其余元素均為0,然后再按那行(列)展開,降階成低階的行列式.11/10/2023